1.Siły występujące w prętach i wywołane nimi zagadnienia wytrzymałości : Siły wewnętrzne : -są to siły powstające na powierzchniach myślowego przecięcia pręta , - są to oddziaływania jednej części pręta na drugą , -siły te można zapisać przez siłę ogólną W i moment ogólny M. Jeżeli siły przedstawimy w postaci składowych na osie x₁,x₂ i x₃ to możemy w ten sposób wyróżnić tzw. Proste zagadnienia wytrzymałości : a) rozciąganie lub ściskanie od siły normalnej N. b) ścinanie od siły ścinającej T. c) skręcanie od momentu skręcającego M_s. d)zginanie od momentu gnącego M_g

2.Moment gnący i siła tnąca w belkach : Moment gnący w dowolnym przekroju belki określa się jako sumę algebraiczną momentów od obciążeń działających po jednej stronie belki . Siłę tnącą w dowolnym przekroju belki określa się jako sumę algebraiczną sił prostopadłych do osi belki działających po jednej stronie . I w ten sposób otrzymujemy : - dla obciążenia siłą skupioną P:T₍₁₎=P, M_g(1)=-P*(a-x₁) , -dla obciążenia ciągłego q :T₍₁₎=∫qdx₁=q*(a-x₁), M_g(1)=∫q*(x-x₁)dx=-1/2*q*(a-x₁)²

3.Naprężenia i działania na nim : Naprężenie jest to natężenie sił wewnętrznych ,czyli ich wartość przypadająca na jednostkę pola powierzchni przekroju: p_j=lim∆W_j/∆A=dW_j/dA [N/mm²]=[Mpa]. Jak widać wektor naprężenia ma zwrot i kierunek zgodny ze zwrotem i kierunkiem oddziaływania siły ∆W ,ale wektor ten można rozłożyć na trzy składowe (równoległe do osi x₁,x₂i x₃ ). Tak więc można zapisać że p_j=σ*e_j ,gdzie σ tensorem naprężenia . Tensor naprężenia zazwyczaj jest definiowany przez swoje składowe - wektory naprężenia . Do obliczeń można także używać składowych tego tensora σ=p_j*e_j

4.Naprężenia główne i ich wyznaczenie : Naprężenie główne jest to taki stan naprężenia w którym występują jedynie naprężenia normalne ( naprężenia styczne =0) . Wartości tych naprężeń łatwo jest wyliczyć wiedząc że determinant z macierzy: σ₁₁-σ σ₁₂ σ₁₃ , σ₂₁ σ₂₂-σ σ₂₃ ,σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃-σ ,jest równy 0 dla naprężeń głównych :det[σ_ij-σб_ij]=σ³-I_σσ²+II_σσ-III_σ=0. Pierwiastki tego równania noszą nazwę naprężeń głównych . 3 niezmienniki podstawowe tensora naprężeń I_σ=σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃=σ_ij ,II_σ=1/2*(σ_iiσ_kk-σ_ikσ_ik),III_σ=Det[σ_ik]

5. Równania równowagi wewnętrznej : Równanie momentów wzg osi równoległej do x₁: -σ₃₂dx₁dx₂*(dx₃/2)-[σ₃₂+(∂σ₃₂/∂x₂)*dx₃]*dx₁dx₂*(dx₃/2) +σ₂₃dx₁dx₃*(dx₂/2)+ [σ₂₃+(∂σ₂₃/∂x₂)*dx₂]*dx₁dx₃*(dx₂/2)=0 czyli σ₂₃=σ₃₂ .Warunek równowagi sił w kierunku osi x₂:[σ₂₂+(∂σ₂₂/∂x₂)*dx₂]*dx₁dx₃-σ₂₂dx₂dx₁dx₃+[σ₃₂+(∂σ₃₂/∂x₃)*dx₃]*dx₁dx₂- σ₃₂dx₃dx₁dx₂ +[σ₁₂+(∂σ₁₂/∂x₁)*dx₁]*dx₂dx₃- σ₁₂dx₁dx₂dx₃+ Y₂dx₁dx₂dx₃=0 .Po podzieleniu równania przez dx₁dx₂dx₃ otrzymujemy:(∂σ₁₂/∂x₁)+(∂σ₂₂/∂x₂)+(∂σ₃₂/∂x₃)+Y₂=0 .Równanie ogólnie :(∂σ_ij/∂x_i)+Y_j=0 (i,j=1,2,3)

6. Przemieszczenie i odkształcenie - związki między nimi: Wektor przemieszczenia jest to różnica położeń punktu O przed i po zdefiniowaniu u=x-x⁰ , u₁=x₁-x₁⁰ . Jednak przemieszczenie punktu A położonego nieskończenie blisko punku O jest na ogół różne od u z czego wynika u'=u=du . Przyrost wszystkich trzech składowych przemieszczenia wzdłuż kierunków osi współrzędnych przybierają postać T=[t_ik]= u₁₁ u₁₂ u₁₃ ,u₂₁ u₂₂ u₂₃ ,u₃₁ u₃₂ u₃₃ gdzie :u_ik=∂u_i/∂x_k =1/2*(∂u_i/∂x_k+∂u_k/∂x_i) +1/2*(∂u_i/∂x_k-∂u_k/∂x_i),2 -część określa sztywne obroty ciała , 1-wspó. symetrycznego tensora małych odkształceń :ε_ik=ε_ki=1/2*(∂u_i/∂x_k+∂u_k/∂x_i).Współrzędne tensora małych odkształceń ε₁₁,ε₂₂,ε₃₃ określają odkształcenie liniowe w kierunku osi układu , zaś współrzędne ε₁₂,ε₂₃,ε₃₁określają połowę kątów odkształcenia postaciowego w płaszczyznach wyznaczonych osiami współrzędnych .

7. Zależności przy obrocie tensora naprężenia : Chcąc otrzymać zależności przy obrocie tensora odkształcenia należy wziąć kwadraty długości pewnego odcinka różniczkowego dx przed i po odkształceniu:ds₀²=dx_i⁰dx_i⁰,ds²=dx_jdx_j . Wiedząc że: dx_i=∂x_i/∂x_j⁰*dx_j⁰ można stwierdzić iż: ds²-ds₀²=(∂x_i/∂x_k⁰)*dx_k⁰*(∂x_i/∂x_l⁰)*dx_l⁰-dx_m⁰dx_m⁰ =[(∂x_i/∂x_k⁰)*(∂x_i/∂x_l⁰)-б_kl]*dx_k⁰*dx_l⁰ =(u_ik+u_ki+u_jiu_jk)* dx_i⁰*dx_k⁰ ,a dla małych odkształceń ( pomijamy u_ji, u_jk ): ds²-ds₀²=2*ε_ik*dx_i⁰*dx_k⁰ . Ponieważ w dwóch różnych układach współrzędnych kwadrat długości odkształconego odcinka musi pozostać taki sam , można zapisać zależność ε_qr'*dx_q'*dx_r'=ε_ik*dx_i⁰*dx_k⁰ jeżeli zapiszemy cosinusy kierunkowe jako α_qi=dx_i⁰/dx_q⁰ ,to otrzymamy zależność przy obrocie tensora odkształcenia ε_qr'=ε_ik*α_qi*α_rk (i,k=1,2,3 q,r=1',2',3' )

