1. (3 p.) Podać 3 podstawienia Eulera:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… stosujemy je do obliczania całek postaci:………………………………………………………………………………………………………..
2. (2p.) Całką oznaczoną z funkcji f jest:
a). kazda funkcja pierwotna funkcji f
b). granica ciągu sum całkowych o ile istnieje i jest skończona
c). każda z całek niewłaściwych
3. (6p.) Podać i udowodnić tw. o wartości średniej dla całki oznaczonej.
TW.
D:
4. (2p.) Prawdziwe jest zdanie: W przedziale domkniętym:
a). każda funkcja ciągła jest całkowalna.
b). każda funkcja ciągła, która ma w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest w nim całkowalna.
c). każda funkcja monotoniczna jest całkowalna
5. (4p.) Podać wzór na długość łuku krzywej y = f(x) w przedziale <a,b> ……………………………………………………………………….
przy czym o funkcji f zakładamy………………………………………………………………………………………………………………….
6. (2p.) Niech funkcja f jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna w przedziałach <α,c> i <c,β>.
+∞
Wówczas: ∫f(x) dx = ………………………………………………………………………………………………………………………………
-∞
7. (2p.) Pochodna cząstkowa funkcji z = f(x,y) względem zmiennej y w punkcie (x0,y0) oznacza:
a) współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej z = f(x,y) w pkt. (x0,y0, f(x0,y0))
b) współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej z =f(x0,y) w pkt. (x0,y0, f(x0,y0))
c) współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej z =f(x,y0) w pkt. (x0,y0, f(x0,y0))
8. (2p.) Nich funkcja z = f(x,y), jest różniczkowalna w pkt. (x0,y0) € Df.
Prawdziwy jest wzór:
a) ∆z = f(x0+∆x, y0+∆y) + f(x0,y0)
b) ∆z = ∂f | dx + ∂f | dy
∂x | (x0,y0) ∂y | (x0,y0)
c) ∆z = dz |(x0,y0) +ε1∆x + ε2∆y , gdzie ε1, ε2 są funkcjami przyrostu ∆x, ∆y
9. (3p.) Sformułować tw. o istnieniu pochodnej kierunkowej
10. (6p.) W def. Całki podwójnej z funkcji z = f(x,y) w obszarze D mamy:
∫∫ f(x,y) dxdy = …………………………………………………………………………………………………………………………gdzie
D
D jest obszarem ………………………………………………………..tzn. ………………………………………………………………..
f jest funkcją…………………………………………………………………………………………………………………………………
Sn = ……………………………………………………………….., nazywamy …………………………………………………………..
11. (2p.) Jeżeli łuk krzywej regularnej L opisany jest parametrycznie x = x(t), y = y(t), t€ <α,β> oraz x,y € C1 (<α,β>), to:
∫ f(x,y) dS = ………………………………………………………………………………………………………………………………….
L
12. (3p.) Szereg liczbowy ∑∞an nazywamy zbieżnym, jeżeli ………………………………………………………………………………
n=1
13. (3p.) Szereg liczbowy ∑∞1/n! jest:
n=1
a) zbieżny, bo
b) rozbieżny, bo
14. (3p.) Szereg liczbowy ∑∞(-1)n 1/n jest:
n=1
a) rozbieżny b) zbieżny warunkowo c) zbieżny bezwzględnie
15. (2p.) Prawdziwe jest zdanie:
a) jeżeli szereg zbudowany z funkcji ciągłych jest jednostajnie zbieżny w przedziale I, to jego suma jest funkcją ciągłą w przedziale I.
b) szereg jednostajnie zbieżny, zbudowany z funkcji ciągłych można różnicować wyraz po wyrazie
c) szereg jednostajnie zbieżny, zbudowany z funkcji ciągłych można całkować wyraz po wyrazie
16. (4p.) Mówimy, że funkcja f spełnia warunki Dirichleta jeżeli ……………………………………………………………………………................................................................................
………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………