1.Suma prac przygotowanych uogólnionych sił zewnętrznych jest równa sumie prac przygotowanych uogólnionych sił wewnętrznych f_iδg_i=∫(Nδ₁+M_sδ_χs+M₂δ_χ2+M₃δ_χ3+T₂δ_χ2+T₃δ_χ3)dx₁

2.Zastosowanie prac przygotowanych w układach prętów sprężystych : Układy prętowe liniowo-sprężyste spełniają następujące warunki: - materiał jest liniowo-sprężysty, czyli zależność odkształcenie naprężenie określona jest prawem Hooke'a, - przemieszczania są małe, - na ruchomych powierzchniach styku elementów układu pomija się siły tarcia. Dla tych układów przemieszczenia i odkształcenia przygotowane mogą być określone w funkcji uogólnionych sił wewnętrznych. Pręt obciążony kolejno układem sił Q i układem Q_k. Obciążeniom tym odpowiadają siły wewnętrzne: N, M_S, M₂, M₃, T₂, T₃ oraz: N', M_S', M', M₃', T₂', T₃'. Obciążenie Q_i przeprowadza pręt w położenie równowagi określone przemieszczeniami q_i. Odpowiadają im przemieszenia wewnętrzne: du=N/EA*dx₁,dψ=M₃/EI₃*dx₁ ,dφ=M_s/GI_s*dx₁ ,dv₂=T₂/α₂GA*dx₁ ,dψ₂=M₂/EI₂dx₁ ,dv₃=T₃/α₃GA*dx₁ , 1/α₂=A/I₃²*∫S₍₃₎²/b₃²*dA , 1/∫α₃=A/I₂²*∫S₍₂₎²/b₂²*dA . Zachodzą równości δq'_k=q_k , δq_i=g_i -wtedy zasada przyjmuje postać : Q_kq_k=∫(N'*N/EA+M_s'*M_s/GI_s+M₂'*M₂/EI₂+M₃'*M₃/EI₃+T₂'*T₂/α₂GA+T₃'*T₃/α₃GA )dx₁ . Q_iq_i = Q_kq_k, co jest zasadą wzajemności prac Bettiego.

3. Obliczanie przemieszczeń zginanych prętów statycznie wyznaczalnych: Zasada prac przygotowanych odniesiona do obciążenia jednostkowego przyjmuje postać: 1q_k=q_k=∫(n*N/EA+m_s*M_s/GI_s+m₂*M₂/EI₂+m₃*M₃/EI₃+t₂*T₂/α₂GA+t₃*T₃/α₃GA )dx₁ . Pomijając siły tnące q_k=q=∫m₃M₃/EI₃*dx₁ . Dla przypadku Ei₃-EI=const : m₃=m_q ,M₃=M_q q=1/Ei*∫m_qM_qdx₁ . . Jeżeli jedna z funkcji występujących pod całką jest funkcją liniową, to całkę tę (całka Mohra) można obliczyć sposobem geometrycznym, nazywanym sposobem Wereszczagina.: mg=ax₁+b , ∫m_gM_gdx₁=a∫M_gx₁dx₁+b∫M_gdx₁, ∫M_gdx₁=F_i ,∫M_gx₁dx₁=F_ix_1C , ∫m_gM_gdx₁=(ax_1C+b)F_i=η_iF_i . Jest to iloczyn pola F_i wyznaczonego funkcją M_g oraz granicą całkowania i rzędnej _i, będącej wartością momentu m_g, odpowiadającej współrzędnej środka ciężkości pola F_i. Iloczyn dodatni, gdy wykresy leżą po tej samej stronie osi pręta, ujemny - gdy po przeciwnych. q-1/EI*∑η_iF_i

4. Obliczanie reakcji statycznie niewyznaczalnych: Układami statycznie niewyznaczalnymi nazywa się układy, w których liczba reakcji więzów jest większa od liczby statycznych równań równowagi. Układy takie zamienia się w dowolny sposób na układy statycznie wyznaczalne, usuwając odpowiednią liczbę więzów i zastępując ich reakcje chwilowo nieznanymi siłami - reakcjami hiperstatycznymi. Siły te znajdujemy z warunku odpowiadającym im przemieszczeń równych zero. Prowadzi to do układu równań, zwanych równaniami ciągłości przemieszczeń lub kanonicznymi Maxwella - Mohra: α₁₁X₁+α₁₂X₂+α₁₀=0 , α₂₁X₁+α₂₂X₂+α₂₀=0 ,ogólnie ∑α_ijX_j+α_i0=0 i,j=1,2....,n , Ogólnie :α₁₀=∫M_g⁽⁰⁾m_g⁽ⁱ⁾/EI₃ dx₁ , α_ij=∫M_g⁽ⁱ⁾m_g^(j)/EI₃dx₁