8. Związki fizyczne materiału i uogólnione prawo Hook'e : Związki fizyczne materiału wiążą ze sobą tensory naprężenia i odkształcenia , dla ciał sprężystych związki takie można zapisać w postaci :σ_ij=C_ijkl*ε_kl ,ε_kl=S_klij*σ_ij gdzie C_ijkl są䀠wɳqółrzędnymi tunsora sztywno՛ci , zaś są w{ɰółrzędnymi tensopa sztywności . Jak widać (dla i,j,kȬt п1,2,3) teɮsory te posiadAją 81 ⁷spółrzędnych ."Ze wzglĉ⁤u na symɥၴrię"tensosów naprężenia i odkształcenia oraz Wyraźnie określ⁡jące enerŧie$sprę뾦ꀉեࢯ쒷岚흞梿♔뙤⑖觹Ⴋ꧋否뛡╙趴ފ㦍⎙ꄱ笸똼췇齱ꨝ涾�腽ㆿྉ㏂㷉㐋⌇䣵溇׎ⲻꓦ墼䅻䮗뎜햖⁠䮣볌㗆賂寿ᑩ斍ἡꡟ擳ﶓ䢡夏ቹꋾ稤浵�鬹媙쉥鮢軟㕯⥕뺮き〉ڇᘼ葛⫳벳㊘㥄⒇긫䜪攍숍ꈇ筬格췟ꮅ뒨컔遂酒ꊐꔿ此踧퇽ퟬ喝蟧쀴答뭜▍摏ሁ䝆胄㢱ퟌ唬엺뎒㓍쪂幦푫샦ꘒ둴⽚ꓯ蚭疘卤ý�ٴⶡ綧䟒鴂�ﻪꄣ郩ꪐ嬦젥溇ۂ㧭뇪ປ┘멤ᙋ拒��⟈끢㴛؆쩿蹦〹㥜ﾌꩼ憤㗂჉䵛ꪏ뎠�쥲뛉ồ眇揖툗㼪㞀⼆磵貫∞硤晌柤윟樟✈洧ㅕᇂ给꽥疪暐_᥈䬉዆犱驮臀혣Ｂ釫騝取㨪_➏漪㨑읝肅㣣兝힃�㷋鷍颜_竊Ǡ䳘협䪼聉ৱ똵_Ṇ뻓ꀄըࢬ쒸_岀흂梶♚뙺⑒袥Ⴖ꧈吱뚶╄趯芰㦝⏚ꅵ笸똵췖鹘꩒淩�脧ォ࿖㍘㶛㑏⍓䢽滊׃⳷ꓳ壹䅩䮌뎉햅
䮱뷴㗇螺審ᑩ斋Ḁꡓ擮ﷁ䣮契ሶꋃ稠浹�鬿媏쉥髟軟㔣⥞뻢き〄ۇᘷ著⫵뻾㊘礁⃊깳䝧摽쉔ꈔ第桦췄ꮔ뚴컈遝酏ꊞꕺ歷踧톣햣晴螮쀯筑뭺▆攮቏䜗肐㣿唾엩댉㓈쪁弋푽샲ꘒ둺⽑ꖍ蛬疡卨ý�ٯⶲ緮䚩봏�ﾈꆾ_郿ꪐ嬯젽源Ӑ⧠뇻_ຈ═먰ᙛ_揀��✛끦㵒_؟쩣輑ㄼ㥚_ﾊꨵ憪㖘჎䴚ꪃ뎺�_졅뚓Ổ眒拵팶㼪㞄⽏磠ೡ≕硵昪枫읏歊✣淮ㄐᇺ纃꼦痽柹ᤙ歅ዚ玛驈膅혣ｫ퇖驉厖㭼⟔潲㨇위胝㣂兝힃�猀끘ᩛ蔒噡ꡯ军軛믋Ⱦ됈뺔ꀛԢࢋ쓵岶_圄棬☛똺⑲觴ჸ꧜_吽뛣⑵跻ʈ_㦑⏗ꅺ筹_뙦춊鸊ꩋ涾�脮ジ_࿜㍡㷒㐀⌇_䣭滊ևⲷꓕ壴_䅧䮜돂헗_​䮹별㗑陵寧ᑡ_斌ḛꠒ撺ﳠ䣵奎ሪꋁ_稿氛�鬤媘숤_髊躅㔩⥐_뺡〈『ۂᘷ著_⫼뻰㋌㤜⃊깠䝻敕윸_ꉀ笼桿췃ꯀ뚼賐_遄逥ꊓꕴ毣踧퇫ퟪ_憎蟷쀶筊뭳▞_攩቉䝞肚㣥唥엳댌_㓕�

弒푶삲ꙋ랢⼃꓾蚾痭卄÷�ؿⷷ緫䛷뻓�ﻸꅰ邥꫆孺젙滀ݤ⦨໒⚏묣ᘙ抁��❾뀿㻸٘쨭輵ㄠ㡢ﾎꩼ懥㖘დ䴎ꪍ뎱�쥤뛞Ở睆拠㽯㞙⼕磻賹∋硤晴柤위欜✋洯ㅝᆍ细꽼疵查ᤄ欽ዃ珓髾臉홭ﴮ釪騖叁㭭➖漽㩔읙肚㢱兝힃ꍕⶻꩮ⛒ꋹ徺躺Ҋ忶Ë㫼Ԇ뵼ꁜ蔺ࣻ쒬峙圙棧◸똥␄觰ႅꦑ呲뚺⚂趩ˣ㧕⎆ꅘ笲똝칥鸘ꨏ涳�蕵㈋࿁㌚㶊⍉䢠浟֔Ⲩ꒯壨䅍䯒뎷혴⁳䯣벛㗄_亂宠ោ旓_ṋꠗ杙ﶁ䢳夈ሄꊔ穩溫�魭嫌숫骗躸㕭⫲뻳ﺅ灍぀ڋᙺ蟂⪪뺬㋑㥕↗긨䝁쇢ꈆ筶格춋ꯌ땳캔_逜鄝ꋘꔰ欢_踭퉎ힰ充螃쁤缀묳◇攝_ቘ䜄肛㣰_唥엯댏_㓚쫘弈_핍샩ꜰ둴⽛꒸蛦痢卤³�ټⶡ綢䚲뵆�ﺺꄿ醑ꯌ嬬젯溞ӈ⣂뇻ປ╓먰ᙄ拙��❔끱㵁ܴ쨭輑ㄤ㤙ﾁꩯ惜㒹ᆧ䵛ꪏ뎦�_젘뛇Ỉ瘽_拷툝㼠㞙⹪碴賢∗砰柿윑欒♣浮ㄊᆍ绥깕疮暐᥇欁ዛ犱騭臀홭Ｂ釷騟反㬨⟆漼㩅읜臬㧭兝힃빅饥墍ཧ뤈㙿�鄸엻䁭费⫽뻑而ըࢬ쒣巴흄梼♚뙢⑅覌Ⴒꢴ吱뛵╍춪ʢ㦁⎙ꅯ筷똼_췅鹃ꬸ_�脴ォ࿈㌌_㶔㞬_⍘䢽滀ؒⲪ_꒣壹䅽_䮚돌햅 䮪볆㗓聾_寺ᑲ斈὿_ꡟ撺ﳐ䣻奘ሪꋀ稠派�→鬹媓쉥髋躖㔢⤑뺗ぜくڙᙼ螴⪩몭㋆㥌↊궯䜷攍숈ꈉ筴栳춙ꯊ뛮쵤逜鄒ꋃꚪ次踬툸ힱ充螤쎖㬂묌◎敪ሏ䜻肛㣴唸_앣댄㓈_쮺弞핔샫ꘂ둨⸷ꓯ_蛮璾卤_°�خⶱ_綢䟒봅_�纥ꄽ郡꫃_嬴쥛滊Ӑ⧣뇷ຈ╗먪ᘎ择��✉뀿㻸ﶂ♜즸輖ㄮ㤙ￌ꨽憏㖇ᇻ䴗_ꪉ뎤�쥮뛉ῥ眉揨툍㼢㞗⽏磠賮∖硤晵柦윌橼☚洫ㅞᇌ纒꽾

