1. Omówić zasadę prac przygotowanych: Każdy wyobrażalny ruch układu ciał materialnych na który nałożono więzy nazywa się ruchem przygotowanym. Jeżeli ruch ten opisać wyobrażalnymi przemieszczeniami punktów ciał tworzących ten układ to przemieszczenia te nazywamy przemieszczeniami przygotowanymi. Praca ewentualnym obciążeniem układu nosi nazwę pracy przygotowanej. Podstawową zasadą jest założenie że układ, w których jest stosowana, znajdują się w równowadze. Dla ciała odkształconego znajdującego się w równowadze suma prac przygotowanych uogólnionych sił zewnętrznych jest równa sumie prac przygotowanych uogólnionych sił wewnętrznych.

f_i

2. Zastosowanie prac przygotowanych w układach prętów sprężystych: Układy prętowe liniowo-sprężyste spełniają następujące warunki: - materiał jest liniowo-sprężysty, czyli zależność odkształcenie naprężenie określona jest prawem Hooke'a, - przemieszczania są małe, - na ruchomych powierzchniach styku elementów układu pomija się siły tarcia. Dla tych układów przemieszczenia i odkształcenia przygotowane mogą być określone w funkcji uogólnionych sił wewnętrznych. Rozważmy pręt obciążony kolejno układem sił Q i układem Q_k. Obciążeniom tym odpowiadają siły wewnętrzne: N, M_S, M₂, M₃, T₂, T₃ oraz: N', M_S', M', M₃', T₂', T₃'. Zakładamy że obciążenie Q_i przeprowadza pręt w położenie równowagi określone przemieszczeniami q_i. Odpowiadają im przemieszenia wewnętrzne:

Nadaje się prętowi obciążonemu układem sił Q_k położenia przygotowane określone przemieszczeniami oraz odkształceniami: . Wykorzystując cechę dowolności położenia przygotowanego można przyjąć, że jest ono tożsame z położeniem równowagi pręta obciążonego układem sił Q_i. Zachodzą równości:

Zasadę prac przygotowanych w odniesieniu do układu Q_k' można przedstawić w postaci:

Jest to podstawa metody obliczeń przemieszczeń układów prętowych (tzw. metoda Mohra). Dla zapisania zasady prac przygotowanych w odniesieniu do obciążenia Q_i nadaje się prętowi obciążonemu tym układem położenie przygotowane, tożsame z położeniem równowagi pręta obciążonego układem Q_k'

Zasada prac przygotowanych dla układu Q_i przyjmuje analogiczną postać, jak dla układu Q_k' czyli Q_iq_i = Q_kq_k, co jest zasadą wzajemności prac Bettiego.

3. Obliczanie przemieszczeń zginanych prętów statycznie wyznaczalnych: Dany pręt dowolnie obciążony układem uogólnionych sił Q_i. Obciążenia temu odpowiada położenie równowagi określone np. przemieszczeniem q_k dowolnego punktu k tego pręta. W celu określenia tego przemieszczenia rozważa się ponownie ten pręt, ale obciążony w punkcie k uogólnioną siłą jednostkową 1, przyłożoną zgodnie z kierunkiem poszukiwanego przemieszczenia.

Zasada prac przygotowanych odniesiona do obciążenia jednostkowego przyjmuje postać:

Ogólny wzór na obliczanie przemieszczenia dowolnego punktu statycznie wyznaczalnego układu prętowego w kierunku zgodnym z kierunkiem przyjętego obciążenia jednostkowego. W celu obliczenia kątu ugięcia (kąta skręcenia) prętu w punkcie k należy w tym punkcie przyłożyć jako obciążenie jednostkowe odpowiedni moment jednostkowy. Ograniczając rozważania do przypadku prętów wyłącznie zginanychz pominięciem siły tnącej (wpływ na przesunięcie jest zbyt mały) powyższy wzór upraszcza się do postaci

Dla przypadku

Całkowanie obejmuje wszystkie obszary zmienności funkcji m_g, M_g na całej długości pręta. Jeżeli jedna z funkcji występujących pod całką jest funkcją liniową, to całkę tę (całka Mohra) można obliczyć sposobem geometrycznym, nazywanym sposobem Wereszczagina. np. m_g wyrażony funkcją liniową:

Jest to iloczyn pola F_i wyznaczonego funkcją M_g oraz granicą całkowania i rzędnej _i, będącej wartością momentu m_g, odpowiadającej współrzędnej środka ciężkości pola F_i. Iloczyn dodatni, gdy wykresy leżą po tej samej stronie osi pręta, ujemny - gdy po przeciwnych.

