ZGINANIE POPRZECZNE BELEK ZESPOLONYCH

Belka zespolona - pręt wykonany z różnych materiałów (różne moduły Younga i współczynniki Poissona) współpracujących na powierzchniach styku w sposób ciągły. Przy czym powierzchnia żadnego z nich nie jest mała.

Przy wyznaczaniu rozkładu naprężeń stycznych oraz normalnych przyjmujemy podobne założenia jak w przypadku jednorodnych belek zginanych poprzecznie:

• Zasadę płaskich przekrojów Bernulliego,

• Dominację naprężeń σ_x nad pozostałymi naprężeniami normalnymi,

• Przekrój poprzeczny ma oś symetrii, która leży w płaszczyźnie zginania,

• Obciążenie jest rozłożone symetrycznie względem osi symetrii,

• Każda część beki wykonana z różnych materiałów jest pryzmatyczna,

• Każdy materiał jest liniowo sprężysty,

Ważone charakterystyki przekroju - są to charakterystyki geometryczne elementów przekroju ważone względem modułów Younga. Gdzie wagą jest n_i.

n_i =

Eⁱ - Moduł Younga danego materiału

E⁰ - Porównawcza wielkość (może to być dowolnie wybrany moduł Younga spośród materiałów tworzących belkę).

Ważone Pole - A^w A^w = Σ n_i *Aⁱ

Ważony moment bezwładności - J_y^w J_y^w = Σ n_i * J_yⁱ

Ważona oś przekroju - jej położenie wyznacza iloraz ważonego momentu statycznego (liczonego względem osi równoległej do geometrycznej osi głównej centralnej) i ważonego pola przekroju. Wynika stąd ważony moment statyczny liczony względem ważonej osi = 0.

Korzystając z twierdzenia o równoważności sił zewnętrznych i wewnętrznych można wyprowadzić funkcję naprężenia normalnego:

σ_xⁱ (x,z) = n_i(F_x(x)/A^w + M_y(x)*z /J_y^w)

Z wzoru tego, którego budowa jest bardzo podobna do wzorów określających naprężenie normalne dla belek jednorodnych widać nieciągłość funkcji naprężeń na powierzchni styku obu materiałów.

Rozwiązywanie zadań możemy sobie uprościć (tworząc przekrój zastępczy) odpowiednio w zależności od wagi poszerzając lub zwężając przekrój (nie możemy zmieniać wysokości) i licząc charakterystyki geometryczne jak dla jednolitego materiału:

Dany Przekrój: Przekrój zastępczy:

W tym przypadku przekrój przez materiał „2” powiększamy 2 razy; przez materiał „3” pomniejszamy o połowę; materiał „1” pozostaje taki sam ponieważ jego modół przykęliśmy jako wzorcowy.

Średnie naprężenie styczne w każdym materiale zespolonego przekroju poprzecznego otrzymujemy ze wzoru:

τ_zxⁱ (x,z) = τ_xzⁱ (x,z) = Gⁱ *F_z(x)*S_y^w(z)/J_y^w*b^w(z)

Analogicznie wielkości S_y^w(z) i b^w(z) nazywamy ważonym momentem statycznym i ważoną szerokością przekroju poprzecznego.

Z ważoną szerokością przekroju poprzecznego mamy do czynienia gdy na szerokości przekroju znajdują się materiały o różnych modułach Younga.

Podobnie jak we wzorze na naprężenia normalne zauważamy tutaj nieciągłość funkcji naprężeń stycznych na powierzchni styku materiałów.

ALGORYTM OBLICZEŃ DLA DWUMATERIAŁOWEGO PRZEKROJU ZESPOLONEGO

Dla ułatwienia obliczeń dla często stosowanych belek zespolonych składających się z dwóch materiałów zestawmy wzory i podajmy kolejność ich stosowania. Algorytm obliczania naprężeń normalnych jest następujący :

1. Wyznaczyć położenie głównych, centralnych osi bezwładności przekroju (osi czysto geometrycznych)

2. Obliczyć wagę, ważony moment statyczny przekroju względem osi głównych centralnych i ważone pole przekroju

3. Obliczyć położenie osi ważonej y^* względem układu głównego centralnego

4. Obliczyć ważony moment bezwładności względem osi y^*

5. Dokonać redukcji sił przekrojowych do środka układu ważonego - obliczyć M^*.

6. Obliczyć naprężenia normalne w częściach składowych przekroju poprzecznego

Współrzędna „z” odmierzana jest od osi ważonej y^* . Znaki naprężeń należy dobrać tak jak w przypadku „zwykłego „ mimośrodowego rozciągania ( naprężenie rozciągające - dodatnie, ściskające - ujemne).

4

Eⁱ

E⁰