PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH

Projektowanie obiektów hydrotechnicznych wymaga znajomości liczbowych wartości przepływów o odpowiednim prawdopodobieństwie pojawiania się. Jeśli ciek, który stanowi przedmiot naszych zainteresowań nie jest obserwowany, wówczas do obliczania przepływów prawdopodobnych stosuje się zgodnie z obowiązującymi normami odpowiednie wzory empiryczne. W przypadku kiedy w przekroju rzecznym prowadzone są obserwacje, możemy do obliczeń, dysponując wynikami pomiarów, zastosować metody statystyczne pozwalające na określenie przepływów o zadanych prawdopodobieństwach przewyższenia. Obliczenia polegają na odpowiednim doborze teoretycznych rozkładów prawdopodobieństwa, a w dalszej kolejności na przyjęciu metod szacowania parametrów tego rozkładu, przy wykorzystaniu materiału statystycznego. Potwierdzenie prawidłowego wyboru rozkładu zyskuje się poprzez stosowanie proponowanych w literaturze testów zgodności. Wyniki obliczeń podawane są wraz z przedziałem ufności, w obszarze którego z zadanym prawdopodobieństwem może się znaleźć wartość zmiennej rzeczywistej.

Przepływami prawdopodobnymi nazywa się przepływy okresowe drugiego stopnia tj. przepływy główne o określonej sumowanej częstotliwości występowania, odniesionej do zjawisk, jakie zrealizują się w przyszłości.

Wnioskujemy o nich na podstawie danych historycznych, stanowiących ciągi chronologiczne z długiego okresu. Zbiory statystyczne stanowią w hydrologii serie obserwacyjne utworzone ze zdarzeń o jednorodnych i wzajemnie niezależnych cechach liczbowych. Zbiorowość jednorodna to np. seria przepływów maksymalnych rocznych, zaobserwowanych w pewnym profilu w okresie N lat, w którym nie zmieniły się warunki przepływu.

Największym przepływem rocznym Q_max nazywamy przepływ o największej w ciągu roku wartości, wyrażony w m³/s.

Ciągiem rozdzielczym Q_max nazywamy zbiór zaobserwowanych maksymalnych rocznych przepływów uporządkowany od wartości największej do najmniejszej.

Przepływem rocznym o prawdopodobieństwie p% nazywamy przepływ o wielkości, która w każdym roku może być osiągnięta lub przekroczona z prawdopodobieństwem p %.

Okres powtarzalności przepływów równych lub większych od Q_p wyrażony jest wzorem:

gdzie: T - przeciętny okres powtarzalności

p - prawdopodobieństwo w %.

Najbardziej znanymi i najczęściej stosowanymi sposobami szacowania parametrów są metody:

- kwantyli,

- największej wiarygodności,

- momentów.

Stosowanie którejkolwiek z metod wymaga znajomości podstawowych pojęć, związanych z zastosowaniem rachunku prawdopodobieństwa w hydrologii.

Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywa się funkcję określającą jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie jedną z wartości zawierających się w przedziale liczbowym S na osi zmiennej X.

W hydrologii najczęściej stosuje się rozkłady:

• normalny (Gaussa - Laplace'a),

• Pearsona,

• Dębskiego.

Rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych nazywamy funkcję uzależniającą prawdopodobieństwo przekroczenia Q_max od wartości Q_max. Wykres tej funkcji nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwem empirycznym nazywamy funkcję określoną wzorem przytaczanym przez Weibulla:

gdzie: m - kolejny wyraz ciągu

N - liczebność ciągu.

Kwantylem x_p nazywamy wartość x_p zmiennej losowej X odpowiadającą prawdopodobieństwu przewyższenia p.

Szczególnym przypadkiem kwantyla jest decyl gdzie prawdopodobieństwo p jest wielokrotnością 0.1.

Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przekroczenia.

Metoda kwantyli

Wartości liczbowe maksymalnych przepływów rocznych ustala się na podstawie obserwacji nadzwyczajnych i aktualnych krzywych konsumcyjnych.