5. Obliczanie reakcji statycznie niewyznaczalnych: Układami statycznie niewyznaczalnymi nazywa się układy, w których liczba reakcji więzów jest większa od liczby statycznych równań równowagi. Układy takie zamienia się w dowolny sposób na układy statycznie wyznaczalne, usuwając odpowiednią liczbę więzów i zastępując ich reakcje chwilowo nieznanymi siłami - reakcjami hiperstatycznymi. Siły te znajdujemy z warunku odpowiadającym im przemieszczeń równych zero. Prowadzi to do układu równań, zwanych równaniami ciągłości przemieszczeń lub kanonicznymi Maxwella - Mohra.

Korzystając z zasady superpozycji rozdziela się obciążenie belki na kolejne stany. Stan „0” - stan obciążenia belki wyłącznie znanym zewnętrznym obciążeniem; Stan „2” - stan obciążenia belki wyłącznie reakcją X₁ = 1N; Stan „2” - stan obciążenia belki wyłącznie reakcją X₂ = 1N. Kolejne stany wywołują przemieszczenia wyłącznie w kierunku działania reakcji histerycznych. Suma tych przemieszczeń musi być równa 0.

Ogólnie układ n-krotnie niewyznaczalny sprowadza się do układu n równań postaci

Ograniczając się do przypadku zginania współczynniki tego układu określa się z wzorów:

Dla przypadku EI₃ = const. oraz gdy jedna z funkcji jest liniowa, obliczamy je sposobem niewyznaczalnym.

6. Obliczanie przemieszczeń układów statycznie niewyznaczalnych: Obliczanie przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych wyjaśnione na przykładzie

Poszukiwane jest przemieszczenie dowolnego punktu C belki. Układ jest jednokrotnie niewyznaczalny. Układ przekształcamy w układ statycznie wyznaczalny i po rozdzieleniu obciążenia na stan „0” i „1” można przemieszczenie V_c potraktować jako sumę przemieszczeń wywołanych stanami „0” i „1” czyli

W celu obliczenia składowych V_c⁽⁰⁾ i V_c⁽¹⁾ należy statycznie wyznaczalny układ obciążyć dodatkową siłą jednostkową (stan „f”), przyłożoną w punkcie C zgodnie z kierunkiem poszukiwanego przemieszczenia. Stąd:

Ogólnie dla układu n-krotnie niewyznaczalnego

Dla określenia poszczególnych składowych przemieszczenia stosujemy wzory powyższego typu.

7. Twierdzenie Castigliano i zasada Menabre'a: Obok zasady prac przygotowanych w analizie układów liniowo-sprężystych jest stosowana zasada zachowania energii. Według niej praca L uogólnionych sił zewnętrznych Q_i na odpowiadających im przemieszczeniach uogólnionych q_i jest równa energii wewnętrznej. U odkształcenia sprężystego: U = L = ½ Q_iq_i - fakt liniowego narastania obciążeń od wartości zerowych do końcowych.

Dla układów liniowo sprężystych Clapeyrona

W stanie równowagi obciążeniom Q_i towarzyszą siły wewnętrzne

Po przekształceniu

Analogicznie

Tw. Castigliano: Pochodna cząstkowa sprężystej energii wewnętrznej całego układu względem jednej z niezależnych sił uogólnionych jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.

W przypadku układów statycznie niewyznaczalnych można energię wewnętrzną wyrazić jako funkcję obciążeń zewnętrznych Q_i i reakcji hiperstatycznych X₁ traktowanych jako zmienne niezależne: U = f(Q_i, X_n). Ponieważ w punktach działania reakcji hiperstatycznych przemieszczenia im odpowiadające są równe zero, to zgodnie z tw. Castigliano

co jest Zasadą Menabrei: pochodna cząstkowa energii wewnętrznej całego układu względem reakcji hiperstatycznych wynosi 0. Twierdzenie Castigliano oraz wynikająca z niego zasada Menabrei odnoszą się wyłącznie do układów liniowo-sprężystych.

