GRUPA I

1)Za pomocą taśmy mierniczej o L_max=3m i U_L=1mm zmierzono średnicę cylindrycznego zbiornika paliwa uzyskując D=700mm. Określ niepewność pomiarową względną dla wartości mierzonej.

∆U_p=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{700}}$*100%=0,14%

2)Dla wysokości h=1000mm0,1% obliczyć objętość tego zbiornika wraz z niepewnościami względną i bezwzględną, a wyniki zaokrąglić.

V=π$\left( \frac{\mathbf{D}}{\mathbf{2}} \right)^{\mathbf{2}}$h=$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{4}}\mathbf{D}^{\mathbf{2}}$h

$\frac{\mathbf{\partial V}}{\mathbf{\partial D}}$=$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{4}}$*h*D*2=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$πhD

$\frac{\mathbf{\partial V}}{\mathbf{\partial h}}$=$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{4}}\mathbf{D}^{\mathbf{2}}$h=$\mathbf{D}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{4}}$

U_q=$\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial q}}{\mathbf{\partial x}}\mathbf{*}\mathbf{U}_{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ldots +}\left( \frac{\mathbf{\partial q}}{\mathbf{\partial z}}\mathbf{*}\mathbf{U}_{\mathbf{z}} \right)^{\mathbf{2}}}$

U_CV=$\sqrt{\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{πhD}}\mathbf{*}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{98} \right)^{\mathbf{2}}{\mathbf{+ \ldots +}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{πhD}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{\%}} \right)}^{\mathbf{2}}}$=…

Niepewn.wzgledna = $\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{\text{CV}}}}{\mathbf{V}}$*100%

3)Dla danych D₁=701mm, D₂=700mm, D₃=699mm określić niepewność pomiarową U_D=δ=D_śr-m₁ na poziomie ufności 1-α=95%.

D_sr=700mm poz.ufnosci 1-α=95%

- α=95%-100% α =5%=0,05

Dla n=3 0,05 odczytujemy z tablicy składowych

S_n − 1²=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 1}}\sum_{}^{}\left( \mathbf{D}_{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{D}_{\mathbf{\text{sr}}} \right)^{\mathbf{2}}$

U_D=(D_sr−m_1D)²=$\sqrt{\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{n,\alpha}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{S}_{\mathbf{n - 1,D}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}}}$

GRUPA II

1)Za pomocą amperomierza cyfrowego o zakresie I_max=5A i U_I=|0,5%w.m.+0,1%w.z.| zmierzono prąd zasilający żarówkę uzyskując I=1,8 A. Określić niepewność pomiarową bezwzględną dla wartości zakresu.

U_I=(0,5%*1,8+0,1%*5)=0,014V

2)Dla rezystancji żarówki R=(6,80,1)Ω obliczyć moc P=I² *R rozproszoną przez żarówkę wraz z niepewnościami względną i bezwzględną, a wyniki zaokrąglić.

I=1,8A U_I=0,014V R=6,8 Ω U_R=0,1 P=I² *R

$\frac{\mathbf{\partial D}}{\mathbf{\partial I}}$=2IR $\frac{\mathbf{\partial D}}{\mathbf{\partial R}}$=I²

Niepewn.bezwzgl. U_CP=$\sqrt{\left( \mathbf{2}\mathbf{\text{IR}}\mathbf{*}\mathbf{U}_{\mathbf{I}} \right)^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\left( \mathbf{I}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{U}_{\mathbf{R}} \right)}^{\mathbf{2}}}$

Niepewn.wzgl.= $\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{\text{CP}}}}{\mathbf{P}}$*100%

3)Dla danych I₁=1,81A, I₂=1,80A,I₃=1,79A określić minimalna liczbę pomiarów z prawdopodobieństwem 90% w przedziale ufności U₁= δ=I_śr-m₁=0,005A.

n=? przedzial ufności= 1-90%=α

α=10%=0,1

t_{3 ,  0, 1}= odczytac

S_{n − 1, I}²=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 1}}\sum_{}^{}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{sr}}} \right)^{\mathbf{2}}$

U_I= δ=I_śr-m₁=0,005A

n≥$\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{3,\ \ 0,1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{S}_{\mathbf{n - 1,I}}^{\mathbf{2}}}{\left( \mathbf{I}_{\mathbf{\text{sr}}}\mathbf{-}\mathbf{m}_{\mathbf{1}} \right)^{\mathbf{2}}}$

GRUPA III

1)Za pomocą suwmiarki cyfrowej o zakresie X_max=150mm i U_x=|0,2% w.m.+0,05%w.z.|zmierzono średnicę cylindra silnika uzyskując Ø=50mm. Określić niepewność pomiarową bezwzględną dla wartości mierzonej.

U_x=|0,2%*50mm+0,05%*1500mm|=…

2)Dla skoku tłoka h=(480,2)mm obliczyć pojemność skokową cylindra wraz z niepewnościami względną i bezwzględną, a wyniki zaokrąglić.

