Belka 1
Określić stopień statycznej niewyznaczalności płaskiej belki ciągłej jak na rysunku.
Wyznaczyć siły reakcji podparć i połączeń przegubowych w belce. Dokonać sprawdzenia otrzymanych wyników.
Wykorzystując zasadę prac wirtualnych wyznaczyć składowe reakcji w podporze ................
Podać analityczne funkcje oraz sporządzić wykresy sił normalnych, sił poprzecznych i momentów zginających w belce.
Dla przekroju o podanym na rysunku kształcie wyznaczyć wartości:
- momentów statycznych i położenie środka ciężkości
- momentów bezwładności Jx1, Jx2 oraz momentu odśrodkowego Jx1x2 względem założonego układu współrzędnych i względem osi centralnych
Wykorzystując graficzną metodę koła Mohra podać interpretację graficzną stanu naprężenia w skrajnym włóknie rozciąganym oraz w osi obojętnej przekroju
Uwzględniając naprężenia normalne od zginania i rozciągania/ściskania znaleźć przekrój najbardziej wytężony. Sporządzić wykresy naprężeń normalnych i stycznych w tym przekroju oraz dobrać jego wymiary zakładając, że ma on być wykonany ze stali.
Dane: q = 3 kN/m sinα = ½
l = 2m cosα = √3/2
X1
X2
9ql 3ql2
q α q
D A E B C
HA
VA VB VC
2l 2l l 2l
a) stopień statycznej niewyznaczalności
S =LNS - LRR = r - ( 3 +p ) = 6 - 6 = 0
LNS - liczba niewiadomych statycznych
( r - liczba składowych reakcji zewnętrznych)
LRR - liczba możliwych do ułożenia liniowo niezależnych równań równowagi
(3 równania równowagi(globalnie + p - liczba przegubów jednokrotnych)
a) wyznaczenie reakcji zewnętrznych
∑MEL = VA۰2l - ½ ۰2l۰q۰( ⅓ ۰2l + 2l) = 0 VA = 4/3ql = 8
∑MEP = VB ۰ l + 3ql2 + VC ۰3l = 0 VB + 3ql + 3VC = 0 *
∑X2 = ½ q · 2l - VA - VB - VC + 9qlsinα= 0
-VB - VC + 41/6 ql = 0
* VB + 3VC + 3 ql = 0
2VC + 71/6 ql = 0 VC = 43/12 ql = 211/2
* VB = -3ql - 3VC = 73/4 ql = 311/2
∑X1 = HA + q۰ 3l + 9qlcosα = 0 HA = 9,345 ql = 56,07
Sprawdzenie dla całej belki:
∑X2 = ½ q ۰ 2l - 4/3ql - ½۰ 9ql - 73/4 ql + 43/12 ql = 91/12 ql - 91/12 ql = 0
∑MA=
b) wyznaczenie reakcji wewnętrznych
I
q' q √3/2 9ql 9/2ql
HE
VE
9,345ql
4/3ql
VE
q 3ql2 II
HE
73/4ql
37/12 ql
I ∑X1 = -9,345ql + HE + √3/2 ۰9ql = 0 HE = 3ql = 18
∑X2 = -VE + 9/2 ql - 4/3 ql + ½ q۰ 2l = 0 VE = 4 1/6 ql = 4
II Sprawdzenie:
∑X1 = -3ql + 3ql = 0
∑X2 = 4 1/6 ql - 7 3/4 ql + 3 7/12 ql = 0
∑MA =
Wykresy sił wewnętrznych
α - α β - β
Nα = 0 Nβ = -9,345ql = -56,07 kN
Tα = ½ qxα Tβ = -½ ۰ 2l + 4/3 ql = -1/3 ql = -2 kN
Tα (0) = 0
Tα (2l) = -ql = -6 kN
Mα = -½ q'xα ۰ ⅓ xα = -1/6 q'xα2 Mβ = ½ ۰2l (⅓2l + x β) + 4/3 ql x β
q' = q xα /2l Mβ = -2/3 ql2 + 1/3 ql x β
Mα (0) = 0 M β (0) = - ⅔ql2 = -8 kNm
Mα (2l) = - ⅔ ql2 = -8 kNm M β (2l) = 0
γ - γ δ - δ
Nγ = q(2l + xγ)= 0 Nδ = qxδ
Nγ (0) = 3ql = 18 [kN] Nδ (0) = 0
Nγ (l) = 2ql = 12 [kN] Nδ (2l) = 2ql = 12 kN
Tγ = 3 7/12 ql - 73/4 ql = - 41/6ql = -4 kN Tδ = 37/12 ql = 21 ½ kN
Mγ = -3 7/12 ql (2l + xγ ) + 73/4 ql xγ + 3ql2 Mδ = -37/12 ql + 3ql2
= 50/12 ql xγ - 25/6ql2 Mδ (0) = 3ql2 = 36 kNm
Mγ (0) = - 25/6ql2 = -50 [kNm] Mδ (2l) = -25/6 ql2 = -50 kNm
Mγ (l) = 0
xα x β xγ xδ
q'
α q β α ql2 γ q δ 3ql2
D α A β E γ B δ C
9,345ql
4/3ql 73/4ql 37/4ql
2l 2l l 2l
12
[kN]
18
56,07
6
2 4
[kN] 21 ½
50
8
[kNm]
36
X3 X3C
a
X2C
a
X2
2a a 2a
e) Charakterystyki przekroju:
Pole powierzchni : A = 6a2
Moment statyczny
S3 = 2a2 ۰ a + 2a2 ۰ 2,5a + 2a2 ۰ 4a = 15a3
S2 = 2a2 ۰ 0,5a + 2a2 ۰ a + 2a2 ۰ 0,5a =4a3
Współrzędne środka ciężkości
e2 = S3/A = 15a3/6a2 = 2½a
e3 = S2/A = 4a3/6a2 = ⅔a
Momenty bezwładności względem osi Ox2, Ox3
J22 =Jx2 = 2a ۰ (a)3/3 + a ۰ (2a)3/3 + 2a ۰ a3/3 = 4a4
J33 =Jx3 = a ۰ (5a)3/3 - a ۰ (2a)3/3 + a ۰ (3a)3/3 = 48a4
Odśrodkowy moment bezwładności
J23 =Jx2x3 = 2a2 ۰ a ۰ ½ a + 2a2 ۰ 2½ a + 2a2 ۰ ½ a ۰ 4a = 10a4
Moment bezwładności względem centralnego układu współrzędnych (tw. Steinera)
J2c = 4a4 - 6a2 ۰ (⅔ a)2 = 4/3 a4
J3c = 48a4 - 6a2 ۰ (2½ a)2 =10½ a4
Odśrodkowy moment bezwładności względem centralnego układu współrzędnych
J23c = 10a4 - 6a2 ۰ ⅔ a ۰ 2½ a = 0
N
T
M