Położenie walca jest zawsze jednoznacznie określone wówczas, gdy znamy współrzędne geograficzne punktów przebicia osią walca powierzchni kuli ziemskiej.

1. Omówić zasady rzutowania punktów powierzchni kuli na pobocznicę walca w odwzorowaniu normalnym.

Ortograficzny rzutowanie punktu wzdłuż prostej prostopadłej do pobocznicy walca,

Stereograficzny rzutowanie wzdłuż prostej wychodzącej z pewnego punktu na linii styczności, przechodzącej przez punkt aż do przecięcia z pobocznicą walca,

Środkowy rzutowanie wzdłuż prostej wychodzącej ze środka kuli, przechodzącej przez punkt aż do przecięcia z pobocznicą walca,

Prosty (równoodległościowy) rozwinięcie na płaszczyźnie południków i równika wiernie.

1. Co jest obrazem południków i równoleżników w odwzorowaniu walcowym normalnym.

Ponieważ w położeniu normalnym oś walca leży w każdej z płaszczyzn południków, a przedłużenia tych płaszczyzn przecinają pobocznicę walca, obrazy południków powstają z przecięcia ich płaszczyzn z pobocznicą walca i tworzą linie proste równoległe do siebie. Odstępy między obrazami południków zależą wyłącznie od odstępów między południkami na kuli; gdy walec jest styczny, odstępy między obrazami południków są równe odpowiednim wyprostowanym łukom równika, a gdy jest sieczny - są równe wyprostowanym łukowym odległościom na równoleżnikach siecznych.

Obrazy równoleżników na pobocznicy walca zachowują kolisty kształt, a po jej rozcięciu i rozwinięciu na płaszczyźnie są to równoległe odcinki, ale o zmiennych odstępach.

Obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym, tworząc ortogonalną sieć linii prostych.

Bieguny, podobnie jak wszystkie równoleżniki, są odcinkami o długości równika (dla walca stycznego wzdłuż równika) lub równoleżników siecznych (dla walca siecznego).

We wszystkich siatkach walcowych (podobnie jak w biegunowych) linie równych zniekształceń (ekwideformaty) pokrywają się z obrazami almukantaratów.

1. Podać skalę długości w kierunku południkowym i równoleżnikowym dla odwzorowania walcowego normalnego.

W odwzorowaniach walcowych normalnych elementem ulegającym różnym zniekształceniom w zależności od typu siatki jest południk. Równoleżniki, niezależnie od parametrów siatek walcowych, w różnych siatkach są zniekształcone zawsze w ten sam sposób. Współczynnik zniekształcenia równoleżnika przybiera wartości od w_zn =1 (dla równika, który nie ulega zniekształceniu) do nieskończoności w_zn = (dla obrazów biegunów, które są liniami). Wielkość tego zniekształcenia zależy od szerokości geograficznej, liczymy ją porównując długość obrazu analizowanego równoleżnika (czyli 2πR, bo obrazy wszystkich równoleżników mają długość równika) do jego rzeczywistej długości na kuli ziemskiej, czyli 2πR cos φ :

a dla walca siecznego w równoleżniku o szerokości φ_s:

1. Podać funkcję odwzorowania walcowego normalnego, równoodległościowego w kierunku południkowym i postać siatki kartograficznej w tym odwzorowaniu.

Odwzorowanie walcowe równoodlegościowe (siatka kwadratowa):

Pobocznica walca jest styczna wzdłuż równika. Obrazami południków i równoleżników, jak we wszystkich walcowych siatkach normalnych, są linie proste wzajemnie prostopadłe. Obrazy południków są odcinkami równoległymi do siebie o długości wiernej oryginałom, czyli R . Odległości między nimi są jednakowe, zgodne z odległościami na równiku. Wszystkie równoleżniki oraz oba bieguny mają długość równą długości równika, czyli 2R. Odległości między równoleżnikami są jednakowe i zgodne z oryginałem, czyli odległość obrazu równoleżnika o szerokości geograficznej φ od równika jest równa wyprostowanemu łukowi południka, odpowiadającemu szerokości geograficznej φ tegoż równoleżnika: x = R φ.

Oczka siatki kartograficznej mają kształt kwadratów. Siatka przedstawiająca obraz całej kuli ziemskiej ma kształt prostokąta o wymiarach . Współczynnik zniekształcenia pola powierzchni globu wynosi:

Płaski obraz kuli ziemskiej, zachowując wymiar oryginału w kierunku południkowym, ulega rozciągnięciu w kierunku równoleżnikowym, a deformacje długości obrazów równoleżników rosną w miarę oddalania się od równika (od w_zn= l do w_zn=).

1. Dlaczego nie istnieje odwzorowanie normalne równoodległościowe w kierunku równoleżnikowym?

Ponieważ kuli nie da się odwzorować na pobocznicę walca w taki sposób, aby obrazy równoleżników były jednocześnie liniami prostymi i nie zniekształconymi.