5.Obliczanie przemieszczeń układów statycznie niewyznaczalnych : Układ jest jednokrotnie niewyznaczalny. Układ przekształcamy w układ statycznie wyznaczalny i po rozdzieleniu obciążenia na stan „0” i „1” można przemieszczenie V_c potraktować jako sumę przemieszczeń wywołanych stanami „0” i „1” czyli V_c=V_c⁽⁰⁾+V_c⁽¹⁾X₁ W celu obliczenia składowych V_c⁽⁰⁾ i V_c⁽¹⁾ należy statycznie wyznaczalny układ obciążyć dodatkową siłą jednostkową (stan „f”), przyłożoną w punkcie C zgodnie z kierunkiem poszukiwanego przemieszczenia. Stąd V_c⁽⁰⁾=∫M_g⁰m_g^f/EI₃*dx₁ V_c⁽¹⁾=∫Mg⁽¹⁾m_g^f/EI₃*dx₁ .Ogólnie V_c=V_c⁰+∑vⁱX_i (i=1,2,3,...,n)

6.Twierdzenie Castigliano i zasada Menabre'a: Obok zasady prac przygotowanych w analizie układów liniowo-sprężystych jest stosowana zasada zachowania energii. Według niej praca L uogólnionych sił zewnętrznych Q_i na odpowiadających im przemieszczeniach uogólnionych q_i jest równa energii wewnętrznej. U odkształcenia sprężystego: U = L = ½ Q_iq_i - fakt liniowego narastania obciążeń od wartości zerowych do końcowych. Dla układów liniowo sprężystych Clapeyrona q_i=α_ijQ_j (i,j=1,2...,n) U=¹/₂*α_ijQ_iQ_j U=¹/₂*∫(Ndu+M_sdφ+M₂dψ₂+M₃dψ₃+T₂dv₂+T₃dv₃)dx₁ U=¹/₂*∫N²/EA+M_s ²/GI_s+M₂ ²/EI₂+M₃²/EI₃+T₂ ²/α₂GA+T₃ ²/α₃GA)dx₁ ∂U/∂Q_k=∂/∂Q_k*¹/₂*(α_ijQ_iQ_j)=¹/₂*(α_kjQ_j+α_ikQ_i)=q_k Tw. Castigliano: Pochodna cząstkowa sprężystej energii wewnętrznej całego układu względem jednej z niezależnych sił uogólnionych jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile. ∂U/∂Q_i=q_i U=f(Q_i,X_n) Ponieważ w punktach działania reakcji hiperstatycznych przemieszczenia im odpowiadające są równe zero, to zgodnie z tw. Castigliano co jest Zasadą Menabrei: pochodna cząstkowa energii wewnętrznej całego układu względem reakcji hiperstatycznych wynosi 0. Twierdzenie Castigliano oraz zasada Menabrei odnoszą się wyłącznie do układów liniowo-sprężystych

7.Rodzaje zagadnień kinetostatycznych: Do zagadnień tych należą przypadki powstawania stałych sił dynamicznych pod wpływem ruchu układu. Po ich uwzględnieniu, zgodnie z zasadą d'Alamberta dalej zagadnienie traktujemy jako statyczne. Jeżeli spodziewane przemieszczenia są małe w stosunku do wymiarów, to nie uwzględnia się ich wpływu na wartość przyspieszeń. W analizie kinematycznej współrzędne punktów przyjmuje się w układzie nie odkształconym. Przykładem zagadnienia może być Łopata wentylatora lub turbiny, zaprojektowana tak, aby naprężenia w każdym jej punkcie były jednakowe. Mówi się o konstrukcji o stałej wytrzymałości. Należy ustalić niezbędną zmianę przekroju łopaty, aby warunek stałej wytrzymałości został spełniony K_r=(A+dA)+S-k_rA=0 S=Aγdx/g*ω²x dA/A=-γ/gk_r*ω²xdx A=A₀exp*[γ/2gk_r*ω²*(L²-x²)]

