08 września 2014
Wszystkie zadania oceniana są w skali 4 punktowej. Do zdania egzaminu
wystarczy zebrać 10 punktów.
Zadanie 1. Dany jest punkty A = (1,1,0) i płaszczyzna 2x − y + 3z + 1 = 0. Proszę wyznaczyć punkt A′ symetryczny do punktu A względem płaszczyzny π.
$$\left\{ \begin{matrix}
x + y + z = c \\
x + y + 4z = 0 \\
2x + y + 5z = 1 \\
3x + 2y - 2z = 1 \\
\end{matrix}_{\text{\ \ \ \ .}} \right.\ \backslash n$$
f(x1,x2) = x14 + x24 − 2x12 + 4x1x2 − 2x2 .
Zadanie 4. Proszę wyznaczyć całkę ∬Dxy2dxdy , gdzie D jest obszarem ograniczonym parabolą y2 = 2px i prostą x = p.
$$\left\{ \begin{matrix}
y^{'} + y^{2}\sin{t = 3\left( \text{ty} \right)^{2}} \\
y_{0} = - 1\ ,\ \ \ x_{0} = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }$$
ROZWIĄZANIA:
$$S_{} = \frac{\left\| \overrightarrow{\text{CA}} \times \overrightarrow{\text{CB}} \right\|}{2}\text{\ \ .}\backslash n$$
Wyznaczam S:
$\overrightarrow{\text{CA}} = \left\lbrack 1 - \left( - 1 \right),1 - 2,0 - \left( - 4 \right) \right\rbrack = \lbrack 2, - 1,4\rbrack$,
$\overrightarrow{\text{CB}} = \left\lbrack 2 - \left( - 1 \right),4 - 2, - 5 - \left( - 4 \right) \right\rbrack = \lbrack 3,2, - 1\rbrack$,
$\overrightarrow{\text{CA}} \times \overrightarrow{\text{CB}} = \det{\begin{bmatrix}
i & j & k \\
2 & - 1 & 4 \\
3 & 2 & - 1 \\
\end{bmatrix} = \left\lbrack - 7\ ,\ 14\ ,\ 7\rbrack \right\rbrack}$,
$\left\| \overrightarrow{\text{CA}} \times \overrightarrow{\text{CB}} \right\| = \sqrt{\left( - 7 \right)^{2} + 14^{2} + 7^{2}} = \sqrt{6 \bullet 7^{2}} = 7\sqrt{6}$ .
$\left\| \overrightarrow{\text{CB}} \right\| = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + \left( - 1 \right)^{2}} = \sqrt{14}$.
$$S_{} = \frac{7\sqrt{6}}{2} = 7\sqrt{\frac{6}{4}} = 7\sqrt{\frac{3}{2}}\text{\ \ .}$$
$$S_{} = \frac{1}{2}\left\| \overrightarrow{\text{CB}} \right\| \bullet h_{C}\text{\ \ .}$$
Stąd
$$h_{C} = \frac{2S_{}}{\left\| \overrightarrow{\text{CB}} \right\|} = \frac{7\sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{7 \bullet \frac{3}{2}}{2\ }} = \frac{\sqrt{21}}{2}\text{\ \ \ .}$$
(Takie zadanie było na wykładzie i tak powinno wyglądać rozwiązanie. Za to dam 4 pkt.)
ZADANIE 2 W tym zadaniu należy posłużyć się twierdzeniem Kroneckera-Capelli’ego. Również w tym zadaniu jest kilka strategii postępowania.
