Wydział EiP	Imię i nazwisko 1. Piotr Typiak 2. Paweł Gorzała	Rok II	Grupa VI	Zespół 11
PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH	Temat: Wahadło Fizyczne	Nr ćwiczenia 1
Data wykonania 18.10.2011	Data oddania 25.10.2011	Zwrot do popr.	Data oddania	Data zaliczenia

1. Wstęp teoretyczny:

Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna, mogąca obracać się wokół osi obrotu O nie przechodzącej przez środek ciężkości bryły S. Wahadło odchylone od pionu o kąt θ, a następnie puszczone swobodnie będzie wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym. W ruchu tym mamy do czynienia z obrotem bryły sztywnej wokół osi O, opisuje go zatem druga zasada dynamiki ruchu obrotowego

M = Iε

Gdzie: M – moment siły, I – moment bezwładności, ε – przyspieszenie kątowe

Dla wahadła fizycznego moment siły powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla wychylenia θ jest równy

M = m g a sinθ

Gdzie: a - oznacza odległość środka ciężkości S od osi obrotu O, m – masa wahadła, g – przyspieszenie ziemskie 9,81 m/s²

Zatem równanie ruchu wahadła można zapisać jako:

$I_{0}\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}$ = − m g sinθ

Gdzie I₀ – moment bezwładności ciała względem osi obrotu

W doświadczeniu ograniczamy się do małych kątów wychylenia, więc sinus kąta możemy zastąpić samym kątem w mierze łukowej. Wtedy równanie przyjmuje postać:

$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + \ \omega_{0\ }^{2}\theta = 0$$

Gdzie: ω₀² = $\frac{m\ g\ a}{I_{0}}$

Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest funkcja

θ =  cos(ω₀t + α)

Gdzie: θ_m – amplituda drgania, α− przesunięcie fazowe

Powyższy wzór wskazuje, że wahadło porusza się ruchem harmonicznym prostym.

Okres drgań T wynosi:

Po przekształceniu otrzymujemy wzór na moment bezwładności względem osi obrotu:

W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi obrotu skorzystamy z twierdzenia Steinera, które mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

I₀ =  I_S + ma²

Bryłę sztywną można traktować jako ciągły zbiór punktów materialnych o różnych odległościach od osi obrotu. Z definicji moment bezwładności punku materialnego jest iloczynem masy i kwadratu odległości względem osi obrotu. Momenty bezwładności brył sztywnych wyraża się jako całkę oznaczoną

I =  ∫_mr²dm

1. Wykonanie ćwiczenia:

W pierwszej kolejności zważyliśmy pręt oraz pierścień za pomocą wagi elektronicznej. Następnie za pomocą przymiaru milimetrowego i suwmiarki dokonaliśmy pomiarów niezbędnych odległości. Ostatnią czynnością było zawieszenie badanych przez nas brył na statywie i wprowadzenie ich w ruch drgający o niewielkiej amplitudzie. Używając stopera mierzyliśmy czas 30 drgań dziesięciokrotnie dla obu brył.

1. Wyniki pomiaru:

Tabela 1: Wykaz wielkości mierzonych bezpośrednio:

Pręt
wielkość mierzona
wartość
niepewność
Pierścień
wielkość mierzona
wartość
niepewność

Niepewność typu B:

$\mathbf{u}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$, - podziałka przyjęta podczas pomiaru;

1. Niepewność dla pomiarów długości pręta i średnicy pierścienia:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{l} \right) = \frac{1mm}{\sqrt{3}} = \ \mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}\mathbf{\ }\mathbf{m}$$

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{R} \right) = \frac{1mm}{\sqrt{3}} = \mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{\ }\mathbf{m}$$

1. Niepewność dla masy pręta i pierścienia:

$\mathbf{u}\left( \mathbf{m} \right) = \ \frac{1\ g}{\sqrt{3}} = \ {\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{8 \bullet 10}}^{\mathbf{- 4}}\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{\text{kg}}$

Niepewności dla pręta i pierścienia są takie same, gdyż zostały użyte te same przyrządy miernicze. Związane jest to z niedokładnością owych przyrządów.

Tabela 2: Pomiar okresu drgań

Pręt	Pierścień
Lp.	Liczba okresów k
1	30
2	30
3	30
4	30
5	30
6	30
7	30
8	30
9	30
10	30
Wartość średnia okresu T: 1,329 s	Wartość średnia okresu T: 1,030 s
Niepewność u(T): 0,00061	Niepewność u(T): 0,00069

1. Opracowanie wyników pomiaru:

Okres ruchu mierzony był wielokrotnie, obliczamy dla niego niepewność typu A:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{T} \right)\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}{\mathbf{(}\mathbf{T}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n \bullet}\left( \mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1} \right)}}$$

Dla pręta u(T) = 0,00061, natomiast dla pierścienia u(T)=0,00069.