8.Przykład obrotów krytycznych wału: Przykładem zastosowania metody kinetostatycznej jest ustalenie obrotów krytycznych wirującego wału z osadzonym na nim ciężarze Q. Można przyjąć, że ciężar osadzony jest na wale z pewnym mimośrodem c W skutek obrotów wał doznaje ugięciu f. Zakładamy że: S = kf; k - stała sprężystości układu równa sile potrzebnej do statycznego ugięcia wału o jednostkę długości 2 zasady prac przygotowanych f = S ;  - przemieszczenie wywołane jednostkowym obciążeniem (współczynnik opływu albo podatności układu). k = 1/.

. S=kf f=Sα k=1/α S=Q/g*ω²*(f+e) f=ω²e/[kg/Q-ω²] kg-ω²=0 ω_kr=√[kg/Q] f=e/[(ω_kr/ω)²-1]

9.Założenia i omówienie zagadnienia uderzenia: Ścisłe rozwiązanie zagadnienia uderzenia jest dość skomplikowane i zależy od właściwości fizycznych rozważanych ciał. Stosuje się rozwiązania przybliżone. Założenia: - określa się wielkości maksymalne siły i naprężenia powstałe w procesie uderzenia, a nie ich przebieg w czasie, - w układzie nie ma tłumienia, stąd obliczone wielkości są większe niż rzeczywiste, co zwiększa bezpieczeństwo, - w czasie uderzenia zderzające się masy pozostają ze sobą w kontakcie, - dement uderzony odkształca się dynamicznie w podobny sposób jak przy obciążeniu statycznym.

Elementem uderzającym jest ciężar Q, elementem uderzanym jest układ liniowo-sprężysty (belka o długości L i ciężarze jednostkowym q). o charakterystyce Q = ku; k- stała sprężystości układu. Zakładamy u(x₁t) = u g(x) - ugięcia; v₁(x₁t) = v₁ q(x) - prędkości; q(x) - funkcja uwzględniająca fakt zmniejszania się prędkości punktów ciała uderzonego w miarę zbliżania się do nieprzesównych punktów podparcia. u,v₁ - przemieszczenie i prędkość w punkcie uderzenia.. Wyrównanie prędkości ciała uderzającego i uderzanego od v do v₁. Spełniona zasada zachowania pędu: Q=ku Q_V=Q_V1+QLv₁*∫g(x)*dx/L v₁=v/[1+β*qL/Q] β=1/L*∫g(x)dx E_k=¹/₂*Q/q*v₁²+¹/₂*qL/q*v₁²*∫g²(x) dx*1/L = ^½*Q/q*v₁²*(1+α*qL/Q) α=1/L*∫g²(x)dx E_k=¹/₂*Q/q*v²*[(1+α*qL/Q)/(1+ β*qL/q)²]

10.Uderzenie poziomego: Energia kinetyczna zamienia się na energię potencjalną odkształcenia sprężystego U_s. P_d - maksymalna siła dynamiczna powstała w procesie uderzenia; t_d - maksymalne przemieszczenie punktu uderzenia układuSiła dynamiczna P_d = k t_d. Układ pracuje jakby był obciążony siłą statyczną P_d. Gdy masa uderzonego ciała jest pomijalnie mała (w stosunku do ciężaru Q) f - statyczne ugięcie układu pod działaniem siły Q w punkcie uderzenia. U_s=¹/₂*P_df_d=¹/₂*kf_u² E_k=U_s f_d=[v/(1+ β*qL/Q)]*√[Q/kg*(1+α*qL/Q)] P_d=kf_d f_d=v*√[Q/kg]=v√[f/g]

11.Uderzenia pionowego: W tym przypadku należy w bilansie energii uwzględnić pracę L ciężaru Q na drodze f_d, gdzie L = Q f_d E_k + L =U_s . Przyjmujemy, że spadek ciężaru następuje z wysokości h, jego prędkość w momencie uderzenia wynosi V = 2gh. W praktyce jedna ugięcie jest pomijalnie małe w porównaniu do wysokości spadku L=Qf_u E_k+L=U_s v-√[2gh] f_d²-2f_uf-2fh*[(1+α*qL/Q)/(1+ β*qL/Q)²]=0 f_d=f{1+√[1+2h/f+(1+α*qL/Q)/(1+ β*qL/Q)² f_d={√[2fh*(1+α*qL/Q)]}/ (1+β*qL/Q)