Z określaniem prawdopodobieństwa wiąże się długość ciągu rozdzielczego. Ustalono, że:

- dla prawdopodobieństwa p > 2 % długość ciągu rozdzielczego powinna wynosić minimum 15 lat,

- dla prawdopodobieństwa 2 % ≥ p ≥ 1 % - minimum 25 lat,

- dla prawdopodobieństwa p < 1 % - minimum 40 lat.

Jeżeli zweryfikowana seria statystyczna obejmuje mniejszą niż w/w długość okresu obserwacyjnego, wówczas dopuszcza się uzupełnienie serii za pomocą związków korelacyjnych pomiędzy przepływem danego przekroju, a przepływami z innych przekrojów wodowskazowych tego samego cieku lub przepływami ze zlewni o podobnej fizjografii. Ilość uzupełnionych w ten sposób wyrazów nie może przekroczyć 1/3 ogólnej liczebności serii. Zweryfikowane wartości największych przepływów rocznych należy uporządkować w ciąg rozdzielczy (od największego do najmniejszego), a dla każdego wyrazu ciągu policzyć prawdopodobieństwo empiryczne. Wyniki obliczeń zestawić w tabeli.

Nr kolejny	Rok	Qmax	Qmax uporz.	p /m, N/ %
1 2 3 .	1985 1986 1987 itd.	357 132 649 itd

Wartości Q_max i odpowiadające im prawdopodobieństwo empiryczne p należy nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa, a następnie wyrównać odręcznie uzyskany zbiór punktów. Z tak otrzymanej krzywej prawdopodobieństwa przewyższenia empirycznego odczytać należy wartości decyli: d₁, d₅, d₉ i d₁₀, czyli wartości przepływów odpowiadających prawdopodobieństwu odpowiednio: 10, 50, 90 i 100 %.

W zależności od przyjętego typu krzywej rozkładu prawdopodobieństwa oraz od metody szacowania parametrów wyróżnić można szereg metod obliczania wartości Q_max o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia.

Do najczęściej stosowanych zaliczyć należy wymienione na wstępie metody : kwantyli, największej wiarygodności i metoda momentów, a najczęściej stosowanym rozkładem jest rozkład Pearsona Typ III..

Równanie funkcji określającej rozkład prawdopodobieństwa ma postać:

gdzie: d₅ - wartość decyla środkowego,

C_v - współczynnik zmienności,

φ(p,s) - funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia i skośności.

Parametrami rozkładu są:

- miara zmienności V = (Q₁₀ - Q₉₀)/2,

- współczynnik zmienności C_v = V/Q₅₀,

- współczynnik skośności s, ustalony w zależności od wartości wyrażenia (C_v * Q₅₀)/(Q₅₀ - Q₁₀₀) za pomocą tabeli.

Sprawdzenie poprawności przyjętego rozkładu testem Kołmogorowa.

Punkty krzywej empirycznej powinny się układać tak by wartość bezwzględna największej odległości pomiędzy punktem leżącym na krzywej teoretycznej i empirycznej spełniała nierówność (test zgodności Kołmogorowa):

Max [p/m, N/ % - p %] < 136/√N

gdzie:

p/m, N/ % - prawdopodobieństwo empiryczne, m - tego wyrazu ciągu,

p % - prawdopodobieństwo teoretyczne przepływu o wysokości odpowiadającej m - temu wyrazowi ciągu rozdzielczego,

N - liczebność ciągu rozdzielczego.

Jeśli ten warunek nie jest spełniony wówczas należy do obliczeń przyjąć inny typ rozkładu prawdopodobieństwa i odpowiadającą mu metodę szacowania parametrów.

Określenie błędu oszacowania

Wartości przepływów Q_{max, p}, na skutek losowego doboru wyrazów N - letniej serii statystycznej obarczone są błędem. Średni błąd oszacowania wynosi:

Wartości funkcji F(s, p) dla różnych współczynników skośności s i prawdopodobieństwa p % podane są w tabeli (Instrukcja do obliczania przepływów maksymalnych i minimalnych).