8. Omówić rodzaje zagadnień kinetostatycznych: Do zagadnień tych należą przypadki powstawania stałych sił dynamicznych pod wpływem ruchu układu. Po ich uwzględnieniu, zgodnie z zasadą d'Alamberta dalej zagadnienie traktujemy jako statyczne. Konieczna jest znajomość przyspieszenia poszczególnych punktów układu. Jeżeli spodziewane przemieszczenia są małe w stosunku do wymiarów, to nie uwzględnia się ich wpływu na wartość przyspieszeń. W analizie kinematycznej współrzędne punktów przyjmuje się w układzie nie odkształconym. Przykładem zagadnienia może być Łopata wentylatora lub turbiny, zaprojektowana tak, aby naprężenia w każdym jej punkcie były jednakowe. Mówi się o konstrukcji o stałej wytrzymałości. Należy ustalić niezbędną zmianę przekroju łopaty, aby warunek stałej wytrzymałości został spełniony

Po rozwiązaniu (dla warunku x = L , A = A₀)

9. Omówić przykład obrotów krytycznych wału: Przykładem zastosowania metody kinetostatycznej jest ustalenie obrotów krytycznych wirującego wału z osadzonym na nim ciężarze Q. Można przyjąć, że ciężar osadzony jest na wale z pewnym mimośrodem c.

W skutek obrotów wał doznaje ugięciu f. Zakładamy że: S = kf; k - stała sprężystości układu równa sile potrzebnej do statycznego ugięcia

wału o jednostkę długości

2 zasady prac przygotowanych f = S ;  - przemieszczenie wywołane jednostkowym obciążeniem (współczynnik opływu albo

podatności układu). k = 1/. W rozpatrywanym zagadnieniu (z pominięciem masy wału)

Zniszczenie wału gdy mianownik dąży do zera

Aby wał nie uległ zniszczeniu należy dość szybko przejść przez obroty krytyczne. Później dla następuje samocentrowanie wału.

------------------------

10. Podać założenia i omówić zagadnienia uderzenia: Ścisłe rozwiązanie zagadnienia uderzenia jest dość skomplikowane i w dużej mierze zależy od właściwości fizycznych rozważanych ciał. W praktyce stosuje się rozwiązania przybliżone. U podstaw leżą następujące założenia: - określa się wielkości maksymalne siły i naprężenia powstałe w procesie uderzenia, a nie ich przebieg w czasie, - w układzie nie ma tłumienia, stąd obliczone wielkości są większe niż rzeczywiste, co zwiększa bezpieczeństwo, - w czasie uderzenia zderzające się masy pozostają ze sobą w kontakcie, - dement uderzony odkształca się dynamicznie w podobny sposób jak przy obciążeniu statycznym.

Elementem uderzającym jest ciężar Q, elementem uderzanym jest układ liniowo-sprężysty (belka o długości L i ciężarze jednostkowym q). o charakterystyce Q = ku; k- stała sprężystości układu. Zakładamy u(x₁t) = u g(x) - ugięcia; v₁(x₁t) = v₁ q(x) - prędkości; q(x) - funkcja uwzględniająca fakt zmniejszania się prędkości punktów ciała uderzonego w miarę zbliżania się do nieprzesównych punktów podparcia. u,v₁ - przemieszczenie i prędkość w punkcie uderzenia.. Wyrównanie prędkości ciała uderzającego i uderzanego od v do v₁. Spełniona zasada zachowania pędu:

Energia kinetyczna

Enerfia kinetyczna układu

11. Wyprowadzić wzory dotyczące zagadnienia uderzenia poziomego: W tym przypadku energia kinetyczna zamienia się na energię potencjalną odkształcenia sprężystego U_s. P_d - maksymalna siła dynamiczna powstała w procesie uderzenia; t_d - maksymalne przemieszczenie punktu uderzenia układuSiła dynamiczna P_d = k t_d. Układ pracuje jakby był obciążony siłą statyczną P_d. Dalsza analiza przebiega jak w zwykłych belkach czy ramach. Gdy masa uderzonego ciała jest pomijalnie mała (w stosunku do ciężaru Q) f - statyczne ugięcie układu pod działaniem siły Q w punkcie uderzenia.