矯枤᥀欃ዟ珎驹臄흁Ｄ醠騖反㬬Ᶎ漡㩔윎肖㣫兝힃멅늦㭋嵤鵰Ჽ뒃鱟襋Ց古呠舡趸뺟ꀄԫࢽ쒯岞흟棴☛뗕⑖覲ქ꧂吹뚽┆跴ˢ㨧⏓ꅷ笲뉷췏鹁ꨝ液�脶ヵྗ㍚㶊㑅⌌䣠溆֍⢪ꓻ墲䄦䯘뎼햘⁠䮠볙㗖壟导ᑦ斕ḓꡙ擴﷚䣴夁ሰꊔ稲浧�鬾媜쉪髌躊㕧⥕뺸「ㄢۊᜒ葖⫷뻫㊞㤞Ⓛ깷䝳敕쉄ꈔ笶桵첲ꯚ뛦컲逐鄑ꋆꔭ欺蹮퇦힩蘒蟧쀾笛묬◈敼ላ䒽肟㣻唺엦댍㓪쪈彔푚삸ꙋ됷⼞꒚蛳嗑危²�ٺ⶧綨亲봉�︫ꅭ郫꫊婌줇濭҇⧼뇶ທ╝啕ᙇ抜��❔뀵ᴨ؜쬔輋ㄪ㡢ﾁꩼ憪㖕Ⴡ䵛ꪃ뎾�졚랴ẇ眃拺㼽㞉⼆磽貥≊硤晌柢왧標✃洠ㅙᆍ绛꼷疿枹ᥞ欑዇狶马臁홺ｧ釱騝友㬿➏漦㨕읙肌㣥兝힃⑅퇹鱷䷣蘣县賫ﻃ茖튞껶︍�㣯뿃ꀈեࢿ쒿峓흙榗♗뙷␗親Ⴌ꧞吢뛳⑳跻ʟ㦖⏘ꁡ筽똨췏鹋ꨝ淳�脸ズྛ㉣㶛㑏⌓䣢溃הⳡꓱ墣䅦䮑뎉헗‷䮷벘㖒論寺ᑽ斛Ḑꬥ擮﷖䣦奎ቹꋟ稷海�鬢媔쉱髈軟㕩⤑뺒〗〙ہᘻ萂⫲뻺㋌㤗⃑꼃䜦攓숁ꍈ笠格췜ꮙ뒲쾾酑酅ꊇꕶ歵蹭퇨ퟰ僧螮쀥筕뭪▉摏ሁ䜘肀㣿피엠뉤㓌쪌弞푡샽ꙋ둹⽗꒿蛱璾卤³�ٯⷦ緧䛻봍�縹ꄿ郭꫚孵젰溇ӄ⧣뇺ຝ╛먰ᙙ拝��♠넒봛ؓ쩾輋ㅥ㥔ﾋꩴ憷㓧ႀ䴁ꪎ뎭�쥻뛐ờ眃拺툝㼮㟎⼂磵賿∅礆查읞欁✇洠ㅈᆍ绂꽢疡枠᥇欁ዉ玔騣膅홗Ｂ釪騊反㬬⟦漕㩛읇肆㣫ﻘ兝힃ᥕ뙴鷶馐沑䅅竨䣔卉鍝眢콹Ῠ腯뻞ꀁծপ쒿巼흏梹♐띐⑖즽Ⴍꦑ吥닦◄貙ʣ㣽⏝ꥳ筡똥췎鸊ꨑ涾�脶ㆼ༁㍈㶛㐁⌚䣣溘և⳱ꓷ墪䄨䮗뎜햞″䮱볘㗋螺室ᐧ斁Ḁꡅ擷﷚䢡奅ስꋕ穥浺�鬿媑쉪髀躘㔨⤑뺷ㄯ、ۏᘣ著⫯뻬㊔㦗⇺깸䝼搦쉅ꉊ笼桿췃ꯀ뚲컂遂酒ꊀꕾ欲蹾퇹헱憎蟷쀸㭑멟ꖈ搑ቂ䜗胕㣼唬엣덁㓐쪜弞푸샩Ꝭ됷⽆꒪蛭疱占°�ٹ⶿綥䚲봍�ﻤꅭ郆꫑嬿젬溘ӈࣂ뇻躛═侮ٔ拝��❕끼㰼ؙ쨭輈ㄵ㥋ﾍꩢ憤㖆ლ䴚ꪊ닁�줡뛝Ỏ眃狮툙㼦㞋漁磺賢∁砪晨濤잍欒❆洠ㅑᇟ羫깫疪枥᥏欉ሌ珘驸臇혣Ｈ釡験受㬷➒漮㭷썉肐㣿兝힃㝅ገ䔴䥐⍬䵁߀覸첳쳠⌳紘쉲뻒ꁍջࢹ쒭岚흎棬♌뙯⑄覭ᇁ꧁퐽␰跻ʿ㦁⏃ꅰ筱똣췈鹄꩔淵�脔ㆁ࿜괾㍢㷌㐝⌍䣶溏׉Ⳳꓷ壹䅧䯘뎃햇‡䮢볂㗗蘿篢ᑢ斑Ḏꠜ擴﷒䢡奛ሸꏶ稪汢�鬹媀숤髊軟㔴⥈뺯〙〒ۂᘿ著⫵뛾㊘⤁⃊깳䝧摽쉔ꈔ筫格췱ꮎ뒯컔遗酃ꊓꕺ歾蹢톽ퟭ館蟫쁵筝뭲⒛支ሁ䜄肔⣽吣엯뉦㓐쪜彟푵샦ꘊ둼⽇ꓯ蛭疲即DŽ�٫Ⲃ緫䚨봒�ﺩꄷ郦꫉嬶젴滊ҋ⦹뇼ຈ╛뭒ᙏ拖��❘끼㴛_ٖ쩤輅〪㥍_ﾐꩺ憵_㖍თ䴂_ꫀ뎫�쥳뛜ể睃拿퉐㼥㞋⼋磸賤∊