12.Zjawisko kruchego pękania i jego typy: Najbardziej niebezpieczne jest kruche pękanie. Powstaje ono nagle i rozwija się z prędkością zbliżoną do prędkości dźwięku, właściwą dla danego materiału w zakresie umownie sprężystym, a więc bez makroskopowych odkształceń plastycznych w kierunku normalnym do największych wydłużeń materiału polikrystalicznego. Zachodzi wzdłuż tzw. płaszczyzn łupliwości ziarna, tworząc przełom transkrystaliczny lub po granicach ziarn - tworząc przełom międzykrystaliczny. U podstaw mechaniki pękania leży praca Griffitha, który przyjął założenia: - materiał zawiera pewną liczbę szczelin, których istnienie nie wpływa na wytrzymałość na ściskanie (gdy szczeliny się zaciskają), lecz daje znać o sobie przy rozciąganiu, gdy szczeliny się otwierają, - energia nagromadzona w materiale składa się z części spowodowanej istniejącymi naprężeniami oraz części zależnej jedynie od powierzchni badanego ciała, zwanej energią powierzchniową. Griffith przyjął, że szczelina może być opisana zdegenerowaną elipsą o krótszej osi b  0 oraz dłuższej 2a wartość naprężenia δ_ w punkcie ( a, 0) б₂₂=б(1+2*√[a/ς] W rozciąganej elipsie na jej końcach naprężenia będą bardzo duże. Istnieją więc warunki do powiększania się szczeliny. Mogą istnieć trzy różne rodzaje pęknięć, ponumerowane Istnieją krytyczne współczynniki intensywności naprężenia dla tych rodzajów pękania powiązane zależnościami : K_y  K u'=u b'=2a*[(1-v²)/E]*б K_11C=K_IC K_111C=K_IC/(4*√[1-v]) б_ik^y=K_j/√[2πr]*f_ik(θ) y=(I,II,III)

13.Współczynnika intensywności naprężenia i i podstawowe zależności: Praca potrzebna do otworzenia degenerowanej elipsy Energia powierzchniowa, którą należy pokonać przy kształtowaniu szczeliny o długości 2a U_p = 4 γ a Jeśli połowa długości szczeliny wzrośnie o da to wyzwoli się energia d ( U_s) = dW = 2a (1 - r²) δ²/E da oraz zwiększy energię powierzchniową d U_p = 4 γ da .

Jeśli d ( U_s) > dU_p - szczelina rozszerza się; d ( U_s) < dU_p - szczelina nie rozwiera się dalej.n 2 równości d( U_s) = dU_p można otrzymać Wprowadźmy pojęcie współczynnika intensywności naprężenia K_I = δa Jego wartość krytyczna Wielkość K_Ic jest nową stałą materiałową (odporność lub wytrzymałość na pękanie), którą wyznaczamy doświadczalnie. Warunek zabezpieczenia przed kruchym pękaniem K_I = δa  K_Ic. Jest to kolejny, niezależny od innych, warunek wytrzymałościowy. Warunek można traktować dwojako; przy znanej długości szczeliny 2a można określić naprężenia pękania R_p (δ_kr) lub przy danym naprężeniu δ znaleźć krytyczny wymiar szczeliny W=2*¹/₂*∫бf(x)dx=¹/₂бA A=πab' W=πa²*(1-v²)*б²/E U_p=4aγ d(∆U_s)=dW=2πa*(1-v²)*б²/E*da d(∆U_s)>dU_p d(∆U_s)<dU_p d(∆U_s)=dU_p

14.Zjawiska zmęczenia: Obciążeniom zmiennym w czasie towarzyszy obniżenie nośności elementów i konstrukcji w stosunku do nośności przy obciążeniach stałych. Całokształt zjawisk związanych ze znacznym spadkiem wytrzymałości materiału na obciążenie zmienne nazywa się zmęczeniem materiału. Na podstawie badań stwierdzono: - wpływ częstości zmian obciążenia w zakresie stosowanym w technice jest pomijalny przy określaniu wytrzymałości zmęczeniowej, - kształt impulsu zmiany obciążenia ma mały wpływ na wytrzymałość zmęczeniową, - wytrzymałość zmęczeniowa maleje wraz ze wzrostem zarówno wartości średniej jak i amplitudy obciążenia, - wytrzymałość zmęczeniowa jest silnie zależna od stanu powierzchni badanego elementu, jego wielkości, kształtu, - trwała wytrzymałości występuje jedynie, jeśli nie dopuści się do wystąpienia uplastycznienia materiału. Dla opisów ilościowych wprowadzono dwie zmienne: naprężenia średnie δ_m i naprężenia amplitudowe δ_a gdzie: δ_m = ½ (δ_max + δ_min) δ_a = ½ (δ_max - δ_min). δ_max i δ_min - charakterystyczne naprężenia dla rozważanego przypadku obciążenia. Naprężenia zmieniają się zgodnie z zależnością б=б_m+б_a*sinωt ω - częstotliwość zmian obciążenia.