1. Określić skalę długości w odwzorowaniu wiernokątnym.

2. Określić funkcję odwzorowawczą w odwzorowaniu normalnym walcowym równopolowym.

Z tego: $\frac{1}{R}\frac{\text{dr}}{\text{dφ}}*\frac{1}{\text{cosφ}} = 1$ mamy: x = r = R sinφ

1. Podać skalę długości w odwzorowaniu wiernopolowym walcowym.

$a = \frac{1}{R}\frac{\text{dr}}{\text{dφ}} = \frac{1}{R}R\ cos\varphi = cos\varphi < 1$ $b = \frac{1}{\text{cosφ}} > 1$

1. Podać zniekształcenie katowe dla odwzorowania walcowego wiernopolowego.

$\sin\frac{\omega}{2} = \frac{a - b}{a + b} = \frac{cos\varphi - \frac{1}{\text{cosφ}}}{cos\varphi + \frac{1}{\text{cosφ}}} = \frac{- \sin^{2}\varphi}{\cos^{2}\varphi + 1} < 0$ kąty ulegają powiększeniu

1. Omówić odwzorowanie walcowe poprzeczne kuli.

Pobocznica walca jest styczna z kulą ziemską wzdłuż koła wielkiego utworzonego z dwóch południków oddalonych od siebie o 180°. Jeden z nich przyjmowany jest za południk główny i oznaczany jako . Jest to zawsze południk środkowy odwzorowywanego obszaru. Płaszczyzna południka głównego jest jednocześnie płaszczyzną horyzontu. W położeniu poprzecznym siatka geograficzna przestaje być siatką kierunków głównych. Jest nią natomiast siatka współrzędnych azymutalnych, której obrazami są linie proste wzajemnie prostopadłe (w położeniu normalnym siatka geograficzna jest tożsama z siatką wertykałów i almukantaratów). W położeniu poprzecznym południki i równoleżniki odwzorują się na linie krzywe, z wyjątkiem prostych obrazów równika i południków styczności oraz południków odległych od nich o 90°.

1. Co rozumiemy pod pojęciem odwzorowanie walcowe ukośne kuli?

W położeniu ukośnym oś walca jest nachylona do osi ziemskiej pod kątem większym od 0°, ale mniejszym od 90°, a pobocznica walca jest styczna wzdłuż horyzontalnego koła wielkiego leżącego w płaszczyźnie prostopadłej do nachylonej osi walca albo sieczna w dwóch almukantaratach położonych w jednakowych odległościach od koła horyzontalnego.

W siatkach walcowych ukośnych, podobnie jak w poprzecznych, siatka wertykałów i almukantaratów, jako siatka kierunków głównych, odwzorowuje się na linie proste, także wzajemnie prostopadłe. Siatka geograficzna nie pokrywa się już z siatką współrzędnych azymutalnych, tak jak miało to miejsce w położeniu biegunowym, południki i równoleżniki odwzorowują się na linie krzywe. Kształt linii siatki kartograficznej zależy od położenia walca względem kuli ziemskiej oraz od podstawowych właściwości poszczególnych odwzorowań.

1. Wyprowadzić funkcję odwzorowawczą Mercatora i omówic wyznaczenie stałej Cx.

2. Gdzie ma największe zastosowanie odwzorowanie Mercatora i dlaczego?

Znalazło powszechne zastosowanie w kartografii morskiej do sporządzania map nawi­gacyjnych, ponieważ loksodroma ( skośnobieżna), która na powierzchni kuli przecina południki pod stałym kątem, odwzorowuje się w nim na prostą przecinającą obrazy południków pod takim samym kątem jak na oryginale. Statki płynąc według stałego kursu (wyznaczanego za pomocą kompasu) - poruszały się wzdłuż loksodromy, a zatem przecinały kolejne mijane południki pod takim samym kątem.

Ponieważ w siatce Merkatora kurs statku przebiegał po linii prostej, łatwo go było wykreślić na mapie wykonanej w tym odwzorowaniu. Trasa jest dłuższa niż ortodromiczna, jednak, ze względu na znaczne uproszczenie obliczeń i łatwiejszą żeglugę, w praktyce żeglarskiej stosowano loksodromę. Płynąc wzdłuż niej, żeglarz utrzymywał ten sam kurs i nie musiał go ciągle obliczać i zmieniać, a są to zabiegi konieczne, jeśli statek płynie po ortodromie.

normalne Mercatora = Merkator Projection normalne! Styczne, na elipsoidzie

G-K = poprzeczny Mercator = Transverse Mercator styczne, elipsoida na walec

UTM - Universal Transverse Mercator sieczne elipsoida na walec

1. Odwzorowanie G-K zadanie wprost i odwrotne.

2. Zbieżność południków w G-K.

3. Elementarne skale długości i pól.

4. Współrzędne w układzie G-K

5. Układ 1992

6. Układ 2000.