砽昵架欱✃洡ㅂᇌ纒꽧疠枼᥍欆ዂ珕騭臟홢Ｐ釬騝取㬬⛡湯㩖읔膷㣾兝힃꽅⃡뀯䐹合公푷吅ዻಫ枼섄뻞ꀈԫࢸ쒻岃噗梢♒뙷␗覮ჸ꧁吽랏╓趡ʴ㦊⏐ꅸ笸똱췟齖⩎淤�腽ウྛ㌑㶛〸⌐䣢溃׌⳺꒲墭䄨䮂돌햑‡䮻볂㗇螺室ᐧ撞ḟꠜ擨﵀䣶奏ሸꋚ稬浿�鬩宁쉷髟躆㔤⥙뻢〙』ۛᘸ萞⪺뻱㊅㠘ₘ긮䜦救쉈ꉑ筥桱췊ꮊ럃캇遟酏ꊓꕨ歹蹽퇬훇贈蟴쀴筜뭸⒛攤ቘ䜝肝㢱唻얪댖㓏쨋帽푬샲ꐒ둹⽜꒦蛨疵匡¯�ٹⶨ綪䚵봏�ﻪꄚ邵ꫧ孽쮟溃ӌ⦰놥ລ⛹︡ᘂ慿��✈끼㴛؟쨡輔煥㤄ￓ懷㗎႓䵛꫉돉�줳뚝ẇ睳拻혓㾼㞂⼁磽賤∐砡晴柿윟歅✑洷ㅄᇗ绋꽺璮暉᥋樳ዏ珝騷膅�Ｆ釶騙叀㬴⟆漭㩀읊肚㣦兝힃⥵稹ꩼగ�蜁轤멿ᇢ畵쭌��zej niż 4. Funkcja spełniająca wszystkie te założenia przedstawia się następująco : W=AI_σ+BI_σ²+CII_σ+DI_σ⁴+EI_σ²II_σ+FII_σ². W rozważaniach będziemy używać przybliżenia kwadratowego :W=AI_σ+BI_σ²+CII_σ≤1 . Stałe A, B, C wyznacza się w prostych doświadczeniach tzn. jednoosiowego rozciągania (R_r=R_m) i ściskania (R_c) , oraz czystego ścinania (R_τ) , jako: A=1/R_r , B=1/(R_r*R_c) ,C=-1/R_t² ostatecznie otrzymujemy: (1/R_r-1/R_c)*I_σ—[(R_rR_c-3R_t²)/(3R_rR_cR_t²)]*I_σ² +(1/3R_t²)*σ_H²≤1

13. Momenty bezwładności- zależności : Zależngści dotyczące prɺesunięcia układu współrźędnych ¨wzory Steinera):I_x1c=I_x1-(e₂)²*A , ࡉ_x2c=I_ࡸ2-(e_࠱)²*A , I_x1cx"c=I_x1x2-e₁e_䀲*A .Zależności dot䁹cząse ၯb聲otu ⁵kładu współrZęɤnych: I_聸1'c=1/2*(I_x±c+I_x2c)+1/耲*(I_x1c-I_x2c)*cos2α--I_x࠱C|2csi࡮2α $‬ I_x2'c=1/2*(I_x1c䲆_鹙뗕呙᦬ﲂ놁䠒䟂哟_馬䱈劻ꗶ㐮_偝ৱ갴뤺唌雉ﴜ鳱ﹳ뚪�_{诹걵ば䐏竏}ꧮ⸭ᨯ쨌情櫣웆⊯_{੠∶⁴詹८蹋롤戀}殍�躳뤱搚_ﯝҵ㬱狆_⦅┲밻娄ƥ⸊ሤ쬗캔燐ⷚ똲_{⣬͹괣鐺}꯲갼㬉乗�⟦

㝗혆㯼攄瞓ᾭ甌㺧觼踳륤攀ﶖᷮ弛Ὰ锝鞡ﰯ馩ꇊำ멱橐쇙즟仍媦藤鑣ꟲ㝱혊禵洀喀뛎㓺�Ჹ驪歇淙�뾿볻�ꯗ⭴董騭䀅憗亁⍢ꑕ㵩︰뮄戁憎䛚傞袹࠻p꠱∹ꄤ་똭�讱길㬯윌퓗㣐䩁涝�뺲胣꨹୾赧㹥팞➼鼧홧髵쩄悆榜⣳ijꙪ넷汐閭ꗡṨ歷⦹贮밂螺꺢ᄞ쑞ꋷ⁦訹ĺ贱떪娍⃡࠽ꭠ굟㴳噉飕쩃지䓝慠ࣾ腸చ먰쓁視৔ⵒ惿飚㔄൵�ん哅ᰳ➗慰䲽鱛떂呉᧰ﲈ냷䠂䔒哔馐䱛又ꗴ㐲倚ল갰뤠嗍鐺﵎鶫ｆ뚮�诸갷ခ䓟窊覍⸡᩠쩄惊檂욋⊹਴∧‸訙ब踰롿战毃�躰몭搙ﯱӿ㬩犔⧶╱뱸婇Ƕ♹ᇭ쬨컆燙ⶽ빪⢮̫괥鱢塞ꮧ걷㬦丞�⟦㝷홞㪖攄瞂ῼ甄㻻觭蹧뤼䔡ﷁᷪ彍ι핋韥ﰇ駬ꇱ๨먽樕샪즓从宔藤鐰ꟼ㘛혝㧬洍喛랻㖆�ಳ驦淗�뾣鳡�꫾⭦葽騬䁄悢云⏿ꕾ㵺﹊뫭怇惹䛗倎袦ࡡ꡾*ꈢꅼ⸗똩�诮깮㭾읏퓟㢱䮫淟�뺡胮ꡩଶ贾㹪팅➶齿활髷쨌悏槜⢤Ű꘰녴洪柳ꗼḻ祈⧠谚받卵꛹ၙ쑁ꊴ息許ࠖ赬띧婈悫⡸ꬡ괶㵱噛료쨍집䒥滛ᢴ脿త렧쓌視৔啒쬏权㑒諾掿㕨䣔罙�亂ꤾ䲕鰃뗇呓ᦪﷲ냨䠄䚦囟馷䱂厉ꗥ㕓兔঴갬뤠嗟韥ﴁ鷹＇뚯塀诮걳〶䒊窕ꦹ⸌ᨼ쨅悗殩웆⊨੤≤ち訵ॴ蹰롳手毟�軬륹搒﯋ւ㬸犛⧤╡뱫婇ƶ⚰ሾ쬅캅焞ⷤ븤⢬̸괣鱹ꮹ갶㬦世�➥㝿휼㮴攊矋῿甝㻠觯蹰륳敘﷎ᶫ弄῿픏뾘ﱎ駙ꇵู멯橚샏즔亂宍蓅鑫ꟽ㝷혛㧬洊嗚랻㓰�ಢ驧淗�뺈鲮�꫺⬵葨騫䁌懀亅⏵ꑕ㵮뫳怀憊䚃傍袣क़耤ꡰpꈱꅧ⽨똫�讠깰㭿읅풖㦜䨕淿�뺧胰ꩿଯ费㸹剘⟷�휫骭쨅悊榑⢢ĹꝆ끡汖驪ꗻḯ精⧺赢밯ﴘ