V=${\mathbf{(}\frac{\mathbf{\varnothing}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$πh

$\frac{\mathbf{\partial V}}{\mathbf{\partial\varnothing}}$=$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{2}}\mathbf{\varnothing}$h

$\frac{\mathbf{\partial V}}{\mathbf{\partial h}}$=$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{4}}\mathbf{\varnothing}^{\mathbf{2}}$

U_CV=$\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial V}}{\mathbf{\partial\varnothing}}\mathbf{*}\mathbf{U}_{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial V}}{\mathbf{\partial h}}\mathbf{*}\mathbf{U}_{\mathbf{h}} \right)}^{\mathbf{2}}}$

Niep.wzgl.= $\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{\text{CV}}}}{\mathbf{V}}$*100%

3)Dla danych Ø₁=50mm, Ø₂=49mm, Ø₃=51mm określić minimalną liczbę pomiarów z prawdopodobieństwem 98% w przedziale ufności U_Ø=δ=Ø_śr-m₁=0,5 mm.

O_sr=50mm

1-α=98% -> α=2%=0,02

S_{n − 1,O}²=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 1}}\sum_{}^{}\left( \mathbf{O}\mathbf{-}\mathbf{O}_{\mathbf{\text{sr}}} \right)^{\mathbf{2}}$

U_O= δ=Ø_śr-m₁=0,5 mm

t_{3 ,  0, 02}=odczytac

n_min≥$\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{3,\ \ 0,02}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{S}_{\mathbf{n - 1,}\mathbf{O}}^{\mathbf{2}}}{\left( \mathbf{O}_{\mathbf{\text{sr}}}\mathbf{-}\mathbf{m}_{\mathbf{1}} \right)^{\mathbf{2}}}$

GRUPA IV

1)Za pomocą woltomierza wskazówkowego o zakresie U_max=20V i klasie dokładności 0,5 zmierzono napięcie zasilające grzałkę tylnej szyby uzyskując U=12V. Określić niepewność pomiarową bezwzględną dla wartości zakresu.

∆U=$\frac{\mathbf{20*0,5\%}}{\mathbf{100\%}}$=0,1

2)Dla wartości prądu I=(150,15)A obliczyć rezystancję R=$\frac{U}{I}$ wraz z niepewnościami względną i bezwzględną, a wyniki zaokrąglić.

R=$\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}}$ U=12V ∆U=0,1 I=15A U_I=0,15

$\frac{\mathbf{\partial R}}{\mathbf{\partial U}}$=U*I⁻¹=I⁻¹=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{I}}$

$\frac{\mathbf{\partial R}}{\mathbf{\partial I}}$= U*I⁻¹=U*(-I⁻²)=-$\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}^{\mathbf{2}}}$

U_UR=$\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial R}}{\mathbf{\partial U}}\mathbf{*}\mathbf{}\mathbf{U} \right)^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial R}}{\mathbf{\partial I}}\mathbf{*}\mathbf{U}_{\mathbf{I}} \right)}^{\mathbf{2}}}$

Niepewn.wzgl.=$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{\text{CR}}}}{\mathbf{R}}$*100%

3) t₃₌0,05 oraz S_U²=0,04V² określić niepewność pomiarową U_u=δ=U_śr-m₁, gdy U_śr=U=12V.

U_U=$\sqrt{\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{3,\ \ 0,05}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{S}_{\mathbf{U}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}}}$

Śr.arytm.z proby x_sr=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\sum_{\mathbf{j = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{x}_{\mathbf{j}}$

Wariancja z proby S_{n − 1, x}²=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 1}}\sum_{\mathbf{j = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{\text{sr}}} \right)^{\mathbf{2}}$

Wariancja z populacji μ_2x=μ_2xG=D²(X_G)=σ_xG²=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}_{\mathbf{G}}}\sum_{\mathbf{k = 1}}^{\mathbf{N}_{\mathbf{G}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{\text{kG}}}\mathbf{-}\mathbf{m}_{\mathbf{1}\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}$

Odch.stand.z proby S_{n − 1, x}=$\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 1}}\sum_{\mathbf{j = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{\text{sr}}} \right)^{\mathbf{2}}}$

Odch.stand.z populacji σ_xG=$\sqrt{\mathbf{D}^{\mathbf{2}}\mathbf{(X}_{\mathbf{G}}\mathbf{)}}$=$\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}_{\mathbf{G}}}\sum_{\mathbf{k = 1}}^{\mathbf{N}_{\mathbf{G}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{\text{kG}}}\mathbf{-}\mathbf{m}_{\mathbf{1}\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}}$

Odch.stand.wart.oczek.z proby S_{n − 1,xsr}=$\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n(n - 1)}}\sum_{\mathbf{j = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{\text{sr}}} \right)^{\mathbf{2}}}$

Dla pop.nieskoncz. m_1x=E{X}, dla skoncz. x_sr= E{X} wiec σ_xsr=0