15.Wykres Wöhlera: Wytrzymałość R = δ_max spada wraz ze wzrostem liczby cykli N zmian naprężenia (obciążenia), żeby się ustalić na poziomie tak zwanej wytrzymałości trwałej R_, oznaczonej również jako Z_(x) z dodatkowym wskaźnikiem w celu odróżnienia np. rozciągania od skręcania. Dla skali wytrzymałości stała występuje przy ok. 10⁴ cykli. Krzywa Wöhlera może być aproksymowana w układzie jednologarytmicznym przez dwie proste

16.Wykresu Haigha: Wykres Haigha jest miejscem geometrycznym trwałej wytrzymałości zmęczonej Z_ dla wszystkich możliwych cykli danego przypadku obciążenia (charakteryzujący się różnymi wartościami współczynnika asymetrii x). Teoretycznie jest to krzywa monotoniczna, apoksymowa w praktyce dwiema prostymi. Punkt A na osi δ_a określa na obu wykresach granicę zmęczenia przy obciążeniach wahadłowych. Punkt B na osi δ_m na wykresie teoretycznym wyznacza w przybliżeniu wytrzymałość przy obciążeniu statycznym np. R_m dla rozciągania. W praktyce stosuje się niższy wskaźnik R_e - punkt B'. Również naprężenia amplitudalne nie mogą przekroczyć naprężeń R_e, stąd ograniczenie prostą δ_a = R_e (1 - δ_m/R_e). Drugą prostą apoksymującą krzywą teoretyczną rysuje się przyjmując, że przechodzi ona przez punkt A(δ_a = Z_(-1)) oraz punkt C, w którym δ_a = δ_m = Z_d/2. Z₍₀₎ - granica zmęczenia przy obciążeniach jednostkowych zmiennych np. Z_rj, Z_gij, Z_sj. Jest to prosta o równaniu δ_a = Z_(-1) - [2 Z_(-1) - Z₍₀₎ / Z₍₀₎] δ_m. Obie proste ograniczają obszar, który możemy uważać za bezpieczny dla trwałej wytrzymałości zmęczeniowej. б_a=Z_(-1)-[(2Z_(-1)-Z₍₀₎)/Z₍₀₎]*б_m

17.Obliczanie przy pomocy wykresu Haigha ograniczonej i nieograniczonej wytrzymałośći zmęczeniowej: Wytrzymałość trwała. Na wykresie Haigha rysujemy prostą δ_a=φδ_m=tgφδ_m celu określenia δ_{a dop.} lub δ_{m dop.} w zależności od współczynnika dynamiczności obciążenia ψ=б_a/б_m=P_a/P_m=tgφ P_a, P_m - charakterystyczne dla danego przypadku obciążenia amplitudalne i średnie. Punkt pracy P przy danym cyklu obciążenia powinien znajdować się na prostej OD., a odcinek PQ jest miarą współczynnika bezpieczeństwa. Do obliczeń wstępnych przyjmuje się pewną wartość współczynnika , który dla silnie obciążonych urządzeń waha się w granicach 1,45  1,85. Wielkość elementu i jego stan powierzchni powodują na ogół obniżenie trwałej wytrzymałości zmęczeniowej. Z tego względu stosujemy pewną wielkość k_(H) odniesioną do trwałej wytrzymałości Z_(H): k_(H) = Z_(H)/x_z k_(H) - dop. nap. zmęczen. x_z - współ. bezp Wykres Heigha powinien być zbudowany z uwzględnieniem k_(H), a punkt pracy P powinien znajdować się w obszarze bezpiecznym. Wytrzymałość ograniczona. Do obliczeń posługujemy się wykresem Wöhlera w skali jednologarytmicznej i zmodyfikowanym wykresem Haigha. Proste tworzące zmodyfikowany wykres Haigha są równoległe do prostej wyznaczającej wytrzymałość trwałą. Dalsze obliczenia prowadzi się jak dla wytrzymałości trwałej.