꛿ᅽ쑒ꋵ⁦註ऽ赦똻婄⃥⡡ꬲ굹㴸嘏뢫쩐징䖰﫝ࣴ脴఼멨ꄋ쓋視৔蛚V慼㨦鳉ꀦ됲㽛ε�ਁ䲛鱑뗝呋ᦵﲎ낸䠆䟇咐馮䱌厕ꗹ㐳偅ৱ갳묻喚韠ﴌ鷤＀뚻�诰걤㄁䓆窘ꧾ⸧_ᬮ쨁情櫂_월⊤ਥ≤‵覓ॼ蹺렵戌殘�躭륟搒ﮔҧ㭹犛⦾╶뵙婝ù☭ሹ쬍캕熈ⷩ븽⢦̽걟鱯ꮥ갶㬽也�⟯㜾혔㮈┖瞟ᾯ甝㹩觪蹧뤦䔒﷎ᶣ归ῶ픒떠ￛ馡ꇴส먽標삅쩄亊宅薮鐷Ꞿ㽦홗㧣洦嗇랅㓧�೹驍涖�뿪鲮�ꫧ⭴葰騹䀅憨亝⏺蔎㵺﹊몳恅憡䚃傊袸घ3꠱?ꈲꅡ⽳똺�诣빭㭳읏풚㢹䫘䶟�鳡胎꨸ଭ赻㹥卩❗鼦현髩쨍惨榀⣡ă꘨녯洪力ꗳḴ穀⧱责밻亂꞊ᄩ쓑ꊴ⁺註द谆뙼孯₼⡲ꬨ괶㵱噛뢖쩁즔䖎𥳐ࢻ耋ൔ멨쓃視৔쭒魙寵䚍踒䣠靖寮荣콟판ꛔ܄䲍鰃뗊呋ᦩﲘ냭䠛䟎咆駹䱉厘ꗼ㐥倒ৱ걣름嗂떠ﺯ鹈１뚪�讠갸〸䓕竂ꧭ⹢ᨲ쨗悉櫙웙⊮ɬ∱‵訿ि蹰뤙扖毉�躢륬䑐瑱ӳ㯫狌⦷╹뱩嬱Ǧ☢ሲ쭜캔熅ⶳ븺⢻̨괬鱦ꮪ걳㬥与�⟪㜾휂㮈敇瞛´甕㻿觶蹭륶敗ﶛ᷻幨ι한韠ﰇ駬ꆰຢ멯橚샖즅仍宍藦鑮ꟳ㜾혚㦣浃喕랸㒿�ತ鬑秗�뾺眜鳴�꫱⬵葨騺䁆憉俷燎⏴ꕹ㵲️뫰恅憐䛌傇蠾ࡲ$ꡰ:ꍄꄵ⽣뜌�诳깼㭴읃퓟㣰䪀淙�뺾蓰ꩱ଱谔㸯刌⟢齠혎髹쨐悏涑⢨Ű꘳륲氓閭ꗰḹ穀⢑豿밮龜꛺ᄨ쐂ꊴ⁴詰ठ赢뙰孑₠⠱ꬤ굹㴼嘔뢠쩎집䒂響ࢻ脽఺먭쒂視৔遒�䉂Ɐ㶁ⱎ嵒Ⓩ족䄙ⶥմ鿛啽䲎�뗕呍ᦶﲛ냷䠋䟐咋馸䱉厜꒷㐺做া갰뤽嗞韻ﴁ鶫％뚬�诩괓ㅤ䓉竑ꧡ⹢ᩳ쨻悄檐웚⋯ਥ∴⁧訪ऱ蹦롯扅毇�軬맥搒﯒Ӣ㭫狌⦡╾뱾娆ƥ☳ሮ쨼캃熌ⶳ븽⢢̸갟鱿ꯠ걲㬿丘�➧㜾혌㬾攐瞅ῠ甃㻿裆칻륱敛ﶛ᷻幨ι한鿱ﰍ駳ꇾำ며橜삅즞仆宑藢鑭꟯㝳혗㧬洌嗚랯㒿�ತ驩涖�뾽鳣�ꪵ⭥_葵騢䁀憋亀⏻ꕶ㵶︃몽怊憂䛔_傒ࢵ࡮'ꡨ=ꈨꄵ⽽됪�该깰㩟읟풒㣰䨟涖�뺣胢꩹ର赶㸥匌➶齫홞骭쩛情槫⢶ıꜿ논氞戀ꖲṲ禎⧵责밻句꛷ᄮ쑖ꋣ⁼訵ॴ赤뙾婂₨⡴ꬴ굤㴢_嘒룬쩂즋䒅龎ন脱ఽ먭^쓍視৐敒˭﬛적灼鮿슾推獜缦㌔ி伲鰌뗔呐᧹ﳋ냒䠐䞃咈馰䱇厘꒐㑪偟ন갠봠喚韠﵎鷊Ｋ雗�诂谟〸䓋竝ꦴ⸲ᨯ쭬悑櫑웓⊥੡∥⁻訩ॴ蹨롹扂殐�軻륯䑆ﯝӪ㭭玷⦧╻뱵婉ǫ☪ሩ쬅컛燍ⷲ빪⢨Ɉ괥鰫ꮧ걹㬬丙�➣㜾현㯭攗瞙΅甘㻿_覤蹊륳_敝﷐彋῿핂韤_ﴒ駧ꇪ_ำ멭橜샖즐侥_寝薽鐪_Ꞿ㝦_홗㧱溠喉

