Rozwiązania zadań z Chyli

Przydatne wzory:

F_b = ma

F_c = mg

$$F_{odsr} = \frac{mv^{2}}{r} = \frac{m\left( \frac{2\pi r}{T} \right)^{2}}{r} = \frac{m\frac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}}{r} =$$

$$= \frac{\frac{4m\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}}{r} = \frac{4m\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}*\frac{1}{r} = \frac{4m\pi^{2}r}{T^{2}}$$

Rozwiązanie zadania 1a/17/Chyla

Dane:	Szukane:
$$a = \frac{1}{3}g$$ m = 10 kg $$g = 9,8\ \frac{m}{s^{2}}$$	Fs = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

F_s + F_b = F_c

F_s = F_c − F_b

F_s = mg − ma

F_s = m(g−a)

$$F_{s} = m\left( g - \frac{1}{3}g \right)$$

$$F_{s} = mg\left( 1 - \frac{1}{3} \right)$$

$F_{s} = \frac{2}{3}\text{mg}$

$$F_{s} = \frac{2}{3}*10\ kg*9,8\frac{m}{s^{2}}$$

$$F_{s} = \frac{2}{3}*98\ N$$

$$F_{s} = \frac{196}{3}N$$

F_s ≈ 65, 3N

Odpowiedź: Waga sprężynowa na której zawieszono ciało wskaże siłę F_s ≈ 65, 3N

Rozwiązanie zadania 1b/17/Chyla

Dane:	Szukane:
$$a = \frac{1}{5}g$$ m = 10 kg $$g = 9,8\ \frac{m}{s^{2}}$$	Fs = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

F_s = F_c + F_b

F_s = mg + ma

F_s = m(g−a)

$$F_{s} = m\left( g + \frac{1}{5}g \right)$$

$$F_{s} = mg\left( 1 + \frac{1}{5} \right)$$

$$F_{s} = 1\frac{1}{5}\text{mg}$$

$$F_{s} = \frac{6}{5}\text{mg}$$

$$F_{s} = \frac{6}{5}\text{mg}$$

$$F_{s} = \frac{6}{5}*10\ kg*9,8\frac{m}{s^{2}}$$

$$F_{s} = \frac{6}{5}*98\ N$$

$$F_{s} = \frac{588}{3}N$$

F_s ≈ 196N

Odpowiedź: Waga sprężynowa na której zawieszono ciało wskaże siłę F_s ≈ 196N.

Rozwiązanie zadania 1c/17/Chyla

Dane:	Szukane:
$$v = 2\frac{m}{s} = const$$ m = 10 kg	Fs = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

F_s = F_c

F_s = mg

$$F_{s} = 10kg*9,8\frac{m}{s^{}}$$

F_s = 98 N

Odpowiedź: Waga sprężynowa, na której zawieszono ciało wskaże siłę F_s ≈ 98N

Rozwiązanie zadania 2/17/Chyla

Dane:	Szukane:
v = 0 p = 15%	a = ?

Patrz rysunki do tego zadania na następnej stronie:

Rozpatrujemy rysunek prawy, gdy winda znajduje się w spoczynku

F_s = F_c

F_s = mg

Rozpatrujemy rysunek lewy, gdy winda znajduje się w ruchu jednostajnie przyspieszonym w dół

F_s^′ = F_c + F_b

F_s^′ = mg + ma

−ma = −F_s^′ + mg/*(−1)

ma = F_s^′ − mg/:m

$$a = \frac{{F_{s}}^{'} - mg}{m}$$

$$a = \frac{{F_{s}}^{'} - mg}{m}$$

F_s^′ = F_s + pF_s

F_s^′ = F_s(1+p)

F_s^′ = mg(1+p)

$$a = \frac{\text{mg}\left( 1 + p \right) - mg}{m}$$

$$a = \frac{\text{mg}\left\lbrack \left( 1 + p \right) - 1 \right\rbrack}{m}$$

a = g[(1+p)−1]

a = g[1+p−1]

a = pg

$$a = 15\%*9,8\ \frac{m}{s^{2}} = \frac{15}{100}*9,8\frac{m}{s^{2}} = \frac{147\frac{m}{s^{2}}}{100} = 1,47\frac{m}{s^{2}}$$

Odpowiedź: Winda porusza się w dół z przyspieszeniem $a = 1,47\frac{m}{s^{2}}$.

Rozwiązanie zadania 3/18/Chyla

Dane:	Szukane:
$$a = \frac{1}{\sqrt{3}}g$$	α = ?

$$tg\alpha = \frac{F_{c}}{F_{b}}$$

$$tg\alpha = \frac{\text{mg}}{\text{ma}}$$

$$tg\alpha = \frac{g}{a}$$

$$tg\alpha = \frac{g}{\frac{1}{\sqrt{3}}g}$$

$$tg\alpha = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$$

$$tg\alpha = 1*\frac{\sqrt{3}}{1}$$

$$tg\alpha = \sqrt{3}$$

α = 60^o

Odpowiedź: Człowiek musi nachylić się do poziomu pod katem α = 60^o aby nie upaść w autobusie poruszającym się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem $a = \frac{1}{\sqrt{3}}g$.

