Egzamin z matematyki – termin 1

dla studentów ODLEWNICTWA

studia dzienne rok I

15 czerwca 2009

Egzamin trwa 120 minut. Z siedmiu poniższych zadań proszę wybrać pięć i przedstawić ich rozwiązanie. Do zaliczenia egzaminu z wynikiem pozytywnym wystarczy 10 punktów.

ZADANIE 1 (4 pkt.). Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji
f(x) = −x² + 2x + 3 i g(x) = x + 1.

ZADANIE 2. (4 pkt.) Oblicz $\sqrt{\det\begin{bmatrix} 1 + 3i & 3 - i & 2i \\ 5 & 1 - i & 2 - i \\ i & 0 & i \\ \end{bmatrix}}$.

ZADANIE 3. (4 pkt.). Zbadaj dla jakich wartości parametru a układ równań
jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla jakich sprzeczny
$\left\{ \begin{matrix} x - 2\alpha y = 3 \\ \alpha x - y = 0 \\ 4\alpha x - y = 3 \\ \end{matrix} \right.\ $.

ZADANIE 4. (4 pkt.) . Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej proste l₁ i l₂
l₁:
l₂: $\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 4 \\ x + 2y - z = 6 \\ \end{matrix} \right.\ $.

ZADANIE 5.(4 pkt.) Wyznacz i naszkicuj dziedzinę oraz oblicz pochodną funkcji $f\left( x,y \right) = arcsin\sqrt{y - \sqrt{x}}$.

ZADANIE 6.(4 pkt.) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x,y) = lnx³y + x³ − y..

ZADANIE 7.(4 pkt.) Oblicz całkę ∬_Dydxdy po trójkątnym obszarze D , którego wierzchołkami są punkty A = (0,0) ; B = (0,1) ; C = (1,1).