럤㒿�೶驉淁�뻓鲮�ꫦ⬨葀驲䁁戦仝⏩ꔽ㻚﹊뫪怑䆅䛇傄裱ࡻ9꡽5ꌽꅻ⽽뜕�讠깹㭼윆풒㣶䪕淂�뺹胲ꬉଶ贷㸠툩⟵齶옎髽쨇悟槈⢴ĺ꘦넽汃閭ꗡḮ臭⢓赹뱫襤ꛠᅠ쑥ꋰ⏓詿İ赻똱砆⌄⠣ꬤ굗㵫噗룮쩇즋䒛﫝ࣴ脣ల묊쓃視৔呒䖠쟥씑쑁젩囑ꈾ唏Ⓐ㺭넅䲕鰃뗃呐᦭ﲜ냶䠞䚤哟馪䱈压꒎㐩偉ি갪뤨嗟鞥�鷞＝뚴�诬괏ぼ쓎站ꧾ⽇ᨾ쩕悕櫟웚⊲੿∡‵訪व蹮롹捍毟�軫뤼摟ﯗ׻㭶狌⦾╳뱫婁Ƕ☢፛쬟컗熉⹕빥⢹ͬ괋鱰ꮇ걟㬻乗�⟦㓘홃㮀攔瞇ᾠ用㻓覤踢뤰攒ﹸ᷸弗ᾒ한鞤ﰧ駺ﬨꆝ๣먫樛삅즢仈宏蒞鑩ꟸ㝷혛㧬洓喈뛒㑬�೶驧淆�뾰鳥�꫺⭿葦騻䁍懀亖⏦ꕸ㽷︄뫤怆憈䚃僇裱ࡑ"ꡫ)ꉡꅦ⽹똼�诣깶㭳읏풚㢹䪂淂�뺽胯ꨰଥ贴㸰卉⟽뽽홁髧쨔悆槙₮ħ꘬녱汝戀ꗱḲ精⦼赭밢奈ꚳᄶ쑍ꉻ⁢訩ष赫똻娄惥⡿ꬡ굺㴮圇뢵쨀즋䒛﮽৓腰ణ먧쒂視৔虒⬟꣡߼촤ⷸ剛懹ᥳݩᗬﺶ䲆鱌뗚呏᧹ﲎ낸䠟䟆哟覩䱌厃ꗨ㐹停র갩롌喏雉ﴏ鳹！똧塉讠걦ぷ䓗竊ꧮ⸻ᬟ쨚憙櫕웊⋡੪∦⁶訹ࡑ轾롹扟毅�躢륏摂ﯗӰ㭷犃⦳╳뱵婍ƥ☩ሹ쭖캃燍ⷧ븥⢵_{̨괫鰫洛ꮥ}갶㬺_丘�➭_㙜혟㮩敇瞅΅生㻨裸_蹧롘攒﷌ᶫ_彞ᾦ핌韣ﱎ駹ꇵู멯橚샏즐_仁宕薥鑠꟥㝪홞㦢洊喟랹㓨�ಹ驥涓�뾤鲮�ꪹ⬵葰驸䁋憁亀⋭ꕶ㵸︂몽怟憅䛔僓裱_࡯1ꡡ"ꍘꁩ⽷똠�诡긷㭲읕풖㦜䪑河�뺽胲ꩤ଺谍⽍匌➦鼯옂骭쨔情槆⣯Űꘇ뀘浏ꖲḾ禍⦴赭밢奈ꛠᄶ쑍ꋷ_訿ऺ赬띀_婎€⠱꭪괶㴆嘚_뢧쩓즜^䒓䀹ࢺ脵౳먦쓒視৔୒矺ⴣ^锦㹱ܢ因_ҹ岲猖_粬꿏㌂

䲑鰃뗟员ᦸﳋ냳䥴䞃和馲䱑勠ꗴ㐯偆স갢륩喛韨ﴇ鷥！뚯�误갶ぼ䒉窘覊⸮㩀쩕悊櫒웊⊻੤∩詰ण蹥밲我毊�蹱륫搒ﮂҧ㣛狌⦩◳뱣娕Lj☰ᩳ쭲캄燍ⶳ빦ﯺ⣩̩굯鰶ꮳ걮㭧丰�➵㜾홞㯭敏矋Ῠ甋㻠觡踢뤦敥﷈ᶦ弊ᾨ한韠ﰏ飳ꇻา멪橌샑즃付宄藪鑫ꟹ㙅혝㦥浃喔랪㒬�ತ鬑淗�뾣鲮�ꪵ⭜葴驵䀅旓予⏨ꕠ㵵︅믆慢懀䛄傘袾࡬5ꡥ"ꈸꅶ⽨똠�议긷ᬎ읢풓㣸䪂淄�뺩胥ꩾା费㼑协⟿齪홀髣쨌悆槙⣡ć꘰넠氁羚ꆣḷ穀⧺责뱇ꛚᄮ쐟ꋒ‧詿⭿贫뙿婞⃪Ⱐꭩ괶㵶噏뢊쨒䓚頋ࢽ셿ࡢ먡쒯視৔뉒䶓㥍ै㏒ꈋ㿫䝣௅Ʉ䧸ᔅ䲇鱚뗖呃ᦲﲈ냲䠐䟙咞馾䱂厝ꗹ㐣偍࢕걣륳喥韤ﴇ鷥＋뚠�该걻〸웆竂ꧭ⸵ᨼ쉕悖櫙욃⊵੤∪‵訿श蹡롵挴毕�軣뤼摕ﯜӾ㬸犅ࢆ╫밻婟Ǡ☴ቲ쬅캄熝ⷡ븵⢠̵괼鱪꫇갶㬻丞�⟦㝺협㯭敝矋ᾢ畂㻶觩蹧륲敆﷎ᶫ彍ᾱ퐪韨ﰋ駮ꇹ๲멮橜퇧즈亂安藉锏ꟳ㝴홞㧤洙喝랢㓾�ಿ驭淌�뾿鳴�ꫴ⩗葢騵䀅憓些秾⎱ꕧ㵴︚뫯怟炅䛀傇袿ࡸ3꡹pꉨꄹ⼲뙣�说깮㭱읍풐㢹䪟淛�뺧肮ꩤଠ轶⸭卂⚓齬홋髪쨚棅榙⢨ľ꘢녳氚歷ꖲḹ漢⧭走밿奈ꚳᅴ쐂ꊴ⁜訾ऺ赺뙶娍₵⡾ꬤ구㴢嘚붎쩅집䒘﫝ࢧ脤౳먰쓆視৔⽒䃯ؤ쇍뷻찍珕咹댴葶鏒䳔鱌뗔尊馩촌ﶩ냷䤍䟍咖馸䰃厉ꓕ㐫偛ফ갠뤳