б_a=ψб_m=tgφб_m

18.Wytężenie przy występowaniu zmęczenia: Wytężenie przy zmęczeniu jest opisywane tymi samymi hipotezami co i przy obciążeniu stałym z pewnymi jednak modyfikacjami. W przypadku stanów dwuwymiarowych naprężeń panujących na swobodnych powierzchniach, (tam gdzie zaczyna się pęknięcie zmęczeniowe), jeżeli δ₁ = δ_m + δ_1a sin wt δ₂ = δ_2m + δ_2a sin wt to kryterium trwałej wytrzymałości zmęczeniowej Z_-1, Z₀ - trwała wytrzymałość zmęczeniowa dla rozciągania - ściskania i jednostronnego rozciągania. Ograniczenia: Ze względu, że wyrażenie pod pierwiastkiem i w nawiasie okrągłym we wzorze (x) są niezmiennikami tensora naprężeń, składowe główne mogą być zastąpione składowymi dowolnymi. б₁=б_1m+б_1a*sinωt б₂=б_2m+б_2a*sinωt √[б_1a²-б_1aб_2a+б_2a²]+X(б_1m+б_2m)≤ Z_(-1)(x) x=[Z* (Z_(-1)/Z₍₀₎)]-1 √[б_1m²-б_1mб_2m+б_2m²] ≤R_e

19.Zjawiska reologiczne na przykładach: Reologia jest to nauka o odkształcaniu się materiałów rzeczywistych z uwzględnieniem w równaniach konstytutywnych czasu. Aby opisać zjawiska czasowe, wprowadzono pojęcia pełzania materiału i zdefiniowano jako efekt wzrostu odkształceń w czasie przy niezmiennym obciążeniu przyłożonych w chwili początkowej z zerową prędkością, w całej swej skończonej wielkości. Wprowadzono również pojęcie relaksacji - proces zaniku naprężeń - w czasie trwania stałego odkształcenia - przyłożonych w chwili początkowej, w całej swej skończonej wielkości z zerową prędkością. Tensor odkształcenia opisuje geometrią zmiany kształtu, a tensor naprężenia przedstawia analizę równowagi statycznej elementu materiału. W obu przypadkach nie należy oczekiwać zmian przy badaniu różnych materiałów i oba tensory obowiązują dla każdego pomyślnego materiału. Powstaje możliwość zmian w związkach fizycznych: s = 2G(e) δ = B() gdzie s, e, δ,  oznaczają część dewiatoryczną i kulistą odpowiednio tensora naprężenia i odkształcenia. Wielkości G i B są pewnymi funkcjami tensorowymi, nie znanymi dotychczas, które trzeba wyznaczyć wykorzystując pewne założenia i obserwacje doświadczalne. Przy badaniu nowych, nie znanych zjawisk istnieje pewna rutyna postępowania zwana modelowaniem. Na podstawie znajomości wyników doświadczeń buduje się tzw. model fizyczny, o możliwie najmniejszym skomplikowaniu. W rozważanym przypadku sprowadza się do stwierdzenia - istnieją związki między tensorem naprężenia i odkształcenia, - związki te są liniowe. Próżnia: materiał, w którym s = 0, δ = 0, a w związku z tym e i  są nieokreślone. Ciało sztywne: ciało, w którym e = 0,  = 0 to (ewentualne) s i δ mogą istnieć, ale tylko dlatego, że muszą być spełnione równania równowagi. Ciało takie jest podstawowym modelem mechaniki, jest również stosowane w wytrzymałości materiału. Gaz idealny: s = 0 ; δ = B ; gaz doskonały lub gaz Maxwella. Ciecz lepka: s = 2e ;  = 0 to idealna ciecz lepka (ciecz Newtona). e - pochodna czasowa,  - współczynnik lepkości. Pewne uogólnienie cieczy Newtona jest ciecz Pascala s = 2e , δ = Be , wykazująca nie tylko zjawisko lepkości, ale także idealną sprężystość objętościową przy braku sprężystości postaciowej (stosowana w aerodynamice). Ciało sprężyste: Ciało wykazujące sprężystość postaciową i objętościową s = 2Ge , δ = B. Graficznym obrazem takiego modelu jest sprężyna, której przypisuje się stałe B lub G (czasem E).Modelem cieczy Newtona (ciecz lepka) jest schemat tłumika hydraulicznego, któremu przypisuje się współczynnik lepkości postaciowej  lub objętościowej x Tworząc kombinację obu modeli, oddzielnie dla części dewiatorycznej i kulistej, można zbudować wiele modeli mechanicznych, tzw. ciał lepkosprężystych. Model cieczy Maxwella, która charakteryzuje się sprężystością postaciową i nieograniczony płynięciem pod obciążeniem. Ciecz ta wykazuje zjawisko relaksacji, ale nie wykazuje zjawiska pełzania. Ciało stałe Kelvina nie wykazuje nieograniczonego płynięcia, ale tylko pełzanie.