Należy porównać rzędy macierzy głównej, macierzy uzupełnionej i ilości niewiadomych. Macierz główna to:
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 4 \\
2 & 1 & 5 \\
3 & 2 & - 2 \\
\end{bmatrix}\backslash n$$
$$A_{U} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & c \\
1 & 1 & 4 & 0 \\
2 & 1 & 5 & 1 \\
3 & 2 & - 2 & 1 \\
\end{bmatrix}.$$
Macierz główna A jest podmacierzą macierzy AU. Wynika stąd, że RzA ≤ RzAU. Z drugiej strony macierz AU jest kwadratowa – ma wyznacznik.. Jeżeli więc detAU ≠ 0, to RzAU = 4. Liczę detA_U. Ja posłużę się definicją, ale można w tym celu wykorzystać procedurę trójkątyzacji.
$${detA}_{U} = \det{\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & c \\
1 & 1 & 4 & 0 \\
2 & 1 & 5 & 1 \\
3 & 2 & - 2 & 1 \\
\end{bmatrix} = \left( - 1 \right)^{2 + 1}1\det{\begin{bmatrix}
1 & 1 & c \\
1 & 5 & 1 \\
2 & - 2 & 1 \\
\end{bmatrix} + \left( - 1 \right)^{2 + 2}\det\begin{bmatrix}
1 & 1 & c \\
2 & 5 & 1 \\
3 & - 2 & 1 \\
\end{bmatrix}} + \left( - 1 \right)^{2 + 3}\ 4det\begin{bmatrix}
1 & 1 & c \\
2 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix}} + \left( - 1 \right)^{2 + 4}\ 0\ det\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 5 \\
3 & 2 & - 2 \\
\end{bmatrix} = \ldots = - 11c.$$
Tak więc:
Jeżeli c ≠ 0, to rząd AU = 4 > RzA = 3 i układ jest sprzeczny.
Jeżeli c = 0, to rząd AU = 3 = RzA i układ jest bądź nieoznaczony bądź oznaczony. Aby rozstrzygnąć kwestię oznaczoności bądź nieoznaczoności układu porównuję AU = 3 = RzA z liczbą niewiadomych n = 3. Ponieważ są równe, więc dla c = 0 układ jest oznaczony. Układ nigdy nie będzie nieoznaczony.
(Tak zrobione – a przede wszystkim opisane zadanie – zasługuje na pełną ilość punktów).
ZADANIE 3 Tu niestety wkradł się błąd, którego nie zauważyłem. Układu równań punktu stacjonarnego
$$\left\{ \begin{matrix}
4x_{1}^{3} - 4x_{1} + 4x_{2} = 0 \\
4x_{2}^{3} + 4x_{1} - 2 = 0 \\
\end{matrix} \right.\ $$
f(x,y)=
ZADANIE 4.
$$\iint_{D}^{}{e^{\frac{x}{y}}dxdy = \int_{0}^{\infty}\text{dy}\int_{0}^{y^{2}}{e^{\frac{x}{y}}\text{dx}}}\text{\ \ .}$$
$$\int_{}^{}e^{\frac{x}{y}}\text{dx}\boxed{\begin{matrix}
t = \frac{x}{y} \\
dt = \frac{1}{y}\text{dx} \\
dx = ydt \\
\end{matrix}} = y\int_{}^{}{e^{t}\text{dt}} = ye^{t} + C = ye^{\frac{x}{y}} + C\ \ .$$
$$\int_{0}^{y^{2}}{e^{\frac{x}{y}}dx =}\left\lbrack ye^{\frac{x}{y}} \right\rbrack_{0}^{y^{2}} = ye^{y} - ye^{0} = ye^{y} - y\ \ .$$
$$\int_{0}^{\infty}\text{dy}\int_{0}^{y^{2}}{e^{\frac{x}{y}}\text{dx}} = \int_{0}^{\infty}{\left( ye^{y} - y \right)\text{dy}}\ = \operatorname{}\left. \ \left( e^{y}\left( y - 1 \right) - \frac{y^{2}}{2} \right) \right|_{0}^{\epsilon} = \operatorname{}{\left\lbrack e^{\epsilon}\left( \epsilon - 1 \right) - \frac{\epsilon^{2}}{2} - 1 \right\rbrack = 0}.$$