喅韥�鶫＝뛮�说곥な쓍窘꧰⸸ᨴ쨔憧櫑워⊢੬❁Ⅹ訵ऺ蹫项戋殝�軥른摋ﮘӷ㩚犟⦾╱뱡婑ǿ☭ሽ쬅캘熏ⷰ븣魯⦽̴괨鱢ꯠ걦㬺不�➥㝶협㮩攝瞂ᾯ生㻨觡蹸뤼敘�ᷯ彄Ớ픏韱ﱎ駮ꆰั멸橛삋짐仍宎藮鐪ꟳ㝤혉㢎洂喞랥㗄�ಿ騨淌�뾣鳯�꫼⭰萧騨䁗憏亃⏴ꔷ㔲﹊몱恅懍䚎傚ࢵࡸpꡡēꈠꅦ⽨똭�诹깭㭳읇퓟㣶䪓河�뺯胩ꩱ୵贼㸯卟⟢鼯홊驢쨂悊槝⢤Ű꘹녲汁呂ꗷḴ爫⧻赴밪龜꛲ᅽ쐕ꋳ※詰ij豁똵娍₦⡴ꬮ괸㵫嘔뢿쩉즓䒗輸ࢣ耒ల먬쓍視ු歒ꆔ쾗_鑧활ࢹ鱉᭶ꊉ乤庱㷴䨃䶯鱍뗕吃᧹ﳚ날䩟䟭咞馩䱑勠ꓫ㐯偆স갢륩喐韹ﴃ鷪＆뚠塉讠걦な䓞窘⸥ᨴ쨛悄櫞웖킩抶੿∫⁧訩८踢롒扐毂�軧륲摛ﯙҧ㭶_犞⦩╳뱷婆Ǡ♣ሬ쭗캍熔ⶳ븰⢨̿괧鱥꾵갶㬥丘�➨㝿홞㮺瞇ῦ甌㻠袃踢륮敝ﷁ᷻彋ᾫ핝韾ﰄ颌ꇠภ멧橌샕즐仆官藬鐪꟱_㝷혐㦭洝喓랪㓯�ಹ驫_淓�뾥鲮�_ꫬ⭧葦鬤䁀憎些_⎱ꕹ㵺﹊뫰怊憍䛆傓袤䠡7꡿ŕꈢꅬ⼲똹�诲깶㩡흇퓟㣪䯩淘�뺹膙ꩠଠ贼㽏协⟹鼵혎骭쩕悤槓⢶ĩ꘹녳汒力_ꗨḣךּ⦴赭밪酪ꛡ_၄앞ꋺ⁼許ॴ_赭뙴婟₨⡰ꬬ굸㶮噋묏쩇즟䒓䀹ࢱ耬ప멨쓍視৔ቒ貘췵액샧豍ձ註擬ፑﱿ moment gnący zapisujemy: E/ρ*∫x₂²dA=M_g gdzie ∫x₂²dA=I₃ - moment bezwładności wzg. osi x₂ . Uwzględniając powyższe zależności można zapisać : 1/ρ=M_g/EI₃ σ_g=M_g/I₃*x₂ czyli σ_g(x₁)=M_g(x₁)/I₃*x₂

19. Naprężenia styczne przy zginaniu -wzory: Naprężenia styczne przy zginaniu można wyznaczyć rozpatrując przypadek zginania prostego z udziałem siły tnącej . Wyrażenia na moment gnący i siłę tnącą mają postać: ∫x₂σ_gdA=M_g(x₁) , ∫σ_TdA=T(x₁) . Aby wyznaczyć naprężenia styczne σ_T poniższego fragmentu belki: σ_Tb(x₂)dx₁=∫(σ_g+dσ_g)dA'-∫σ_gdA' wynika stąd ,że σ_Tb(x₂)=(dM_g(x₁)/dx₁)*[(∫x₂dA')/I₃] , gdzie dM_g(x₁)/dx₁=T(x₁) --siła tnąca , a S=∫x₂dA' -- moment styczny pola A' wzg osi x₃ . Uwzględniając powyższe zależności można zapisać: σ_T=(T(x₁)/I₃)*(S/b(x₂))

20.Linia ugięcia belki przy zginaniu—wzory: Kształt linii ugięcia belki przy zginaniu określają : lokalna krzywizna: χ_g(x₁)=1/ρ(x₁)=M_g(x₁)/EI₃ , ugięcie v(x₁) , oraz kąt zginania ψ(x₁) . Z geometrii różniczkowej dla małych ugięć belki , można zapisać zależności :ψ(x₁)=dv/dx₁ , 1/ρ(x₁)=(-d²v/dx₁²)/√[1+(dv/dx₁)²]³≈-(d²v/dx₁²) , a więc (d²v/dx₁²)=-(M_g(x₁)/EI₃) -- jest to równanie różniczkowe linii ugięcia belki rozwiązując je dla przypadku stałej sztywności na całej długości pręta , otrzymujemy : EI₃*(dv/dx₁)=EI₃ψ(x₁)=-∫M_g(x₁)dx₁+C , EI₃v(x₁)=-∫[∫M_g(x₁)dx₁]dx₁+Cx₁+D , stałe C i D obliczamy z warunków podporowych: dla x₁=0 ,v(x₁)=0, i dla x₁=l v(x₁)=0 , dla x₁=0 ,v(x₁)=0 , ψ(x₁)=0 .Do rozwiązania bardziej złożonych obciążeń belki stosuje się tzw. metodą Clebsha.

21. Zginanie prętów silnie zakrzywionych : Prętami silnie zakrzywionymi nazywamy pręty których stosunek największej wysokości przekroju h do promienia krzywizny geometrycznej R jest większy od 0,2.Rozpatrując warstwę obojętną tego pręta można zapisać : rdψ=r₁dψ₁ ,a rozważając warstwę rozciąganą odległą o x₂ od warstwy obojętnej dochodzimy do zależności : ε=[(r₁+x₂)dψ₁-(r+x₂)dψ]/[(r+x₂)dψ)] , po przekształceniu tych zależności i zastosowaniu prawa Hooke'a otrzymujemy: σ_g=E*[(r/r₁)-1]*[x₂/(r+x₂)] , ale aby określić promień krzywizny warstwy obojętnej r należy rozpatrzyć zależność : ∫σ_gdA=0 ,E*[(r/r₁)-1]*∫[x₂/(r+x₂)]*dA=0 ponieważ [(r/r₁)-1]≠0, bo r≠r₁ to ∫[x₂/(r+x₂)]*dA=0 po wprowadzeniu ρ=r+x₂ , ∫[(ρ-r)/r]dA=A-r*∫dA/ρ=0 , r=A/(∫dA/ρ) , M_g==∫x₂σ_gdA=E*[(r/r₁)-1]*∫[x₂²/(r+x₂)]dA , ∫[x₂²/(r+x₂)]dA =∫[(x₂²+rx₂-rx₂)/(r+x₂)]dA= ∫x₂dA-r*∫[x₂/(r+x₂)]dA 1-całka w wcześniejszym równaniu stanowi moment statyczny S , 2-jest równa 0 zatem : M_g=E*[(r/r₁)-1]*S , σ_g=(M_g/S)*[x₂/(r+x₂)]

22. Belka na sprężystym podłożu - wzory: Powyższy rysunek przedstawia belkę na sprężystym podłożu obciążoną siłą skupioną P i obciążeniem ciągłym q(x) , oddziałuje na nią także reakcja podłoża p(x) wzdłuż długości belki . jeżeli reakcja podłoża p jest liniową funkcją przemieszczenia belki v to podłoże posiada właściwości sprężyste : p=kv gdzie k -współczynnik sprężystości podłoża .w przypadku małych ugięć równanie różniczkowe linii ugięcia linii ugięcia belki wyznacza się następująco : d²v/dx₁²=M_g(x₁)/EI₃ => EI₃*d³v/dx₁³=dM_g/dx₁=T(x₁) , EI₃*d⁴v/dx₁⁴=dT/dx₁=q₁ gdzie q₁==q-p=q-kv - natężenie obciążenia belki siłami czynnymi. Po podstawieniu otrzymujemy:EI₃*d⁴v/dx₁⁴=q-kv czyli d⁴v/dx₁⁴+4β⁴v=q/EI₃ , gdzie β=⁴√[k/4EI₃] . Rozwiązując to równanie otrzymujemy : v=q/k+e^βx1*(Acosβx₁+Bsinβx₁)+e^-βx1*(Ccocβx₁+Dsinβx₁) . Stałe całkowania : A,B ,C, D wyznacza się z warunków brzegowych: ψ=dv/dx₁ , M_g(x₁)=-EI₃*(d²v/dx₁²) , T(x₁)=-EI₃*(d³v/dx₁³)