W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi obrotu stosujemy wzór:

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m \bullet g \bullet a \bullet}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4 \bullet \pi}}$$

Z kolei moment bezwładności względem środka ciężkości bryły wyznaczamy przekształcając twierdzenie Steinera:

I_S= I₀ − m•a²

Dla pręta można odnaleźć wzór na geometryczny moment bezwładności:

$$\mathbf{I}_{\mathbf{S}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{m \bullet}\mathbf{l}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{12}}$$

Dla pierścienia:

$$\mathbf{I}_{\mathbf{S}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{2}}\mathbf{\ }\mathbf{\bullet}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{Z}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\mathbf{R}_{\mathbf{W}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$$

W celu obliczenia niepewności momentu bezwładności I₀ stosujemy prawo przenoszenia niepewności:

$$\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{) = \ }\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial I}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\partial T}}\mathbf{\bullet}\mathbf{u}\mathbf{(T)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \frac{{\mathbf{\partial}\mathbf{I}}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{m}}\mathbf{\bullet}\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{m}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial I}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{\partial a}}\mathbf{\bullet}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{) = \ }\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{m}\mathbf{\bullet g \bullet a \bullet T}}{\mathbf{2}\mathbf{\bullet \pi}}\mathbf{\bullet}\mathbf{u}\mathbf{(T)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \frac{\mathbf{g}\mathbf{\bullet a \bullet}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{\bullet \pi}}\mathbf{\bullet}\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{m}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}\mathbf{\bullet}\mathbf{g}\mathbf{\bullet}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{\bullet \pi}}\mathbf{\bullet}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}}$$

Analogicznie dla I_s obliczonego z prawa Steinera:

$$\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}\mathbf{) = \ }\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial I}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{\partial I}_{\mathbf{0}}}\mathbf{\bullet}\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \frac{{\mathbf{\partial}\mathbf{I}}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{m}}\mathbf{\bullet}\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{m}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial I}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{\partial a}}\mathbf{\bullet}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}\mathbf{) = \ }\sqrt{\left\lbrack \mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \mathbf{- a}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{m}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\left\lbrack \mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\bullet}\mathbf{a}\mathbf{\bullet}\mathbf{m}\mathbf{\bullet}\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}}$$

Oraz I_s obliczonego ze wzorów geometrycznych:

1. Dla pręta:

$$\mathbf{u(}\mathbf{I}_{\mathbf{S)}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{\partial m}}\mathbf{\bullet u}\left( \mathbf{m} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{\partial l}}\mathbf{\bullet u}\left( \mathbf{l} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{u(}\mathbf{I}_{\mathbf{S)}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{l}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{12}}\mathbf{\bullet u}\left( \mathbf{m} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \frac{\mathbf{m \bullet l}}{\mathbf{6}}\mathbf{\bullet u}\left( \mathbf{l} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}}$$

1. Dla pierścienia:

$$\mathbf{u(}\mathbf{I}_{\mathbf{S)}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{\partial m}}\mathbf{\bullet u}\left( \mathbf{m} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{R}_{\mathbf{Z}}}\mathbf{\bullet u}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{Z}} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{R}_{\mathbf{W}}}\mathbf{\bullet u}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{W}} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{u(}\mathbf{I}_{\mathbf{S)}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \frac{{\mathbf{R}_{\mathbf{Z}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{R}_{\mathbf{W}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet u}\left( \mathbf{m} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \mathbf{(m \bullet}\mathbf{R}_{\mathbf{Z}}\mathbf{) \bullet u}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{Z}} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \mathbf{(m \bullet}\mathbf{R}_{\mathbf{W}}\mathbf{) \bullet u}\left( \mathbf{R}_{\mathbf{W}} \right) \right\rbrack^{\mathbf{2}}}$$

	Pręt	Pierścień
	I0 wyznaczone z okresu drgań [kg•m^2]	Is wyznaczone z tw. Steinera [kg•m^2]
Wartość	0,05363	0,03130
Niepewność	0,00062	0,00066

Obliczamy stosunek:

$$\ \mathbf{\text{\ \ }}\frac{\left| \mathbf{I}_{\mathbf{S}}\mathbf{-}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}^{\mathbf{(}\mathbf{\text{geom}}\mathbf{)}} \right|}{\sqrt{\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{S}} \right)\mathbf{+}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}^{\left( \mathbf{\text{geom}} \right)}\mathbf{)}}}$$

Jeżeli wartość będzie mniejsza od k=2, to wyniki są zgodne.

1. Dla pręta:

$$\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\frac{\left| \mathbf{I}_{\mathbf{S}}\mathbf{-}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}^{\mathbf{(}\mathbf{\text{geom}}\mathbf{)}} \right|}{\sqrt{\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{S}} \right)\mathbf{+}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}^{\left( \mathbf{\text{geom}} \right)}\mathbf{)}}}\mathbf{= 0,047}$$

1. Dla pierścienia:

$$\frac{\left| \mathbf{I}_{\mathbf{S}}\mathbf{-}\mathbf{I}_{\mathbf{S}}^{\left( \mathbf{\text{geom}} \right)} \right|}{\sqrt{\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{S}} \right)\mathbf{+}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{S}}^{\left( \mathbf{\text{geom}} \right)} \right)}}\mathbf{=}\mathbf{0,447}$$

1. Wnioski:

Jak wynika z obliczonego powyżej stosunku wartości momentu bezwładności względem środka ciężkości zarówno liczonego ze wzoru Steinera, jak i geometrycznie są zgodne, gdyż ta wartość dla pręta równa jest 0,047, a dla pierścienia 0,447. Obie wyliczone wartości są mniejsze od k=2.