Rozwiązanie zadania 4/18/Chyla

Dane:	Szukane:
α = 30^o	a = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

$$tg\alpha = \frac{F_{b}}{F_{c}}$$

$$tg\alpha = \frac{\text{ma}}{\text{mg}}$$

$$tg\alpha = \frac{a}{g}/g$$

gtgα = a

a

a = gtgα

$$a = 9,8\ \frac{m}{s^{2}}*tg30^{o}$$

$$a = 9,8\ \frac{m}{s^{2}}*\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$\sqrt{3} \approx 1,73$$

$$a \approx 9,8\ \frac{m}{s^{2}}*\frac{1,73}{3}$$

$$a \approx \frac{16,954\ \frac{m}{s^{2}}}{3}$$

$$a \approx 5,65\frac{m}{s^{2}}\ $$

Odpowiedź: Przyspieszenie wagonika wynosi $a \approx 5,65\frac{m}{s^{2}}\ $.Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony.

Rozwiązanie zadania 5/18/Chyla

Dane:	Szukane:
$$a = 2\ \frac{m}{s^{2}}$$ m =	Fn = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

F_n = F_c + F_b

F_n = mg + ma

F_n = m(g+a)

$$F_{n} = 10\ kg*\left( 9,8\frac{m}{s^{2}} + 2\frac{m}{s^{2}} \right)$$

$$F_{n} = 10\ kg*11,8\frac{m}{s^{2}}$$

F_n = 118 N

Odpowiedź: Siła naciągu linki wynosi F_n = 118 N.

Rozwiązanie zadania 6/18/Chyla

Dane:	Szukane:
r = 40 m	v = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

F_odsr = F_c

$$\frac{mv^{2}}{r} = mg$$

$$\frac{v^{2}}{r} = g/*r$$

v² = gr

$$v = \sqrt{\text{gr}}$$

$$v = \sqrt{9,8\frac{m}{s^{2}}*40\ m}$$

$$v = \sqrt{392\frac{m^{2}}{s^{2}}}$$

$$v \approx 19,8\ \frac{m}{s}$$

Odpowiedź: Samochód musiałby jechać, co najmniej z prędkością $v \approx 19,8 \approx 71,28\frac{\text{km}}{h}$ aby w najwyższym punkcie wypukłego mostu być w stanie nieważkości.

$$v \approx 19,8\ \frac{m}{s} \approx 19,8*\frac{\frac{1km}{1000}}{\frac{1h}{3600}} \approx 19,8*\frac{1km}{1000}*\frac{3600}{1h} \approx 19,8*\frac{1km}{100}*\frac{36}{1h} \approx \frac{19,8*36\ km}{100h} \approx \frac{712,8}{100}\ \frac{\text{km}}{h} \approx 71,28\frac{\text{km}}{h}\ $$

Rozwiązanie zadania 7/18/Chyla

Dane:	Szukane:
r = 50 m $$v = 10\ \frac{m}{s}$$	∢α = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

$$tg\alpha = \frac{F_{c}}{F_{odsr}}$$

$$tg\alpha = \frac{\text{mg}}{\frac{mv^{2}}{r}}$$

$$tg\alpha = mg*\frac{r}{mv^{2}}$$

$$tg\alpha = \frac{\text{gr}}{v^{2}}$$

$$tg\alpha = \frac{9,8\frac{m}{s^{2}}*50\ m}{\left( 10\ \frac{m}{s} \right)^{2}}$$

$$tg\alpha = \frac{490\frac{m^{2}}{s^{2}}}{100\frac{m^{2}}{s^{2}}}$$

tgα = 4, 9

∢α ≈ 78⁰

Odpowiedź: Rowerzysta wjeżdżający w zakręt o promieniu r = 50 m musi nachylić się do poziomu pod katem ∢α ≈ 78⁰.

Rozwiązanie zadania 8/18/Chyla

Dane:	Szukane:
l = 2 m T = 2 s	∢α = ?

$$tg\alpha = \frac{F_{odsr}}{F_{c}}$$

$$tg\alpha = \frac{\frac{4m\pi^{2}r}{T^{2}}}{\text{mg}}$$

$$tg\alpha = \frac{4m\pi^{2}r}{T^{2}}*\frac{1}{\text{mg}}$$

$$tg\alpha = \frac{4\pi^{2}r}{T^{2}g}$$

r = ?

$$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$$

$$tg\alpha = \frac{r}{h}$$

$$tg\alpha = \frac{r}{\sqrt{l^{2} - r^{2}}}/*\left( \right)^{2}$$

$$\text{tg}^{2}\alpha = \frac{r^{2}}{l^{2} - r^{2}}/*\left( l^{2} - r^{2} \right)$$

