WIL	Konrad Siekacz	ZESPÓŁ 1	Ocena ostateczna:
GRUPA: 111	Wyznaczanie długości fali światła za pomocą siatki dyfrakcyjnej.	Numer ćwiczenia: 28	Data wykonania ćwiczenia: 27.03.2011r.

1. Cel doświadczenia

Celem ćwiczenia jest:

1. Zapoznanie się z zasadą budowy spektrometrów siatkowych.

2. Pomiar długości fali świetlnej.

3. Obliczenie długości fali oraz niepewności maksymalnej.

1. Teoria

Siatka dyfrakcyjna, układ przeszkód dla fal rozmieszczonych w przestrzeni (siatka dyfrakcyjna przestrzenna) lub na powierzchni (siatka dyfrakcyjna powierzchniowa), periodycznie (siatka dyfrakcyjna regularna) albo przypadkowo (siatka dyfrakcyjna nieregularna). Na przeszkodach zachodzi zjawisko dyfrakcji (stąd nazwa siatki), a powstające w jej wyniku ugięte fale są spójne i interferują ze sobą. Dla światła najczęściej stosuje się siatkę dyfrakcyjną powierzchniową regularną, wykonaną przez nacinanie diamentowym rylcem powierzchni szklanej (siatka dyfrakcyjna transmisyjna) lub metalicznej (siatka dyfrakcyjna odbiciowa). Siatki dyfrakcyjne charakteryzuje się podając liczbę rys przypadających na 1 mm siatki lub odległość pomiędzy nimi (tzw. stała siatka dyfrakcyjna). Zjawisko dyfrakcji szczególnie efektywnie zachodzi w przypadku przeszkód, których rozmiary są porównywalne z długością padającej fali, dlatego dla ultrafioletu stosuje się siatki dyfrakcyjne o gęstości 1200 rys/mm, dla światła widzialnego - 600 rys/mm, a dla podczerwieni - 1-300 rys/mm. Dla promieniowania rentgenowskiego siatką dyfrakcyjną przestrzenną jest kryształ. Stała siatki dyfrakcyjnej określa jej dyspersję kątową dϕ/dλ - tj. wielkość charakteryzującą zmianę kąta ugięcia ϕ promienia świetlnego na siatce wraz ze zmianą długości fali światła λ - która wyrażona jest równaniem:

gdzie m (tzw. rząd widma) jest liczbą naturalną określającą różnicę faz interferujących ze sobą promieni, podaną w okresach drgań tej fali. Siatkę dyfrakcyjną wynalazł J. von Fraunhofer. Wykorzystuje się ją w spektrometrach optycznych.

Światło jako szczególny rodzaj promieniowania elektromagnetycznego charakteryzuje się tym, że w pewnych warunkach zachowuje się jako fala a w innych jako strumień fotonów. Dokładny opis natury falowej promieniowania wynika z równań Maxwella. Według teorii Maxwella promieniowanie jest rozchodzącą się w czasie i przestrzeni falą elektromagnetyczną. Fala taka opisywana jest przez wektor natężenia pola elektrycznego i natężenia pola magnetycznego, zmienne w czasie i przestrzeni.

Odchylenie od prostoliniowego rozchodzenia się światła, które nie może być objaśnione przez odbicie i załamanie nazywamy dyfrakcją. Zjawisko dyfrakcji wyjaśnia jakościowo zasada Huygensa. Orzeka ona, że każdy punkt ośrodka do którego dochodzi fala świetlna staje się źródłem nowej fali elementarnej. Nowa powierzchnia falowa jest obwiednią wszystkich fal elementarnych.

Rozróżniam dwa typy dyfrakcji: Fraunhofera i Fresnela. Dyfrakcja Fraunhofera zachodzie wtedy gdy fala osiągająca przeszkodę lub otwór jest falą płaską. Znaczy to, że źródło świata i płaszczyzna obserwacji są w bardzo dużej odległości od otworu.

Siatka dyfrakcyjna szczelinowa spełnia warunek: gdzie wartość m przyjmuje wartości całkowite. D jest stałą siatki, kąt jest kątem pomiędzy promieniami ugiętymi i nieugiętymi, m- rzędem obserwowanego widma, natomiast długością padającej fali.