12. Wyprowadź wzory dotyczące zagadnienia uderzenia pionowego: W tym przypadku należy w bilansie energii uwzględnić pracę L ciężaru Q na drodze f_d, gdzie L = Q f_d E_k + L =U_s . Przyjmujemy, że spadek ciężaru następuje z wysokości h, jego prędkość w momencie uderzenia wynosi V = 2gh. W praktyce jedna ugięcie jest pomijalnie małe w porównaniu do wysokości spadku

13. Omówić zjawisko kruchego pęku i podać jego typy: Ze wszystkich rodzajów zniszczenia najbardziej niebezpieczne jest kruche pękanie. Powstaje ono nagle i rozwija się z prędkością zbliżoną do prędkości dźwięku, właściwą dla danego materiału w zakresie umownie sprężystym, a więc bez makroskopowych odkształceń plastycznych w kierunku normalnym do największych wydłużeń materiału polikrystalicznego. Zachodzi wzdłuż tzw. płaszczyzn łupliwości ziarna, tworząc przełom transkrystaliczny lub po granicach ziarn - tworząc przełom międzykrystaliczny. U podstaw mechaniki pękania leży praca Griffitha, który do iliościowego opisu zjawiska przyjął założenia: - materiał zawiera pewną liczbę szczelin, których istnienie nie wpływa na wytrzymałość na ściskanie (gdy szczeliny się zaciskają), lecz daje znać o sobie przy rozciąganiu, gdy szczeliny się otwierają, - energia nagromadzona w materiale składa się z części spowodowanej istniejącymi naprężeniami oraz części zależnej jedynie od powierzchni badanego ciała, zwanej energią powierzchniową. Model zjawiska - schemat. Stan naprężenia a) możemy przedstawić jako sumę stanów b) i c). Griffith przyjął, że szczelina może być opisana zdegenerowaną elipsą o krótszej osi b  0 oraz dłuższej 2a

wartość naprężenia δ_ w punkcie ( a, 0) δ_  S - promień krzywizny

Dla zdegenerowanej elipsy daje to δ_ , co wskazuje, że w rozciąganej elipsie na jej końcach naprężenia będą bardzo duże. Istnieją więc warunki do powiększania się szczeliny. Dalsze badania wykazały, że mogą istnieć trzy różne rodzaje pęknięć, ponumerowane Istnieją krytyczne współczynniki intensywności naprężenia dla tych rodzajów pękania powiązane zależnościami Zazwyczaj są one wyznaczane doświadczalnie za względu na różny udział zjawiska plastyczności w poszczególnych typach zniszczeń. Można zapisać: r, o - współrzędne punktu, w którym określa się stan naprężenia; f_ik(Q) - pewne funkcje znane w teorii sprężystości, określające rozkład naprężeń w okolicy ostrza szczeliny. Spełniona musi być zależność: K_y  K .

14. Wprowadzić pojęcie współczynnika intensywności naprężenia i wyprowadzić podstawowe zależności: Praca potrzebna do otworzenia degenerowanej elipsy

A - pole powstałej elipsy Energia powierzchniowa, którą należy pokonać przy kształtowaniu szczeliny o długości 2a U_p = 4 γ a

Jeśli połowa długości szczeliny wzrośnie o da, to wyzwoli się energia d ( U_s) = dW = 2a (1 - r²) δ²/E da oraz zwiększy energię powierzchniową d U_p = 4 γ da .

