Zestaw zadań

Zadanie

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

$f\left( x \right) = \frac{x - 1}{x + 1}$ w punkcie o odciętej x=2.

f(x) = ln(x²+e)    w punkcie (0, f(0)) Odp: y=1

$f\left( x \right) = \sqrt{2^{z} + 1\ }\text{\ \ \ \ \ w\ punkcie\ }\left( 3,f\left( 3 \right) \right)$ Odp: y=4/3 ln2(x-3)+3

Zadanie

Zbadać ciągłość funkcji:

$$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} & \text{dla} & x \neq 0 \\ 0 & \text{dla} & x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x - 2}{\left| x - 2 \right|} & \text{dla} & x \neq 2 \\ 1 & \text{dla} & x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Odp: obie funkcje nieciągłe

Zadanie

Dobrać parametry rzeczywiste a,b tak, aby podane funkcje były ciągłe.

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} bx + 3 & \text{dla} & x < 1 \\ 2x^{2} + x + a & \text{dla} & x \geq 1 \\ \end{matrix} \right.\ $ Odp: a=b

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} {(x - 1)}^{3} & \text{dla} & x \leq 0 \\ ax + b & \text{dla} & 0 < x < 1 \\ \sqrt{x} & \text{dla} & x \geq 1 \\ \end{matrix} \right.\ $ Odp: a=2 ,b=-1

Zadanie

Wyznacz extremum funkcji oraz podaj przedziały monotoniczności funkcji:

f(x) = (x − 2)⁵(2x + 1)⁴ 

$$f\left( x \right) = \frac{1 - x + x^{2}}{1 + x + x^{2}}$$

f(x) = x − e^x

f(x) = x²e^−x

f(x) = 2x² − lnx

f(x) = x − 2sinx   dla 0 ≤ x ≤ 2π

$$f\left( x \right) = ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$$

$$f\left( x \right) = \frac{10}{4x^{3} - 9x^{2} + 6x}$$

f(x) = x − ln(1 + x)

Zadanie

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:

f(x) = x − 2lnx   w przedziale  < 1, e> odp: Wart. Największa f(2)=2-ln4, najmniejsza f(e) =e-2

$f\left( x \right) = \cos{2x + 2sinx\ w\ przedziale\ < 0;\ \frac{\pi}{2} >}$ odp: Wart. Największa $f\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{3}{2},majmniejsza\ f\left( 0 \right) = 1$

Zadanie

Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:

$$f\left( x \right) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{3}}$$

f(x) = x²lnx

f(x) = (1 + x²⁾)e^x

1. (-2-sqrt(3), -2+sqrt(3)), (1, ∞) wypukła

(−∞,−2−sqrt(3),1),  (-2+sqrt(3),1) wklęsła

Punkty przegięcia: x=2-sqrt(3), x=-2+sqrt(3)

1. Wypukła: $\left( 0,e^{\frac{- 3}{2}} \right)$

Punkt przegięcia: $(e^{\frac{- 3}{2}},\ - \frac{3}{2}e^{- 3})$

1. Punkty przegięcia: ( − 3,  10e⁻³⁾,  (1,  2e⁻¹)

Wklęsła (-3, -1)