20.Ciała Boltzmanna: Model fizyczny opiera się na następujących założeniach: - odkształcenie ciała składa się z dwóch addytywnych członów (zasada superpozycji) z których jeden jest sprężysty a drugi (niesprężysty) zależny od czasu, - odkształcenie zależne od czasu narasta przez cały czas działania obciążenia, a jego przyrost elementarny jest proporcjonalny do przyrostu czasu, - związki między tensorami naprężenia i odkształcenia są liniowe. Związki między dewiatorami e i s przy założeniu, że identyczne co do budowy związki tworzą części kuliste obu tensorów e = e(t) = e^s + e^t e^s = 1/2G s wskaźniki s, t oznaczają odpowiednio zależności sprężyste i czasowe. W chwili  , w czasie delta  , działa dewiator naprężenia s(). Wywoła on odkształcenie, które w materiale nie ustali się, natomiast w wyniku cech lepkosprężystych materiału będzie się zmieniało proporcjonalnie do funkcji czasu L(t - ). Dla t >  przyrost odkształcenia wyniesie G^t - czasowy moduł materiałowy. Ciągłe działanie naprężeń w chwilach _i - metoda superpozycji: w = G/G^t i przechodząc do granicy Ostatecznie: Przyjmując e=e(t)=e^s+e^t e^s=1/2G*s ∆e^t=1/2G^t*s(τ)*L*(t-τ)∆τ e^t=1/2G*ω*∑L*(t-τ)*s(τ)*∆τ ω=G/G^t e^t=1/2G*ω*∑L*(t-τ)*s(τ)*dτ e(t)=1/2G*[s(t)+ω*∫L*(t-τ)*s(τ)*dτ] L*(t-τ)=α^-α*(t-τ) e(t)=1/2G*[s(t)+ω*∫s(τ)αe^-α(t-τ)*dτ] α=G/η

21.Przekształcenia Laplace'a w lepkosprężystości: s(t) = s₀ = const e(t) = s₀/2G [1 + w(1 - e^{- t})] - co przedstawia wykres. Funkcjonał w(1 - e^{- t}) nosi nazwę funkcji pełzania. Dla s(t) = s₀ i e(t) = e₀ - utrzymane na stałym poziomie. Stosując przekształcenie Laplace'a i twierdzenie Borel p - parametr przekształcenia, kreseczka nad wyrażeniem oznacza transformatę. Po przekształceniu Po dokonaniu transformacji odwrotnej .Uogólniając e = 1/2G [1 + wL(p)] s - dla dowolnej funkcji historii obciążenia L(t). Wprowadzając oznaczenie 1/G(p) = 1/G [1 + wL(p)]. Zapisujemy e = 1/2G(p) s. Transformaty Laplace'a związków fizycznych lepkosprężystości są identyczne w budowie ze związkami fizycznymi liniowej sprężystości (analogia sprężysto - lepkosprężysta, która pozwala na rozwiązywanie wielu zadań lepkosprężystych metodami sprężystymi). s(t)=s₀=const e(t)=s₀/2G*[1+ω*(1-e^-αt)] ω*(1-e^-αt) s(t)=s₀ e(t)=e₀ e*1/2G*[1+ω*α/(α+p)]*s s=2G*[1-ω/(1+ω)* β/( β+p)]*e β=(1+ω)*α s(t)=2G*[e(t)-ω/(1+ω)*∫e(τ) βe ^-β*(t-τ)*dτ] e=1/2G*[1+ωL(p)] e=1/2G(p)*s