Jeśli d ( U_s) > dU_p - szczelina rozszerza się; d ( U_s) < dU_p - szczelina nie rozwiera się dalej.n 2 równości d( U_s) = dU_p można otrzymać Wprowadźmy pojęcie współczynnika intensywności naprężenia K_I = δa Jego wartość krytyczna Wielkość K_Ic jest nową stałą materiałową (odporność lub wytrzymałość na pękanie), którą wyznaczamy doświadczalnie. Warunek zabezpieczenia przed kruchym pękaniem K_I = δa  K_Ic. Jest to kolejny, niezależny od innych, warunek wytrzymałościowy. Warunek można traktować dwojako; przy znanej długości szczeliny 2a można określić naprężenia pękania R_p (δ_kr) lub przy danym naprężeniu δ znaleźć krytyczny wymiar szczeliny

15. Omówić podstawy zjawiska zmęczenia: Obciążeniom zmiennym w czasie towarzyszy obniżenie nośności elementów i konstrukcji w stosunku do nośności przy obciążeniach stałych. Całokształt zjawisk związanych ze znacznym spadkiem wytrzymałości materiału na obciążenie zmienne nazywa się zmęczeniem materiału. Na podstawie badań stwierdzono: - wpływ częstości zmian obciążenia w zakresie stosowanym w technice jest pomijalny przy określaniu wytrzymałości zmęczeniowej, - kształt impulsu zmiany obciążenia ma mały wpływ na wytrzymałość zmęczeniową, - wytrzymałość zmęczeniowa maleje wraz ze wzrostem zarówno wartości średniej jak i amplitudy obciążenia, - wytrzymałość zmęczeniowa jest silnie zależna od stanu powierzchni badanego elementu, jego wielkości, kształtu, - trwała wytrzymałości występuje jedynie, jeśli nie dopuści się do wystąpienia uplastycznienia materiału. Dla opisów ilościowych wprowadzono dwie zmienne: naprężenia średnie δ_m i naprężenia amplitudowe δ_a gdzie: δ_m = ½ (δ_max + δ_min) δ_a = ½ (δ_max - δ_min). δ_max i δ_min - charakterystyczne naprężenia dla rozważanego przypadku obciążenia. Naprężenia zmieniają się zgodnie z zależnością δ = δ_m + δ_a sin wt w - częstotliwość zmian obciążenia.

16. Narysować i omówić wykres Wöhlera: Jak ze szkicu wynika, wytrzymałość R = δ_max (δ_max - maksymalne charakterystyczne dla danego przypadku obciążenia naprężenie) spada wraz ze wzrostem liczby cykli N zmian naprężenia (obciążenia), żeby się ustalić na poziomie tak zwanej wytrzymałości trwałej R_, oznaczonej również jako Z_(x) z dodatkowym wskaźnikiem w celu odróżnienia np. rozciągania od skręcania. Dla skali wytrzymałości stała występuje przy ok. 10⁴ cykli. Krzywa Wöhlera może być aproksymowana w układzie jednologarytmicznym przez dwie proste.

17. Podać sposób rysowania przybliżonego wykresu Haigha: Wykres Haigha jest miejscem geometrycznym trwałej wytrzymałości zmęczonej Z_ dla wszystkich możliwych cykli danego przypadku obciążenia (charakteryzujący się różnymi wartościami współczynnika asymetrii x). Teoretycznie jest to krzywa monotoniczna, apoksymowa w praktyce dwiema prostymi. Punkt A na osi δ_a określa na obu wykresach granicę zmęczenia przy obciążeniach wahadłowych. Punkt B na osi δ_m na wykresie teoretycznym wyznacza w przybliżeniu wytrzymałość przy obciążeniu statycznym np. R_m dla rozciągania. W praktyce stosuje się niższy wskaźnik R_e - punkt B'. Również naprężenia amplitudalne nie mogą przekroczyć naprężeń R_e, stąd ograniczenie prostą δ_a = R_e (1 - δ_m/R_e). Drugą prostą apoksymującą krzywą teoretyczną rysuje się przyjmując, że przechodzi ona przez punkt A(δ_a = Z_(-1)) oraz punkt C, w którym δ_a = δ_m = Z_d/2. Z₍₀₎ - granica zmęczenia przy obciążeniach jednostkowych zmiennych np. Z_rj, Z_gij, Z_sj. Jest to prosta o równaniu δ_a = Z_(-1) - [2 Z_(-1) - Z₍₀₎ / Z₍₀₎] δ_m. Obie proste ograniczają obszar, który możemy uważać za bezpieczny dla trwałej wytrzymałości zmęczeniowej.

