Udowodnić że oczekiwany pozostały czas zdatności jednoznacznie określa postać rozkładu.

Dla odpowiednio dużych wartości argumentu t wartość funkcji r(t) ulega niewielkim zmianom i dąży do: $\text{\ \ }\operatorname{}{r\left( t \right) =}\lim_{t \rightarrow \infty}\frac{1}{\lambda(t)}$

Dla jednostajnego r(t)=$\ \frac{1}{1 - \frac{1}{b}\text{\ \ }}$ $\int_{t}^{b}{\left( 1 - \frac{x}{b} \right)dx = \frac{b - t}{2}}$

Dla wykłądniczego r(t)=$\ \frac{1}{e^{- \lambda t}\text{\ \ }}$ $\int_{t}^{\infty}{\left( e^{- \lambda x} \right)dx = \frac{1}{\lambda}}$

Jak wyznaczyć optymalną chwilę wymiany profilaktycznej

nie wiem i jebie mnie to bo mam już zaliczone

Ilościowe miary niezawodności obiektu naprawialnego:

− funkcja gotowości, − współczynnik gotowości, − intensywność uszkodzeń,− intensywność odnowy, − proces odnowy, − funkcja odnowy.

Funkcja gotowości prawdopodobieństwo przebywania w dowolnej chwili t w stanie zdatnośći $\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ }}P1\left( t \right) = e^{- \left( \lambda + \mu \right)t} \bullet \frac{\lambda}{\lambda + \mu} + \frac{\mu}{\lambda + \mu} = kg\left( t \right)$ ; t=0 ; P1=1 t∞ $P1 = \frac{\mu}{\lambda + \mu} = kg$-wspł gotowości(nie zależy już od czasu t). Przebieg funkcji gotowości $kg = \frac{\frac{1}{E(t2)}}{\frac{1}{E\left( t1 \right)} + \frac{1}{E(t2)}} = \frac{E(t1)}{E(t2) \bullet E(t1)} = \frac{\text{Tz}}{\text{Tnz}} = \frac{\text{Tz}}{\text{Te}}$

$\frac{\text{Tz}}{\text{Te}}\ $udział czasu zdatności w całym procesie

eksploatacji obiektu

Tz-czas zdatności ; Tnz-czas niezdatn. Te-czas eksploatacji

Wskaźnik gotowości- Wskaźnik gotowości technicznej:

kg=$\frac{\text{Tz}}{\text{Te}}\ ;\text{kg} = \frac{\text{Tu} + \text{Tou}}{\text{Tu} + \text{Tou} + \text{To}}$ ;kg=$\frac{\text{Tu}}{\text{Tu} + \text{Too} + \text{To}}$

Wskaźnik wykorzystania obiektu zdatnego: kw=$\frac{\text{Tu}}{\text{Tz}}$

kg=$\frac{\text{Tu}}{Tu + Tou}$<1 ; kw=$\frac{\text{Tu}}{\text{Tu}} = 1$

Współczynnik gotowości − jest to wartość graniczna funkcji gotowości przy czasie dążącym do nieskończoności

-WYMIANA W USTALONYM WIEKU

Pw(t)=Rⁿ(w)R(t − nw) ; nw<t<(n+1)w gdzie:

Pw(t)- prawdopodobieństwo, że obiekt wymieniany
profilaktycznie w ustalonym czasie (co stały okres w) nie uszkodzi się do chwili t,

Rⁿ(w)- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się w kolejnych przedziałach czasu o długości w,

R(t − nw)- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się w przedziale(nw,t) ; t<(n+1)w

E(Tw) = ∫₀^∞Pw(t)dt = ∫₀^∞Rⁿ(w)R(t−nw)dt E(Tw)=

=$\sum_{n0}^{\infty}{\int_{\text{nw}}^{\left( n + 1 \right)w}{R^{n}\left( w \right)R\left( t - nw \right)\text{dt}}}$ Wartość w można wyznaczyć wg.rozmaitych kryteriów:

Np. – wg.kryterium ekonomicznego uwzględniając

-koszty wymian profilaktycznych

- koszty napraw wymuszonych uszkodzeniem obiektu

oraz charakterystyki niezawodnościowe obiektu

a – koszt wymiany profilaktycznej; b – koszt naprawy wymuszonej E(T_u) – oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenialub wymiany) zakładamy że a<b

C(w) – jednostkowy koszt utrzymania

-POZOSTAŁY OCZEKIWANY CZAS ZDATNOŚCI:

jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu

zdatności pod warunkiem, że w chwili t

obiekt jest zdatny.

(charakterystyka funkcyjna zalezy od t)

Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu zdatności

r(t) wyrazić charakterystyki funkcyjne niezawodności:

Dla odpowiednio dużych wartości argumentu t wartość funkcji r(t) ulega niewielkim zmianom i dąży do:

Dla rozkładu wykładniczego:

Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

Podobnie możemy wyznaczyć oczekiwany czas zdatności obiektu jeżeli wiadomo, że uszkodził się do chwili t:

inaczej:

Czterostanowy proces eksploatacji:W czterostanowym procesie eksploatacji występują wszystkie możliiwe stany, czyli Tu, To, Tou, Too. Te=Tu+To+Tou+Too

kg = $\frac{\text{Tz}}{\text{Te}} = \frac{\text{Tu} + \text{Tou}}{\text{Tu} + \text{To} + \text{Tou} + \text{Too}}$

kw = $\frac{\text{Tu}}{\text{Tz}} = \frac{\text{Tu}}{Tu + Tou}$ ke = $\frac{\text{To}}{\text{Tnz}} = \frac{\text{To}}{To + Too}$

kg=$\frac{\text{keTu}}{keTu + kwTo}$ Wobec powyższego, możemy zbudować następuący graf (drzewo):Jeżeli Te↔L $\frac{L}{\text{Te}} = \lambda e - intensywnosc\ eksploatacji$ $\frac{L}{\text{Tz}} = \lambda u - intens$ użytkowania $\frac{L}{\text{Tu}} = Ve - pred\ ekspl$ ; $\frac{L}{\text{Tj}} = Vt - predkosc\ tehcniczna$

Funkcja niezawodności: R(t) – prawdopodobieństwo, że do chwili t nie nastąpi uszkodzenie.

Niezawodność obiektu to własność, która wyraża się poprawnym wykonaniem złożonych zadań przez obiekt w określonym czasie, przy określonych warunkach pracy.

Strumień odnowy

Chwile uszkodzeń (odnowień) elementu:

Niezawodność obiektów naprawialnych:

- czas naprawy (bardzo mały w stosunku do czasu życia elementu),- odnowa natychmiastowa – czas trwania = 0,

- czas odnowy posiada pomijalną wartość.

Chwile uszkodzeń (odnowień)przedstawiają strumień losowy także nazywanym strumieniem odnowy

Funkcja odnowy

H(t)=$\sum_{n = 1}^{\infty}{\varnothing n}$(t)=$\ \sum_{n = 1}^{\infty}{\int_{0}^{t}\text{Fn}\left( t - \tau \right) \bullet \text{dGn}\left( \tau \right)}$

oczekiwana liczba uszkodzeń

( odnowień).Jest to funkcja czasu, określona dla t> 0

W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamyja gęstością odnowy.

Gęstośc odnowy h(t)= φn(t) gdzie φn(t)=$\frac{d\varnothing n(t)}{\text{dt}}$