22.Zastosowanie modułów i podatności zespolonych: Obciążenie dane w postaci zależności s(t) = s₀ e^ipt s₀ - tensor amplitudy, p - częstość obciążenia. e(t) = s₀/2G (1 + w/+ip) e^ipt - s₀/2G w/+ip e^{- t}. Po krótkim czasie od chwili przyłożenia obciążenia część nieokresowa znika e(t) = s₀/2G (1 + w/+ip) e^ipt. Po przekształceniu Przekształcając kąt δ - kąt opóźnienia fazowego lub strat mechanicznych s(t)=s₀*e^ipt e(t)=s₀/2G*[1+ωα/(α+ip)]*e^ipt -s₀/2G ωα/(α+ip) e^-αt e(t)=s₀/2G [1+ωα/(α+ip)]e^ipt s(t)/e(t)=2G/[1+ωα/(α+ip)]=2G_x G_x=G₀e^iδ G₀=G*√[α4p²/((1+ω)²α²+p²)] tgб=αωp/((1+ω)α²+p²) e(t)=1/2G^x s₀e^ipt =s₀/1G₀*e^i*(pt-б)

23.Zjawiska zależne od czasu i temperatury w metalach: Temperatura homologiczna - stosunek temperatury aktualnej do temperatury topnienia. Gdy stosunek ten jest mniejszy od 1/3 , zjawiska czasowe są niezauważalne. W odniesieniu do pełzania zjawisko to zostanie przedstawione dla przypadku rozciągania naprężeniem δ₀, utrzymanym na stałym poziomie przy określonej temperaturze T. Rozróżnia się trzy charakterystyczne okresy pełzania. I - nieustalone pełzanie początkowej przy malejącej prędkości odkształcenia , II - pełzanie quasi - ustalone przy  = const, III - okres spontanicznego wzrostu odkształcenia (kumulowanie się defektów, osłabienie struktury), zakończony zerwaniem próbki. Można zapisać: (t) = _s + _p(t) _s = δ₀/E - część sprężysta e_p(t) - „pełzająca” część odkształcenia. Często przyjmujemy formułę _p(t) = aδ₀^m tⁿ gdzie a, m, n, wyznaczamy doświadczalnie. Dla pełzania ustalonego n = 1. Zjawisko relaksacji w metalach może być opisany zależnością δ(t) = C e^{- t}. Współczynnik [s^-1] określamy doświadczalnie związany jest z tzw. czasem relaksacji _r - zależnym od właściwości fizycznych i struktury metalu, temperatury itp.  = 1/_r. Stała C wynika z warunków początkowych: dla t = 0  δ = δ₀ = E ₀. ε (t)=ε_s+ε_p(t) ε_s=б₀/E ε_p(t)=aб₀^m*tⁿ б(t)=Ce^-αt α=1/τ_r б(t)=б₀e^-αt б=б₀=Eε₀ dб/dt=-б₀*α*e^-αt (dб/dt)₀=-б₀*α=tgβ τ_r=б₀*ctgβ₀ - wstępnie zadane i utrzymane na stałym poziomie odkształcenie δ(t) = δ₀ e^{- t}.

24.Wzory dotyczące rur grubościennych: Wzory Lame'go na naprężenie obwodowe δ₂ i promieniowe δ₁ dla pierścienia o średnicy wewnętrznej 2r_w i zewnętrznej 2r₂ przy ciśnieniu wewnętrznym p_w i zewnętrznym p₂, w dowolnym punkcie pierścienia odległym od jego środka o r, mają postać Odpowiednia zmiana długości promienia r: б₁=p_w*{[r_w² (r²-r₂²)]/[(r₂²-r_w²)*r²]}-p₂*{[r₂²*(r²-r_w²)]/[(r₂²-r_w²)*r²]} б₂=p_w*{[r_w² (r²+r₂²)]/[(r₂²-r_w²)*r²]}-p₂*{[r₂²*(r²+r_w²)]/[(r₂²-r_w²)*r²]} r_w ≤ r ≤r₂ u=∆r=1/[E(r₂²-r_w²)]*[(1-v)*(r_w²p_w-r₂²p₂)*r +(1+v)*(p_w-p₂)*r₂²r_w²/R] ,б₁+б₂=2*(r_w²p_w-r₂²p₂)/(r₂²-r_q²)=const ε₃=-v/E*(б₁+б₂)=const

---