KF PŚK	Imię i nazwisko: Ewa Tkaczewska, Anna Rek, Joanna Pardela, Martyna Wykrota	Wydział, Grupa: WZiMK L02
Symbol ćwiczenia: E-5	Temat: Badanie rezonansu w obwodzie RLC.
Data wykonania: 10-05-2012	Data oddania do poprawy:	Ocena:

I. Część teoretyczna

Istnieje wiele układów fizycznych, które posiadają tzw. stan równowagi trwałej. Układ

wytrącony ze stanu równowagi trwałej wykonuje drgania, których częstotliwość fo zależy od

konstrukcji tego układu. Takie układy nazywa się oscylatorami a ich drgania oscylacjami.

Wskutek tłumienia (i związanych z tym strat energetycznych) drgania zanikają. Układ można

zmusić do drgań stosując zewnętrzne wymuszenie, ale wówczas układ drga z częstotliwością

f równą częstotliwości siły wymuszającej. Jeżeli częstotliwość f odbiega od częstotliwości

fo drgań własnych układu, to amplituda drgań układu jest niewielka. Oczywiście amplituda

drgań jest największa, gdy częstotliwość f zmian siły wymuszającej pokrywa się z częstotliwością własną układu tj. gdy f = fo. Zjawisko to nazywa się rezonansem a częstotliwość, przy której ono zachodzi nazywa się częstotliwością rezonansową.

Zjawisko rezonansu powstaje w obwodach RLC w wyniku odpowiedniego doboru parametrów oraz częstotliwości źródła zasilania. Ma ono duże znaczenie praktyczne zarówno w układach elektroenergetycznych, jak i w technice wysokich częstotliwości, teletechnice, metrologii elektrycznej. Oprócz tych przypadków, gdy rezonans jest zjawiskiem pożądanym, wykorzystywanym w technice, może się zdarzyć, że układy rezonansowe powstają w sposób przypadkowy i mają działanie szkodliwe.

Do stanu rezonansu można doprowadzić układ zawierający cewkę i kondensator poprzez odpowiedni dobór ich reaktancji (przez zmianę indukcyjności lub pojemności) lub zmianę pulsacji napięcia zasilającego. Częstotliwość przy której jest spełniony warunek rezonansu nazywamy częstotliwością rezonansową:

$$\text{fo} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L C}}$$

Warunkiem rezonansu napięć jest:

,

gdzie ω oznaczamy jako pulsację.

Powyższy warunek rezonansu szeregowego spełniony jest dla pulsacji rezonansowej ω₀

częstotliwość rezonansowa wynosi zatem:

W stanie rezonansu szeregowego spełnione są zależności:

Z=R; E=U_R U_L+U_C=0 |U_L|=|U_C|,

gdzie: Z- impedancja obwodu

E- skuteczna zespolona (II prawo Kirchhoffa)

)

U_L-napięcie na cewce U_C- napięcie na kondensatorze

Impedencja jest to opór w obwodach prądu zmiennego.

W stanie rezonansu napięć:

• impedancja obwodu jest równa rezystancji;

• napięcie przyłożone do obwodu jest jednocześnie napięciem na rezystancji;

• suma geometryczna napięć na indukcyjności i pojemności jest równa zeru;

• napięcie na indukcyjności jest co do modułu równe napięciu na pojemności

• ponieważ X=0, impedancja Z=R, prąd w obwodzie może osiągnąć bardzo dużą wartość, a w przypadku bardzo małej rezystancji źródło napięcia pracuje niemal w warunkach zwarcia.

Ze względu na równość modułów napięć na elementach reaktancyjnych rezonans w rozpatrywanym obwodzie nazywamy rezonansem napięć.

Literatura:

1.”Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych” t.2, R. Resnick, D. Holiday

II. Doświadczenie

W celu przeprowadzenia doświadczenia wykorzystaliśmy układ zbudowany z generatora funkcyjnego o regulowanej częstotliwości, kondensatora dekadowego, opornika dekadowego oraz zwojnicy dekadowej połączonych ze sobą szeregowo. Układ, na którym były wykonywane pomiary, zestawione według następującego schematu:

1. Generator Funkcyjny

2. Indukcyjność dekadowa

3. Kondensator dekadowy

4. Opornik dekadowy

Doświadczenie przebiega na dwóch etapach. W pierwszej części doświadczenia badana była zależność prądu płynącego przez miliamperomierz od częstotliwości ustawionej na generatorze, dla R = 0 Ω na oporniku dekadowym, pojemności kondensatora C = 0,4 µF, oraz indukcyjności zwojnicy L = 0,3 H. Zaś w drugiej części zmieniliśmy tylko wartość oporu na R=100Ω.

