Belka 1

1. Określić stopień statycznej niewyznaczalności płaskiej belki ciągłej jak na rysunku.

2. Wyznaczyć siły reakcji podparć i połączeń przegubowych w belce. Dokonać sprawdzenia otrzymanych wyników.

3. Wykorzystując zasadę prac wirtualnych wyznaczyć składowe reakcji w podporze ................

4. Podać analityczne funkcje oraz sporządzić wykresy sił normalnych, sił poprzecznych i momentów zginających w belce.

5. Dla przekroju o podanym na rysunku kształcie wyznaczyć wartości:
   - momentów statycznych i położenie środka ciężkości
   - momentów bezwładności J_x1, J_x2 oraz momentu odśrodkowego J_x1x2 względem założonego układu współrzędnych i względem osi centralnych

6. Wykorzystując graficzną metodę koła Mohra podać interpretację graficzną stanu naprężenia w skrajnym włóknie rozciąganym oraz w osi obojętnej przekroju

7. Uwzględniając naprężenia normalne od zginania i rozciągania/ściskania znaleźć przekrój najbardziej wytężony. Sporządzić wykresy naprężeń normalnych i stycznych w tym przekroju oraz dobrać jego wymiary zakładając, że ma on być wykonany ze stali.

Dane: q = 3 ^kN/_m sinα = ½

l = 2m cosα = ^√3/₂

X₁

X₂

9ql 3ql²

q α q

D A E B C

H_A

V_A V_B V_C

2l 2l l 2l

a) stopień statycznej niewyznaczalności

S =LNS - LRR = r - ( 3 +p ) = 6 - 6 = 0

LNS - liczba niewiadomych statycznych

( r - liczba składowych reakcji zewnętrznych)

LRR - liczba możliwych do ułożenia liniowo niezależnych równań równowagi
(3 równania równowagi(globalnie + p - liczba przegubów jednokrotnych)

a) wyznaczenie reakcji zewnętrznych

∑M_E^L = V_A۰2l - ½ ۰2l۰q۰( ⅓ ۰2l + 2l) = 0 V_A = ⁴/₃ql = 8

∑M_E^P = V_B ۰ l + 3ql² + V_C ۰3l = 0 V_B + 3ql + 3V_C = 0 *

∑X₂ = ½ q · 2l - V_A - V_B - V_C + 9qlsinα= 0

-V_B - V_C + 4¹/₆ ql = 0

* V_B + 3V_C + 3 ql = 0

2V_C + 7¹/₆ ql = 0 V_C = ⁴³/₁₂ ql = 21¹/₂

* V_B = -3ql - 3V_C = 7³/₄ ql = 31¹/₂

∑X₁ = H_A + q۰ 3l + 9qlcosα = 0 H_A = 9,345 ql = 56,07

Sprawdzenie dla całej belki:

∑X₂ = ½ q ۰ 2l - ⁴/₃ql - ½۰ 9ql - 7³/₄ ql + ⁴³/₁₂ ql = 9¹/₁₂ ql - 9¹/₁₂ ql = 0

∑M_A=

b) wyznaczenie reakcji wewnętrznych

I

q' q ^√3/₂ 9ql ⁹/₂ql

H_E

V_E

9,345ql

⁴/₃ql

V_E

q 3ql² II

H_E

7³/₄ql

3⁷/₁₂ ql

I ∑X₁ = -9,345ql + H_E + ^√3/₂ ۰9ql = 0 H_E = 3ql = 18

∑X₂ = -V_E + ⁹/₂ ql - ⁴/₃ ql + ½ q۰ 2l = 0 V_E = 4 ¹/₆ ql = 4

II Sprawdzenie:

∑X₁ = -3ql + 3ql = 0

∑X₂ = 4 ¹/₆ ql - 7 ³/₄ ql + 3 ⁷/₁₂ ql = 0

∑M_A =

Wykresy sił wewnętrznych

α - α ^{β - β}

N_α = 0 N_β = -9,345ql = -56,07 kN

T_α = ½ qx_α T_β = -½ ۰ 2l + ⁴/₃ ql = -¹/₃ ql = -2 kN

T_α (0) = 0

T_α (2l) = -ql = -6 kN

M_α = -½ q'x_α ۰ ⅓ x_α = -¹/₆ q'x_α² M_β = ½ ۰2l (⅓2l + x _β) + ⁴/₃ ql x _β

q' = q x_α /2l M_β = -²/₃ ql² + ¹/₃ ql x _β

M_α (0) = 0 M _β (0) = - ⅔ql² = -8 kNm

M_α (2l) = - ⅔ ql² = -8 kNm M _β (2l) = 0

γ - γ δ - δ

N_γ = q(2l + x_γ)= 0 N_δ = qx_δ

N_γ (0) = 3ql = 18 [kN] N_δ (0) = 0

N_γ (l) = 2ql = 12 [kN] N_δ (2l) = 2ql = 12 kN

T_γ = 3 ⁷/₁₂ ql - 7³/₄ ql = - 4¹/₆ql = -4 kN T_δ = 3⁷/₁₂ ql = 21 ½ kN

M_γ = -3 ⁷/₁₂ ql (2l + x_γ ) + 7³/₄ ql x_γ + 3ql² M_δ = -3⁷/₁₂ ql + 3ql²

= ⁵⁰/₁₂ ql x_γ - ²⁵/₆ql² M_δ (0) = 3ql² = 36 kNm

M_γ (0) = - ²⁵/₆ql² = -50 [kNm] M_δ (2l) = -²⁵/₆ ql² = -50 kNm

M_γ (l) = 0

x_α x _β x_γ x_δ

q'

_α q _β α ql² _γ q _δ 3ql²

D _α A _β E _γ B _δ C

9,345ql

⁴/₃ql 7³/₄ql 3⁷/₄ql

2l 2l l 2l

12

[kN]

18

56,07

6

2 4

[kN] 21 ½

50

8

[kNm]

36

X₃ X_3C

a

X_2C

a

X₂

2a a 2a

e) Charakterystyki przekroju:

Pole powierzchni : A = 6a²

Moment statyczny

S₃ = 2a² ۰ a + 2a² ۰ 2,5a + 2a² ۰ 4a = 15a³

S₂ = 2a² ۰ 0,5a + 2a² ۰ a + 2a² ۰ 0,5a =4a³

Współrzędne środka ciężkości

e₂ = S₃/A = 15a³/6a² = 2½a

e₃ = S₂/A = 4a³/6a² = ⅔a

Momenty bezwładności względem osi Ox₂, Ox₃

J₂₂ =J_x2 = 2a ۰ (a)³/3 + a ۰ (2a)³/3 + 2a ۰ a³/3 = 4a⁴

J₃₃ =J_x3 = a ۰ (5a)³/3 - a ۰ (2a)³/3 + a ۰ (3a)³/3 = 48a⁴

Odśrodkowy moment bezwładności

J₂₃ =J_x2x3 = 2a² ۰ a ۰ ½ a + 2a² ۰ 2½ a + 2a² ۰ ½ a ۰ 4a = 10a⁴

Moment bezwładności względem centralnego układu współrzędnych (tw. Steinera)

J_2c = 4a⁴ - 6a² ۰ (⅔ a)² = 4/3 a⁴

J_3c = 48a⁴ - 6a² ۰ (2½ a)² =10½ a⁴

Odśrodkowy moment bezwładności względem centralnego układu współrzędnych

J_23c = 10a⁴ - 6a² ۰ ⅔ a ۰ 2½ a = 0

N

T

M

---