18. Podać sposób obliczania przy pomocy wykresu Haigha ograniczonej i nieograniczonej wytrzymałośći zmęczeniowej: Wytrzymałość trwała. Na wykresie Haigha rysujemy prostą δ_a =  δ_m = tg  δ_m. w celu określenia δ_{a dop.} lub δ_{m dop.} w zależności od współczynnika dynamiczności obciążenia :  = δ_a/δ_m = P_a/P_m = tg  P_a, P_m - charakterystyczne dla danego przypadku obciążenia amplitudalne i średnie. Punkt pracy P przy danym cyklu obciążenia powinien znajdować się na prostej OD., a odcinek PQ jest miarą współczynnika bezpieczeństwa. Do obliczeń wstępnych przyjmuje się pewną wartość współczynnika , który dla silnie obciążonych urządzeń waha się w granicach 1,45  1,85. Wielkość elementu i jego stan powierzchni powodują na ogół obniżenie trwałej wytrzymałości zmęczeniowej. Z tego względu stosujemy pewną wielkość k_(H) odniesioną do trwałej wytrzymałości Z_(H): k_(H) = Z_(H)/x_z k_(H) - dop. nap. zmęczen. x_z - współ. bezpiecz. Wykres Heigha powinien być zbudowany z uwzględnieniem k_(H), a punkt pracy P powinien znajdować się w obszarze bezpiecznym. Wytrzymałość ograniczona. Do obliczeń posługujemy się wykresem Wöhlera w skali jednologarytmicznej i zmodyfikowanym wykresem Haigha. Za rysunku pokazano wykres podstawowy dla wytrzymałości trwałej Z_, i zaznaczono wykres przykładowy dla Z₄, czyli wytrzymałości ograniczonej do 10⁴ cykli. Proste tworzące zmodyfikowany wykres Haigha są równoległe do prostej wyznaczającej wytrzymałość trwałą. Dalsze obliczenia prowadzi się jak dla wytrzymałości trwałej.

19. Jak oblicza się wytężenie przy występowaniu zmęczenia: Wytężenie przy zmęczeniu jest opisywane tymi samymi hipotezami co i przy obciążeniu stałym z pewnymi jednak modyfikacjami. W przypadku stanów dwuwymiarowych naprężeń panujących na swobodnych powierzchniach, (tam gdzie zaczyna się pęknięcie zmęczeniowe), jeżeli δ₁ = δ_m + δ_1a sin wt δ₂ = δ_2m + δ_2a sin wt to kryterium trwałej wytrzymałości zmęczeniowej Z_-1, Z₀ - trwała wytrzymałość zmęczeniowa dla rozciągania - ściskania i jednostronnego rozciągania. Ograniczenia: Ze względu, że wyrażenie pod pierwiastkiem i w nawiasie okrągłym we wzorze (x) są niezmiennikami tensora naprężeń, składowe główne mogą być zastąpione składowymi dowolnymi.