Na podstawie znanej pojemności oraz częstotliwości, możliwe było wskazanie indukcyjności badanych zwojnic, ze wzoru $f_{R} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$, który łatwo przekształcić do postaci $L = \frac{1}{C} \left( \frac{1}{2\pi f_{R}} \right)^{2}$

LP.	f/Hz/	I [mA] dla, R=0	U [Ω]	Z/Ω/, dla R=0	I [mA], dla R=100	U[Ω]	Z /Ω/, dla R=100
1	100	0,96	3,205	3339	0,097	3,040	3134
2	200	2,27	3,198	1409	2,12	3,033	1430
3	250	3,42	3,192	933	3,18	3,023	950
4	300	5,03	3,183	633	4,76	3,004	631
5	320	6,49	3,172	489	5,78	2,995	518
6	340	8,42	3,152	374	8,40	3,013	359
7	360	10,55	3,130	297	10,06	3,007	284
8	380	13,69	3,086	225	11,92	3,009	252
9	400	19,28	2,987	155	12,48	3,012	241
10	410	20,60	2,959	144	12,30	3,030	246
11	420	21,22	2,940	139	12,48	3,012	241
12	430	20,45	2,951	144	11,69	3,008	257
13	440	18,13	2,999	165	10,85	3,032	279
14	450	16,63	3,030	182	10,25	3,005	293
15	460	14,86	3,062	206	9,27	3,023	326
16	470	12,55	3,096	247	8,90	3,008	338
17	480	11,32	3,111	275	8,30	3,018	364
18	490	10,24	3,123	305	7,65	2,992	391
19	500	9,10	3,135	346	6,67	2,999	450
20	520	7,73	3,144	407	6,31	3,005	476
21	540	6,77	3,153	466	5,31	3,016	568
22	560	5,99	3,156	527	4,81	3,017	627
23	580	5,32	3,159	594	4,42	3,020	683
24	600	4,75	3,158	665	4,02	3,022	752
25	650	3,93	3,161	804	3,62	3,024	835
26	700	3,33	3,161	949	3,10	3,014	972
27	800	2,56	3,156	1233	2,38	3,011	1265
28	900	2,08	3,148	1513	1,95	3,006	1542

Dla R=0Ω

Opór uzwojenia cewki indukcyjności liczymy ze wzoru:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{L}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}\mathbf{-}\mathbf{H}_{\mathbf{p}}\mathbf{\approx}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}$$

Gdzie:

R_p to opór przewodów łączących

I_R to wartość prądu dla f = f_R

$$R_{L} \approx \frac{2,940V}{21,22*10^{- 3}} \approx 138,55\mathrm{\Omega}$$

Odczytując z wykresu bezwzględną szerokość połówkową krzywej rezonansowej:

$$I = \frac{I_{R}}{\sqrt{2}}$$

$$I = \frac{21,22}{\sqrt{2}} = 15\ \lbrack\text{mA}\rbrack$$

f = f₂ − f₁

f = 460 − 380 = 80 [Hz]

możemy obliczyć względną szerokość połówkowa:

$$\frac{f}{f_{R}} = \frac{80}{459} \approx 0,174$$

Dla R=100Ω

Powtarzamy nasze czynnosci, czyli liczymy opór uzwojenia cewki indukcyjności:

$$R_{L} = \frac{3,012V}{12,48*10^{- 3}} \approx 241,35\lbrack\Omega\rbrack$$

Ponownie odczytujemy z wykresu wartość bezwzględną szerokości połówkowej krzywej rezonansowej:

$$I = \frac{12,48\ \lbrack\text{mA}\rbrack}{\sqrt{2}} = 8,82\lbrack\text{mA}\rbrack$$

f = 470 − 340 = 130[Hz]

$$\frac{f}{f_{R}} = \frac{130}{459} = 0,283$$

III. Wnioski

Cel doświadczenia został osiągnięty. Zbadaliśmy częstotliwość i zachowuje się ona tak jak można się było spodziewać. Nasza częstotliwość rezonansowa wynosi 420Hz. Analizując otrzymane wykresy zależności natężenia od częstotliwości zauważamy, że przebiegają one podobnie pomimo róznej wartości oporu w obu próbach. Różnią się natężeniem prądu dla f_R, które wynosi dla R=0Ω około I_R = 21, 22 mA, a dla R=100Ω, I_R = 12, 48mA. Natomiast wartość oporu uzwojenia cewki dla R=0Ω to R_L = 138, 55Ω, a dla R=100Ω R_L = 241, 35Ω.