Zestaw VIII

Zadanie 1.(4 pkt)

W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wykres funkcji:$f\left( x \right) = \frac{\sqrt{x^{2} + 4x + 4}}{x + 2} - \frac{\sqrt{9 - 6x + x^{2}}}{x - 3}$ ,gdzie x ∈(-2,3)ᴗ(3,∞).

Zadanie 2.(4 pkt)

W trapez prostokątny można opisać okrąg. Jedna z jego podstaw ma długość a, druga zaś jest trzy razy dłuższa. Oblicz pole trapezu oraz długości odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Zadanie 3.(5 pkt)

Funkcja $f\left( x \right) = \frac{2 - x}{x + b}$ przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ (−∞,−5) ∪ (2, ∞).

1. Oblicz b.

2. Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej.

3. Wyznacz zbiór tych argumentów, dla których funkcja f osiąga wartości niewiększe niż funkcja$\text{\ \ g}\left( x \right) = \frac{3x + 8}{x + 5}$.

Zadanie 4.(6 pkt)

Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Zadanie 5.(5 pkt)

Kąt ostry równoległoboku ma miarę 30 . Odległości punktu przecięcia przekątnych równoległoboku od jego boku są odpowiednio równe 2 oraz 6. Oblicz pole równoległoboku i długość jego krótszej przekątnej.

Zadanie 6.(3 pkt)

Dla jakich wartości parametru α, wielomian W(x) = x³ − (2sin4α)x² + 3x − sin4α − 5 jest podzielny przez dwumian (x-2)?

Zadanie 7.(5 pkt)

Długości boków trójkąta a ,b, c (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny. Wyraź w procentach, jaką część wysokości trójkąta poprowadzonej na bok długości b stanowi promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie 8.(6 pkt)

1. Dla jakich wartości parametru m równanie x² + y² − 2mx + 2m − 1 = 0 opisuje okrąg? Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu.

2. Dla jakich wartości parametru m okrąg ten jest styczny do prostej o równaniu x=4?

Zadanie 9.(5 pkt)

W prawidłowym graniastosłupie trójkątnym, pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta α nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

Zadanie 10.(4 pkt)

Wielokąt wypukły ma n wierzchołków (n≥3 i n∈ N), spośród których losujemy jednocześnie dwa. Wyznacz n wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków wyznaczających przekątną tego wielokątna jest mniejsze od$\frac{4}{5}$.

Zadanie 11.(3 pkt)

Wiadomo, że liczba a jest rozwiązaniem równania $\frac{1}{x} + x = 5$ gdzie x≠0. Nie wyznaczając a, oblicz wartość wyrażenia $\frac{1}{a^{3}} + a^{3}$