20. Omówić zjawiska reologiczne na przykładach: Całość zjawisk zachodzących w materiałach z uwzględnieniem czasu ujmuje nauka zwana reologią. Jest to nauka o odkształcaniu się materiałów rzeczywistych z uwzględnieniem w równaniach konstytutywnych czasu. Aby opisać zjawiska czasowe, wprowadzono pojęcia pełzania materiału i zdefiniowano jako efekt wzrostu odkształceń w czasie przy niezmiennym obciążeniu przyłożonych w chwili początkowej z zerową prędkością, w całej swej skończonej wielkości. Wprowadzono również pojęcie relaksacji - proces zaniku naprężeń - w czasie trwania stałego odkształcenia - przyłożonych w chwili początkowej, w całej swej skończonej wielkości z zerową prędkością. Tensor odkształcenia opisuje geometrią zmiany kształtu, a tensor naprężenia przedstawia analizę równowagi statycznej elementu materiału. W obu przypadkach nie należy oczekiwać zmian przy badaniu różnych materiałów i oba tensory obowiązują dla każdego pomyślnego materiału. Powstaje możliwość zmian w związkach fizycznych: s = 2G(e) δ = B() gdzie s, e, δ,  oznaczają część dewiatoryczną i kulistą odpowiednio tensora naprężenia i odkształcenia. Wielkości G i B są pewnymi funkcjami tensorowymi, nie znanymi dotychczas, które trzeba wyznaczyć wykorzystując pewne założenia i obserwacje doświadczalne. Przy badaniu nowych, nie znanych zjawisk istnieje pewna rutyna postępowania zwana modelowaniem. Na podstawie znajomości wyników doświadczeń buduje się tzw. model fizyczny, o możliwie najmniejszym skomplikowaniu. W rozważanym przypadku sprowadza się do stwierdzenia - istnieją związki między tensorem naprężenia i odkształcenia, - związki te są liniowe. Próżnia: materiał, w którym s = 0, δ = 0, a w związku z tym e i  są nieokreślone. Ciało sztywne: ciało, w którym e = 0,  = 0 to (ewentualne) s i δ mogą istnieć, ale tylko dlatego, że muszą być spełnione równania równowagi. Ciało takie jest podstawowym modelem mechaniki, jest również stosowane w wytrzymałości materiału. Gaz idealny: s = 0 ; δ = B ; gaz doskonały lub gaz Maxwella. Ciecz lepka: s = 2e ;  = 0 to idealna ciecz lepka (ciecz Newtona). e - pochodna czasowa,  - współczynnik lepkości. Pewne uogólnienie cieczy Newtona jest ciecz Pascala s = 2e , δ = Be , wykazująca nie tylko zjawisko lepkości, ale także idealną sprężystość objętościową przy braku sprężystości postaciowej (stosowana w aerodynamice). Ciało sprężyste: Ciało wykazujące sprężystość postaciową i objętościową s = 2Ge , δ = B. Graficznym obrazem takiego modelu jest sprężyna, której przypisuje się stałe B lub G (czasem E).Modelem cieczy Newtona (ciecz lepka) jest schemat tłumika hydraulicznego, któremu przypisuje się współczynnik lepkości postaciowej  lub objętościowej x Tworząc kombinację obu modeli, oddzielnie dla części dewiatorycznej i kulistej, można zbudować wiele modeli mechanicznych, tzw. ciał lepkosprężystych. Model cieczy Maxwella, która charakteryzuje się sprężystością postaciową i nieograniczony płynięciem pod obciążeniem. Ciecz ta wykazuje zjawisko relaksacji, ale nie wykazuje zjawiska pełzania. Ciało stałe Kelvina nie wykazuje nieograniczonego płynięcia, ale tylko pełzanie.

21. Wyprowadź związki dotyczące ciała Boltzmanna: Jest to model ciała przydatnego do opisu zachowania się ciała rzeczywistego. Model fizyczny opiera się na następujących założeniach: - odkształcenie ciała składa się z dwóch addytywnych członów (zasada superpozycji) z których jeden jest sprężysty a drugi (niesprężysty) zależny od czasu, - odkształcenie zależne od czasu narasta przez cały czas działania obciążenia, a jego przyrost elementarny jest proporcjonalny do przyrostu czasu, - związki między tensorami naprężenia i odkształcenia są liniowe. Związki między dewiatorami e i s przy założeniu, że identyczne co do budowy związki tworzą części kuliste obu tensorów e = e(t) = e^s + e^t e^s = 1/2G s wskaźniki s, t oznaczają odpowiednio zależności sprężyste i czasowe. W chwili  , w czasie delta  , działa dewiator naprężenia s(). Wywoła on odkształcenie, które w materiale nie ustali się, natomiast w wyniku cech lepkosprężystych materiału będzie się zmieniało proporcjonalnie do funkcji czasu L(t - ). Dla t >  przyrost odkształcenia wyniesie G^t - czasowy moduł materiałowy. Ciągłe działanie naprężeń w chwilach _i - metoda superpozycji: w = G/G^t i przechodząc do granicy Ostatecznie: Przyjmując

22. Pokazać zastosowanie przekształcenia Laplace'a w lepkosprężystości: s(t) = s₀ = const e(t) = s₀/2G [1 + w(1 - e^{- t})] - co przedstawia wykres.