23. Wytrzymałość złożona prętów -zasady obliczeń: Wytrzymałość złożona jest to wytrzymałość na złożony stan obciążeń jednoczesne złożenie obciążeń zginania , rozciągania , skręcania , ścinania gdy w danym punkcie przekroju występują naprężenia normalne σ_n i styczne σ_t . Podczas obliczeń wyznacza się naprężenia zredukowane które wylicza się z hipotezy: -- Hubera : σ_zred=√[σ_n²+3σ_t²] , --Columba-Treski : σ_zred=√[σ_n²+4σ_t²] . Naprężenia te powinno wyznaczać się w punkcie , w którym wytężenie materiału jest największe . Naprężenia normalne pochodzące od momentu M_g i siły N można sumować algebraicznie : σ_n=σ+σ_g . Naprężenia styczne pochodzące od momentu M_t i i siły T sumujemy geometrycznie : σ_t=σ_s+σ_T

24.Wyboczenie prętów - definicja : Wyboczeniem nazywa się wygięcie pręta spowodowane osiągnięciem lub przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości krytycznej .Zjawisko wyboczenia związane jest z postaciami równowagi ciał odkształcalnych : z równowagą statyczną (trwałą) i niestateczną (chwiejną) . Postacią stateczną dla pręta ściskanego siłą P mniejszą od siły krytycznej P_kr jest pionowa postać równowagi , znaczy to że jeżeli pręt zostanie wygięty impulsem bocznym to to wróci do postaci pionowej z chwilą zaniku impulsu . Natomiast gdy siła P osiągnie wartość krytyczną P_kr pionowa postać pręta stanie się postacią równowagi niestatecznej i pręt pod wpływem małego impulsu prostopadłego do osi może przybrać nową postać równowagi o osi wygiętej .

25.Wzory Eulera na wyboczenie prętów smukłych : Wzór Eulera ma zastosowanie przy wyboczeniu sprężystym prętów . Aby wyprowadzić wzór należy rozpatrywać przypadek zamocowania obustronnie przegubowego pręta , ściskanego siłą osiową P . Jak widać w stanie równowagi w postaci wygiętej oprócz siły podłużnej w pręcie pojawia się moment gnący M_g(x₁)=Pv(x₁) . Wiedząc że równanie różniczkowe ugięcia osi wybaczonego pręta ma postać :d²v/dx₁²=-(M_g/EI) ,otrzymujemy : d²v/dx₁²=-k²v , gdzie k²=P/EI . Rozwiązaniem tego równania jest: v(x₁)=Asin(kx₁)+Bcos(kx₁) Stałe A iB wyznacza się z warunków brzegowych (dla x₁=0 v=0 , dla x₁=l v=0 ) , wynikają stąd następujące zależności : B=0 , Asin(kl)=0 , a więc gdy A=0 -prostoliniowa postać równowagi (v=0 dla każdego x₁ ) ,gdy zaś sin(kl)=0 -wygięta postać równowagi i stąd : kl=nπ => P=(n²π²EI)/l² . Siłą ta w istotny sposób zależy od zamocowania pręta i tak dla różnych sposobów zamocowania otrzymujemy ogólną postać wzoru Eulera : P_kr=(π²EI)/l_s²

26.Smukłość i smukłość graniczna: Znając wzór na siłę krytyczną : P_kr=π²EI/l_s² , możemy wyprowadzić wzór na naprężenie krytyczne: σ_kr=P_kr/A= π²EI/l_s²A , a wprowadzając pojęcie promienia bezwładności :i=√[I/A] oraz smukłości : λ=l_s/i , otrzymujemy : σ_kr=π²E/λ² , wiedząc że Wzór Eulera był wyprowadzony przy założeniu że odkształcenia zachodzą w granicy stosowalności prawa Hook'e ( naprężenia ściskające w pręcie są mniejsze od granicy proporcjonalności σ_kr≤R_H ) : π²E/λ²≤R_H , λ≥π*√[E/R_H]=λ_gr --smukłość graniczna . Wyboczenia zachodzące dla smukłości większych i równych smukłości granicznej nazywamy wyboczeniem sprężystym.

27.Wyboczenia niesprężyste , zakres stosowania i obliczenia : Wyboczenie niesprężyste jest to wyboczenie powodujące w pręcie odkształcenia trwałe ( po zdjęciu obciążenia pręt nie wraca do pozycji wyjściowej : .Zjawisko takiego wyboczenia zachodzi gdy smukłość pręta jest mniejsza od smukłości granicznej : λ<λ_gr .Do obliczeń takiego wyboczenia stosowane są następujące przybliżenia : --przybliżenie parabolą Johsona-Ostenfekta o równaniu : σ_kr=A-Bλ² , stałe A i B wyznacza się z warunku że parabola ta musi być styczna do hiperboli Eulera oraz że dla λ=0 naprężenia:σ_kr=R_e ,R_c -granica plastyczności materiału pręta , a więc: σ_kr=R_e*[1-(λ²/2λ₀²)] gdzie: λ₀= π*√[2E/R_e] -- pkt styczności . -przybliżenie prostą Tetmajera ( stosowane w obliczeniach modeli dokładnych ) o równaniu: σ_kr=a-bλ , stałe a i b wyznacza się z warunku że : dla λ=0 σ_kr=R_e ,dla λ=λ_gr σ_kr=R_H

28. Podstawowe przypadki wyboczenia prętów:

29.Zależność pomiędzy siłą wyboczeniową a smukłością pręta:

30.Ściskanie mimośrodkowe pręta: W warunkach rzeczywistych , idealne ściskanie współosiowe nie jest możliwe dlatego rozważa się ściskanie mimośrodkowe ( przesunięcie siły o pewną wartość e względem osi pręta ) . Z rys możemy zapisać zależność na moment zginający w dowolnym przekroju belki : M_g(x₁)=Pa+Pv , zaś równanie ugięcia belki przyjmuje postać : (d²v/dx₁²)+k²v+k²a=0 , gdzie : k²=P/EI , rozwiązując to równanie różniczkowe otrzymujemy : v(x₁)=Asin(kx₁)+Bcos(kx₁)-a . Stałe A i B wyznacza się z warunków brzegowych : dla: x₁=0 v=0 czyli B-a=0 => B=a , dla: x₁=l , v=0 czyli Asin(kl)+acos(kl)-a=0 , A=a*[(1-cos(kl))/sin(kl)] . Po podstawieniu stałych do równania ugięcia belki i przekształceniu otrzymujemy: v=a*{[cosk*((l/2)-x₁)]/cos(kl/2)—1}, k=√[P/EI]=(π/l)*√[(l²/π²)*(P/EI)]=(π/l)*√[P/P_kr] , v_max=a*{1/[cos((π/2)*√[p/p_kr])]-1}, M_{g max}=P*(a+v_max)=Pa/[cos((π/2)*√[P/P_kr])] , σ_max=P/A+ Pa/[W_gcos((π/2)*√[P/P_kr])]

---