Przedział ufności

Wskutek przypadkowości doboru wyrazów ciągu rozdzielczego, wartości zmiennej X, oszacowane na podstawie takiego ciągu różnią się od rzeczywistych. Im krótszy jest okres, na podstawie którego dokonujemy tego oszacowania oraz im mniejsze jest prawdopodobieństwo przewyższenia wartości zjawiska (większy okres powtarzalności), tym większym błędem obarczony jest wynik obliczeń. Określenie dokładnej wartości jest trudne. Możemy jednak określić granice przedziału, w którym rzeczywista wartość zmiennej X znajdzie się z określonym prawdopodobieństwem. Przedział taki nosi nazwę przedziału ufności, zaś odpowiadające mu prawdopodobieństwo oznaczone jest symbolem p_α.

Gdy istnieje obowiązek uwzględniania średniego błędu oszacowania, wówczas wartości Q_maxp obliczone z uwzględnieniem poziomu ufności należy nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa i wykreślić na tej podstawie krzywą ograniczającą od góry obszar pojawiania się rzeczywistych wartości prawdopodobnych przepływów maksymalnych. Obliczenia rzędnych punktów krzywej ograniczającej dokonuje się przy pomocy wzoru:

gdzie: t_{α -} przyjmuje wartość równą 1 dla poziomu istotności P_α = 68 %.

Szacowanie parametrów rozkładu metodą największej wiarygodności

Parametrami rozkładu nazywamy liczbowe charakterystyki, stałe dla danego rozkładu, których wartości liczone są na podstawie próby N-elementowej, wybranej losowo. Może to być np. N-letni ciąg maksymalnych bądź minimalnych przepływów. Jedną z metod szacowania parametrów jest metoda największej wiarygodności (MNW). Została opracowana w latach dwudziestych przez angielskiego statystyka Fishera, a wprowadzona do badań w Polsce przez Kaczmarka. Nazwa metody pochodzi od funkcji wiarygodności L, która dla zmiennej losowej ciągłej jest iloczynem wartości funkcji gęstości we wszystkich punktach próby:

Podobnie dla zmiennej losowej dyskretnej: jeśli dany jest rozkład prawdopodo­bieństwa dyskretnej zmiennej losowej X w postaci P(X=x;g₁,g₂,...,g_p) oraz prosta próba losowa (x₁,x₂,...,x_n), to z definicji funkcją wiarygodności tego rozkła­du nazywamy wyrażenie:

Najczęściej stosowanym w hydrologii rozkładem jest rozkład gamma (Pearson typ III), którego teoretyczna postać wygląda następująco:

dla x > 0

dla x ≤ 0

gdzie: Γ(λ) - funkcja gamma Eulera,

α, λ - parametry rozkładu > 0.

Szacowanie parametrów rozkładu (α, λ) polega w praktyce na znalezieniu takich wartości tych parametrów, dla których prawdopodobieństwo zaobserwowania naszej próby losowej będzie największe. Stanie się tak wówczas jeżeli wartość iloczynu L osiągnie maksimum, co spełnione zostanie w przypadku kiedy pochodne cząstkowe iloczynu względem parametrów będą równe zero, czyli:

Ze względów rachunkowych łatwiej jest posługiwać się formą drugą (z ln).

Tok postępowania przy zastosowaniu MNW jest następujący:

• na podstawie ciągu rozdzielczego i prawdopodobieństwa empirycznego, policzonego np. wzorem p(m, N) = m 100/(N+1) należy wykreślić empiryczny rozkład prawdopodobieństwa i odczytać z wykresu dolne ograniczenie rozkładu
  .

• Wyznaczyć zmienną zastępczą y_i = Q_max -
  dla i=1,2,...,N

• Obliczyć ln y_i dla i=1,2,...,N

• Obliczyć wartość średnią
  ,
  i średnią wartość
  .

• Następnie obliczyć wartość funkcji A_λ wg wzoru:

A_λ =
-
.

• Odczytać dla wartości A_λ z tabeli (S. Węglarczyk: Metody statystyczne, tab.1 str 172) wartość parametru λ.

• Krokiem następnym jest obliczenie drugiego parametru rozkładu α wg wzoru:

Przepływy maksymalne o zadanym prawdopodobieństwie oblicza się wg wzoru:

gdzie: t_p - wartość funkcji prawdopodobieństwa przewyższenia i parametru λ (tab. 4 St. Węglarczyk, Metody statystyczne, str. 229).

1

---