Funkcjonał w(1 - e^{- t}) nosi nazwę funkcji pełzania. Dla s(t) = s₀ i e(t) = e₀ - utrzymane na stałym poziomie. Stosując przekształcenie Laplace'a i twierdzenie Borel p - parametr przekształcenia, kreseczka nad wyrażeniem oznacza transformatę. Po przekształceniu Po dokonaniu transformacji odwrotnej

Uogólniając e = 1/2G [1 + wL(p)] s - dla dowolnej funkcji historii obciążenia L(t). Wprowadzając oznaczenie 1/G(p) = 1/G [1 + wL(p)].

Zapisujemy e = 1/2G(p) s. Transformaty Laplace'a związków fizycznych lepkosprężystości są identyczne w budowie ze związkami fizycznymi liniowej sprężystości (analogia sprężysto - lepkosprężysta, która pozwala na rozwiązywanie wielu zadań lepkosprężystych metodami sprężystymi).

23. Pokazać zastosowanie modułów i podatności zespolonych: Liczb zespolonych w postaci wykładniczej używamy do opisu zjawisk lepkosprężystych związanych z ruchem okresowym. Obciążenie dane w postaci zależności s(t) = s₀ e^ipt s₀ - tensor amplitudy, p - częstość obciążenia.

e(t) = s₀/2G (1 + w/+ip) e^ipt - s₀/2G w/+ip e^{- t}. Po krótkim czasie od chwili przyłożenia obciążenia część nieokresowa znika

e(t) = s₀/2G (1 + w/+ip) e^ipt. Po przekształceniu Przekształcając kąt δ - kąt opóźnienia fazowego lub strat mechanicznych

24. Zjawiska zależne od czasu i temperatury w metalach: W metalach zjawiska od czasu są wyraźne dopiero w podwyższonych temperaturach. Mówi się o temperaturze homologicznej - stosunek temperatury aktualnej do temperatury topnienia. Gdy stosunek ten jest mniejszy od 1/3 , zjawiska czasowe są niezauważalne. W odniesieniu do pełzania zjawisko to zostanie przedstawione dla przypadku rozciągania naprężeniem δ₀, utrzymanym na stałym poziomie przy określonej temperaturze T. Rozróżnia się trzy charakterystyczne okresy pełzania. I - nieustalone pełzanie początkowej przy malejącej prędkości odkształcenia , II - pełzanie quasi - ustalone przy  = const, III - okres spontanicznego wzrostu odkształcenia (kumulowanie się defektów, osłabienie struktury), zakończony zerwaniem próbki.

Można zapisać: (t) = _s + _p(t) _s = δ₀/E - część sprężysta e_p(t) - „pełzająca” część odkształcenia. Często przyjmujemy formułę _p(t) = aδ₀^m tⁿ gdzie a, m, n, wyznaczamy doświadczalnie. Dla pełzania ustalonego n = 1.

Zjawisko relaksacji w metalach może być opisany zależnością δ(t) = C e^{- t}. Współczynnik [s^-1] określamy doświadczalnie związany jest z tzw. czasem relaksacji _r - zależnym od właściwości fizycznych i struktury metalu, temperatury itp.  = 1/_r. Stała C wynika z warunków początkowych: dla t = 0  δ = δ₀ = E ₀.

₀ - wstępnie zadane i utrzymane na stałym poziomie odkształcenie δ(t) = δ₀ e^{- t}. Czas relaksacji dla materiałów liniowo - lepkosprężystych można wyznaczyć z wykresu

25. Podać i omówić wzory dotyczące rur grubościennych: Wzory Lame'go na naprężenie obwodowe δ₂ i promieniowe δ₁ dla pierścienia o średnicy wewnętrznej 2r_w i zewnętrznej 2r₂ przy ciśnieniu wewnętrznym p_w i zewnętrznym p₂, w dowolnym punkcie pierścienia odległym od jego środka o r, mają postać Odpowiednia zmiana długości promienia r:

26. Narysować wykresy naprężeń w rurach grubościennych:

---