Podstawiając do wzoru wartość (N -liczba szczelin siatki dyfrakcyjnej), to minima otrzymamy dla kątów spełniających warunek: gdzie n- liczba całkowita.

Porównując oba powyższe wzory na siatkę można dojść do wniosku, że między dwoma maksimami głównymi występuje N-1 minimów. W miarę zwiększania liczby szczelin siatki N maksima główne stają się coraz węższe, a maksima wtórne coraz to mniejsze.

W ćwiczeniu została użyta szczelinowa siatka dyfrakcyjna - jest to zbiór dużej liczby jednakowych równoległych szczelin, między którymi występują równe odstępy.

d - odległość między środkami sąsiednich szczelin, stała siatki dyfrakcyjnej

Rzucając prostopadle na siatkę dyfrakcyjną monochromatyczną wiązkę promieni równoległych, możemy obserwować na ekranie obraz dyfrakcyjny, będący zbiorem prążków interferencyjnych. Między promieniem padającym i ugiętym powstaje kąt, którego sinus jest stosunkiem dróg optycznych BC do stałej siatki d. Różnica dróg optycznych jest wielokrotnością długości fali.

Literą m oznaczono rząd widma dyfrakcyjno-interferencyjnego. Dla wyżej określonych wartości m otrzymujemy maksima główne. Sinus kąta ϕ zależy tylko od wielokrotności stosunku , a nie zależy od liczby szczelin.

Równanie soczewki jest to równanie określające zależność pomiędzy odległością przedmiotu od soczewki a odległością jego obrazu otrzymanego w tej soczewce

gdzie

x – odległość przedmiotu od soczewki,

y – odległość obrazu od soczewki,

f – ogniskowa soczewki.

Powiększenie mikroskopu

W mikroskopie występują dwa układy optyczne – okular i obiektyw. Powiększenie obrazu w mikroskopie jest iloczynem powiększeń obu tych układów:

Aby w mikroskopie powstał ostry obraz, obraz wytworzony przez obiektyw musi znaleźć się prawie w ognisku okularu, wówczas

gdzie

f_ob – ogniskowa obiektywu,

f_ok – ogniskowa okularu,

d – odległość dobrego widzenia (najmniejsza odległość, z której oko ludzkie widzi ostro bez wysiłku),

l – odległość między ogniskami okularu i obiektywu. Ze względu na małe ogniskowe obu układów, jest to w przybliżeniu odległość pomiędzy obiektywem a okularem, dlatego bywa nazywana długością tubusu.

Częstotliwość jest to liczba drgań wykonanych w jednostce czasu, a zatem liczba okresów przypadająca na jednostkę czasu. Oznacza się ją literą 'f'. Jednostką częstotliwości jest herc (1 Hz). 1 Hz = 1/s.

$$f = \frac{1}{T}$$

Wartość prędkości w ruchu falowym można wyliczyć ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym $(v = \frac{s}{t}$):

$$v = \frac{L}{T}$$

Gdzie:

L- lambda – długość fali;

v- prędkość;

T – okres drgań,

lub:

v = L • f

PRZEBIEG ĆWICZENIA

W zadaniu badać będziemy przybliżony zakres długości fal świetlnych przepuszczanych przez filtr optyczny (RED, GREEN, BLUE). Do tego celu użyjemy siatki dyfrakcyjnej o znanej stałej siatki d.

Schemat zestawu do wyznaczenia zakresu długości fal przepuszczanych przez filtr, przy zastosowaniu

siatki dyfrakcyjnej. Z rysunku można wyznaczyć sinus kąta ϕ dla prążków pierwszego rzędu (m =1), a więc nasze wzory na długości fal po przekształceniu będą miały postać:

1. Potrzebne dane do wykonania ćwiczenia

• d = 5μm =5 • 10⁻⁶ m

• y = 53 mm = 0,053 m

• L = 500 mm = 0,5 m

• y = 1mm = 0, 001 m

• L = 5mm = 0, 005 m

1. Opracowanie wyników

• Obliczenie długości fali:

$$\gimel = d\frac{y}{\sqrt{y^{2} + \ L^{2}}}$$

$$= {5 \bullet 10}^{- 6}m \bullet \ \frac{0,053\ m}{\sqrt{(0,053\ m{\ )}^{2} + \ {(0,5\ m)}^{2}}}$$

$$= {5 \bullet 10}^{- 6}m \bullet \frac{0,053\ m}{\sqrt{0,\ 002809\ m^{2} + 0,25\ m^{2}}}$$

$$= {5 \bullet 10}^{- 6}m\text{\ \ } \bullet \frac{0,053\ m}{0,252809\ m}$$

=  5 • 10⁻⁶m •  0, 21 m

=1, 05 • 10⁻⁶ m²

• Obliczenie niepewności maksymalnej:

$$\gimel_{\max} = \ \left| \frac{\partial\gimel}{\partial y} \right| \bullet \left| y \right| + \ \left| \frac{\partial\gimel}{\partial L} \right| \bullet \left| L \right|$$

$$\gimel_{\max} = \ \left| \frac{d}{\sqrt{y^{2} + L^{2}}} - \ \frac{\text{dy}}{\sqrt{\left( y^{2} + L^{2} \right)^{3}}} \right| \bullet \left| \frac{y}{\frac{\text{dy}}{\sqrt{y^{2} + L^{2}}}} \right| + \left| - \frac{\text{dyL}}{\sqrt{\left( y^{2} + L^{2} \right)^{3}}} \right| \bullet \left| \frac{L}{\frac{\text{dy}}{\sqrt{y^{2} + L^{2}}}} \right|$$

• $\left| \frac{d}{\sqrt{y^{2} + L^{2}}} - \ \frac{\text{dy}}{\sqrt{\left( y^{2} + L^{2} \right)^{3}}} \right| \bullet \left| \frac{y}{\frac{\text{dy}}{\sqrt{y^{2} + L^{2}}}} \right| = \ \left| \frac{1,05 \bullet 10^{- 6\ }m}{\sqrt{\left( 0,053\ m \right)^{2} + \left( 0,5\ m \right)^{2}}} - \ \frac{1,05 \bullet 10^{- 6}\ m\ \bullet \ 0,053\ m}{\sqrt{\left( \left( 0,053\ m \right)^{2} + \ \left( 0,5\ m \right)^{2} \right)^{3}}} \right| \bullet \ \left| \frac{0,001\ m}{\frac{1,05 \bullet 10^{- 6}\ m\ \bullet \ 0,053\ m}{\sqrt{\left( 0,053\ m \right)^{2} + \left( 0,5\ m \right)^{2}}}} \right| = \ \left| \frac{1,05 \bullet 10^{- 6\ }m}{0,0252809\ m} - \ \frac{0,0557 \bullet 10^{- 6}m^{3}}{0,0252809\ m^{3}} \right| \bullet \left| \frac{0,001\ m}{2,203m \bullet 10^{- 7}} \right| = \ \left( \frac{1,05 \bullet 10^{- 6\ }m}{0,0252809\ m} - \ \frac{0,0557 \bullet 10^{- 6}m^{3}}{0,0252809\ m^{3}} \right)\ \bullet 4539,3 = \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{2}$

• $\left| - \frac{\text{dyL}}{\sqrt{\left( y^{2} + L^{2} \right)^{3}}} \right| \bullet \left| \frac{L}{\frac{\text{dy}}{\sqrt{y^{2} + L^{2}}}} \right| = \ \left| - \frac{1,05 \bullet 10^{- 6}\ m\ \bullet \ 0,053\ m\ \bullet 0,5\ m}{\sqrt{\left( \left( 0,053\ m \right)^{2} + \ \left( 0,5\ m \right)^{2} \right)^{3}}} \right| \bullet \left| \frac{0,005\ m}{\frac{1,05 \bullet 10^{- 6}\ m\ \bullet \ 0,053\ m}{\sqrt{\left( 0,053\ m \right)^{2} + \left( 0,5\ m \right)^{2}}}} \right| = \left( \frac{0,0278 \bullet 10^{- 6\ }m^{3}}{0,0252809\ m^{3}} \right) \bullet 22696,3 = \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{02}\text{\ \ \ }$

ℷ_max = 0, 2 + 0, 02 = 0,22

ℷ_max = 0, 22 • 100%=22%

ℷ_max=( 1,05•10⁻⁶± 0,22)m