Zadanie 6.

1. Analiza modelu wyboczeniowego:

Najmniej korzystnym przypadkiem wyboczenia w przedstawionym układzie jest wyboczenie jednego z prętów w sposób przedstawiony na rysunku obok. W związku z tym w poniższych obliczeniach zostaną wykorzystane poniższe dane:

µ = 2, l_w = 2*h

1. Momenty bezwładności przekrojów prętów:

2.1 pręt o przekroju kwadratowym:

$$I_{y} = \ I_{x} = \frac{b^{4}}{12} = \frac{b^{4}}{12}$$

$$I_{x} = 13\ 333\frac{1}{3}\text{mm}^{4}$$

$$I_{y} = 13\ 333\frac{1}{3}\text{mm}^{4}$$

2.2 pręt o przekroju trójkątnym:

$$I_{x} = \frac{3}{2}c^{4}$$

I_y = 0, 5 * c⁴

I_x = 240 000 mm⁴

I_y = 80 000 mm⁴

1. Pola przekroju prętów:

3.1 pole przekroju pręta kwadratowego:

A = b * b

A = 400mm²

3.2 pole przekroju pręta trójkątnego:

A = 0, 5 * 2c * 3c

A = 1200mm²

1. Smukłość graniczna:

$$S_{\text{gr}} = \pi\sqrt{\frac{E}{\delta_{\text{prop}}}}$$

$$S_{\text{gr}} = \pi\sqrt{\frac{2*10^{5}}{200}} = 99,346$$

1. Smukłości prętów:

$s = \frac{l_{w}}{i_{\min}}$,

gdzie:

s – smukłość,

i_min – minimalny promień bezwładności,

l_w – długość wyboczeniowa.

$i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}$,

gdzie:

I_min – minimalny moment bezwładności,

A - pole przekroju pręta.

5.1 minimalne promienie bezwładności:

5.1.1 pręta o przekroju kwadratowym:

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{13\ 333\frac{1}{3}\text{mm}^{4}}{400\ \text{mm}^{2}}} = 5,776\text{\ mm}$$

5.1.2 pręta o przekroju trójkątnym:

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{80\ 000\text{mm}^{4}}{1\ 200\ \text{mm}^{2}}} = 8,165\text{\ mm}$$

5.2 smukłości prętów:

5.2.1 pręt o przekroju kwadratowym:

$$s = \frac{2*400}{5,7735} = 138,564$$

5.2.2 pręt o przekroju trójkątnym:

$$s = \frac{2*400}{8,165} = 97,979$$

Pręt o większej smukłości ulegnie wyboczeniu przy mniejszej sile oddziaływującej na niego, więc jest to bardziej niekorzystny przypadek:

s = 138, 564

138,564 > S_gr

1. Zastosowanie wzoru Eulera:

$$\delta_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}*E}{S^{2}}$$

$$\delta_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}*2*10^{5}}{{138,56}^{2}} = 102,814\ \lbrack MPa\rbrack$$

1. Dopuszczalna siła:

$P_{\text{dop}} = 2*\frac{\delta_{\text{kr}}*A}{n}$,

gdzie:

n – współczynnik bezpieczeństwa.

$$P_{\text{dop}} = 2*\frac{102,814411*400}{3} = 27417,18\ \lbrack N\rbrack$$

1. Pozostałe przypadki

Poddajmy analizie również pozostałe możliwości wyboczenia prętów układu, z racji, że pręt o przekroju kwadratowym ma mniejszą wytrzymałość, wykorzystamy jego dane do poniższych obliczeń, jako najsłabsze ogniwo układu :

µ=0,7, lw=0,7*h	µ=1, lw=h
$$s = \frac{0,7*400}{5,776} = 48,476$$	$$s = \frac{400}{5,776} = 69,252$$
s<sgr	s<sgr

Ponieważ s<s_gr w przypadkach tych zachodzi odkształcenie sprężysto-plastyczne, zastosujemy więc wzory Johnssona-Ostenfelda i Tetmajera otrzymane wartości.

Wzór Tetmajera:

σ_kr = a₁ − b₁ * s,

gdzie:
a₁ = σ_pl,

$b_{1} = \frac{\sigma_{\text{pl}} - \sigma_{H}}{\pi}$_.

Wzór Johnssona-Ostenfelda:

σ_kr = a − b * s²,

gdzie:

a = σ_pl,

$b = \frac{{\sigma_{\text{pl}}}^{2}}{4*E*\pi^{2}}$.

Powyższy wzór można stosować, jeśli spełniony jest warunek:

s ≤ s₀,

gdzie:

$s_{0} = \pi*\sqrt{\frac{2*E}{\sigma_{\text{pl}}}}$.

8.1) Przypadek A:
Zastosowanie wzoru Tetmajera:

$$\sigma_{\text{kr}} = 240 - \frac{240 - 200}{\pi}*\sqrt{\frac{200}{2*10^{5}}}*48,476 = 220,482\ MPa$$

$$P_{\text{dop}} = 2*\frac{220,482*400}{3} = 58795,2\ N$$

Zastosowanie wzoru Johnssona-Ostenfelda:

$$s_{0} = \pi\sqrt{\frac{2*2*10^{5}}{240}} = 128,255$$

s < s₀

$$\sigma_{\text{kr}} = 240 - \frac{240^{2}}{4*2*10^{5}*\pi^{2}}*{48,476}^{2} = 222,857\ MPa$$

$$P_{\text{dop}} = 2*\frac{222,857*400}{3} = 59428,533\ N$$

8.2) Przypadek B:

Zastosowanie wzoru Tetmajera:

$$\sigma_{\text{kr}} = 240 - \frac{240 - 200}{\pi}*\sqrt{\frac{200}{2*10^{5}}}*69,252 = 212,117\ MPa$$

$$P_{\text{dop}} = 2*\frac{212,117*400}{3} = 56564,5\ N$$

Zastosowanie wzoru Johnssona-Ostenfelda:

$$s_{0} = \pi\sqrt{\frac{2*2*10^{5}}{240}} = 128,255$$

s < s₀

$$\sigma_{\text{kr}} = 240 - \frac{240^{2}}{4*2*10^{5}*\pi^{2}}*{69,252}^{2} = 205,014\ MPa$$

$$P_{\text{dop}} = 2*\frac{205,014*400}{3} = 54670,333\ N$$

1. Porównanie wyników

	µ=2	µ=1	µ=0,7
Wzór Eulera	27,417 kN	-	-
Wzór Tetmajera	-	56,565 kN	58,795 kN
Wzór Johnssona-Ostenfelda	-	54,67 kN	58,429 kN