(l²−r²)tg²α = r²

l²tg²α − r²tg²α = r²

−r²tg²α − r² = −l²tg²α/*(−1)

r²tg²α + r² = l²tg²α

r²(tg²α+1) = l²tg²α/:(tg²α+1)

$$r^{2} = \frac{l^{2}\text{tg}^{2}\alpha}{\text{tg}^{2}\alpha + 1}$$

$$r = \sqrt{\frac{l^{2}\text{tg}^{2}\alpha}{\text{tg}^{2}\alpha + 1}}$$

$$r = l\ tg\alpha\sqrt{\frac{1}{\text{tg}^{2}\alpha + 1}}$$

$$tg\alpha = \frac{4\pi^{2}r}{T^{2}g}$$

$$tg\alpha = \frac{4\pi^{2}\text{l\ tgα}\sqrt{\frac{1}{\text{tg}^{2}\alpha + 1}}}{T^{2}g}$$

$$1 = \frac{4\pi^{2}\text{l\ }\sqrt{\frac{1}{\text{tg}^{2}\alpha + 1}}}{T^{2}g}/*\left( \right)^{2}$$

$$1 = \frac{16\pi^{4}l^{2}*\frac{1}{\text{tg}^{2}\alpha + 1}}{T^{4}g^{2}}$$

$$1 = \frac{\frac{16\pi^{4}l^{2}}{\text{tg}^{2}\alpha + 1}}{T^{4}g^{2}}/*T^{4}g^{2}$$

$$T^{4}g^{2} = \frac{16\pi^{4}l^{2}}{\text{tg}^{2}\alpha + 1}/*\left( \text{tg}^{2}\alpha + 1 \right)$$

T⁴g²(tg²α+1) = 16π⁴l²/:T⁴g²

$$\text{tg}^{2}\alpha + 1 = \frac{16\pi^{4}l^{2}}{T^{4}g^{2}}$$

$$\text{tg}^{2}\alpha = \frac{16\pi^{4}l^{2}}{T^{4}g^{2}} - 1$$

$$tg\alpha = \sqrt{\frac{16\pi^{4}l^{2}}{T^{4}g^{2}} - 1}$$

$$tg\ \alpha = \sqrt{\frac{16{*3,14}^{4}\left( 2m \right)^{2}}{\left( 2s \right)^{4}\left( 9,8\frac{m}{s^{2}} \right)^{2}} - 1}$$

$$tg\ \alpha = \sqrt{\frac{16{*3,14}^{4}*4m^{2}}{16s^{4}*96,04\frac{m^{2}}{s^{4}}} - 1}$$

$$tg\ \alpha = \sqrt{\frac{{3,14}^{4}*4m^{2}}{*96,04m^{2}} - 1}$$

$$tg\ \alpha = \sqrt{\frac{97,21171216*4}{96,04} - 1}$$

$$tg\ \alpha = \sqrt{\frac{388,84684864}{96,04} - 1}$$

$$tg\ \alpha = \sqrt{4,0488010062473969179508538109121 - 1}$$

$$tg\ \alpha = \sqrt{3,0488010062473969179508538109121}$$

tg α = 1, 7461

∢α ≈ 60⁰

Odpowiedź: Linka odchyli się od pionu o kąt ∢α ≈ 60⁰.

Rozwiązanie zadania 9/18/Chyla

Dane:	Szukane:
r = 20 m f = 0, 75	v = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

F_odsr = T

$$\frac{mv^{2}}{r} = fmg$$

$$\frac{mv^{2}}{r} = fmg/*r$$

mv² =  fmgr

v² =  fgr

$$v = \ \sqrt{\text{fgr}}$$

$$v = \ \sqrt{0,75*9,8\frac{m}{s^{2}}*20m}$$

$$v = \sqrt{147\frac{m^{2}}{s^{2}}}$$

$$v \approx 12,1\frac{m}{s}$$

Odpowiedź: Maksymalna prędkość, z jaką samochód może wjechać w zakręt bez poślizgu wynosi $v \approx 12,1\frac{m}{s}$.

Rozwiązanie zadania 10/18/Chyla

Dane:	Szukane:
r = 0, 5 m μ = 0, 5	f = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie:

F_odsr = T

4π²mrf² = μmg

4π²rf² = μg/:4π²r

$$f^{2} = \frac{\text{μg}}{4\pi^{2}r}$$

$$f = \sqrt{\frac{\text{μg}}{4\pi^{2}r}}$$

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\text{μg}}{r}}$$

$$f \approx \frac{1}{2*3,14}\sqrt{\frac{0,5*9,8\frac{m}{s^{2}}}{0,5\ m}}$$

$$f \approx \frac{1}{6,28}\sqrt{\frac{9,8\frac{m}{s^{2}}}{1\ m}}$$

$$f = 0,159\sqrt{9,8\frac{m}{s^{2}}*\frac{1}{m}}$$

$$f \approx 0,16\sqrt{9,8\frac{1}{s^{2}}}$$

$$f \approx 0,159*3,13\frac{1}{s}$$

$$f \approx 0,49767\frac{1}{s}$$

f ≈ 0, 498 Hz

Odpowiedź: Maksymalna częstotliwość, z jaką może wirować tarcza aby umieszczone na jej brzegu ciało nie zsunęło się wynosi f ≈ 0, 498 Hz.

Rozwiązanie zadania 11/18/Chyla

Dane:	Szukane:
f = 0, 2	a = ?

Patrz rysunek do tego zadania na następnej stronie: