I Pracownia Fizyczna
Imię i nazwisko	Kierunek Fiz/Mat S	Rok	Data
Temat zadania Wyznaczanie stosunku ciepła właściwego κ=Cp/Cv metodą Clementa Desormesa'a		Symbol zadania C - 1
Wyniki pomiarów

Teoria:

Pierwsza zasada termodynamiki jest szczególną postacią zasady zachowania energii. Mówi ona o tym, że zmiany energii wewnętrznej ciała lub układu ciał równa jest przekazanej energii w wyniku wykonanej pracy i cieplnego przepływu energii

ΔU = W + Q

gdzie U - energia wewnętrzna jest wielkością charakteryzującą stan ciał lub układu ciał. Jest ona równa sumie wszystkich rodzajów energii cząstek i atomów tworzących ten układ. Jej wartość bezwzględna nie jest bezwzględna nie jest istotna, ważna natomiast jest jej zmiana, różnica pomiędzy energią wewnętrzną stanu końcowego i początkowego. Zmiana energii wewnętrznej może objawiać się na dwa sposoby:

• może zmieniać się temperatura układu co oznacza, że zmieniła się średnia energia kinetyczna cząstek,

• może zmieniać się stan skupienia, a co za tym idzie zmieniają się odległości między cząsteczkami

Q - ciepło - wielkość fizyczna charakteryzująca proces cieplnego przekazu energii równa ilości przekazanej energii i wyrażona w dżulach.

Ogrzanie ciała o masie m o ΔT kelwinów wymaga dostarczenia energii w ilości:

Q = mc_wΔT

Gdzie c_w - ciepło właściwe. Stanowi cechę charakterystyczną substancji, z której zbudowane jest ciało. Liczbowo równa jest pojemności cieplnej (stosunek ilości ciepła ΔQ dostarczonego do ciała do odpowiadającego temu ciału przyrostowi temperatury ΔT) przypadającej na jednostkę masy - m:

pojemność cieplna ΔQ

c_w = _______ = __

masa mΔT

Podobnie jak ciepło W - praca jest wielkością charakteryzującą proces cieplnego przekazu energii, równa ilości przekazanej energii, wyrażona w dżulach. Wartość pracy, gdy działa stała siła F, powodująca przesunięcie Δr jest równa:

W = FΔrcos(F, Δr)

Model gazu doskonałego

Gaz doskonały można zdefiniować, czyniąc pewne założenia o własnościach cząsteczek gazów rzeczywistych:

1. Cząsteczki danego gazu można traktować jako punkty materialne,

2. Cząsteczki gazu znajdują się w szybkim chaotycznym ruchu. Chaotyczność ruchu oznacza, że cząsteczki poruszają się we wszystkich kierunkach, jakie są tylko możliwe, i że żaden z tych kierunków nie jest uprzywilejowany,

3. Cząsteczki gazu zderzają się sprężyście ze sobą i ze ściankami naczynia, w którym jest zawarty gaz. Siły działające podczas zderzeń są siłami zachowawczymi i wobec tego energia mechaniczna cząsteczek pozostaje stała,

4. Siły działają tylko w momencie zderzania się cząsteczek. Cząsteczki oddalone od siebie nie działają na siebie żadnymi siłami,

5. Objętość cząsteczek gazu jest zaniedbywanie mała w porównaniu z objętością zajmowaną przez gaz.

Równanie stanu gazu doskonałego

Stan pewnej stałej ilości gazu określają jednoznacznie trzy parametry stanu: ciśnienie p, objętość V i temperatura T. Liczne doświadczenia nad własnościami gazów rzeczywistych doprowadziły do wniosku, że z dobrym przybliżeniem gazy te spełniają równanie stanu

pV = nRT

gdzie:

n - liczba moli danego gazu

R - uniwersalna stała gazowa (R = 8,314 mol*L)

Równanie to nosi nazwę równania Clapeyrona. Gazy rzeczywiste spełniają równanie Clapeyrona tym lepiej, im większe jest ich temperatura i im niższe ciśnienie. Fikcyjny gaz, który dokładnie spełniałby to równanie w każdych warunkach nazywamy gazem doskonałym.

Szczególnymi przypadkami równania stanu gazu doskonałego są przemiany: izotermiczna, izobaryczna, izochoryczna, adiabatyczna.

Przemiana izotermiczna . (T = const.). wtedy równanie stanu gazu przedstawimy następująco:

pV = const. r - e Boyle'a - Mariotte'a

Praca przy izotermicznym sprężaniu lub rozprężaniu gazu doskonałego.

W procesie izotermicznym energia wewnętrzna gazu doskonałego nie zmienia się zatem

I zasada termodynamiki dla tego procesu przyjmuje postać: dW + dQ = 0, czyli dQ = -dW przy czym dQ uważamy za dodatnie, gdy gaz pobiera ciepło. Pobrane ciepło zamienia się w pracę przy rozprężaniu gazu. Ponieważ dQ = -dW więc praca wykonana przez gaz jest pracą ujemną. Przy rozprężaniu izotermicznym od objętości V₁ doV₂ praca wykonana przez gaz wynosi: _V2

W = -∫ pdV

^V1

Korzystając z równania stanu gazu doskonałego p = RT/V, otrzymujemy wzór na pracę gazu przy rozprężaniu izotermicznym: _V2

W = -∫ RTdV/V = RT lnV₁/V₂ gdzie R,T

^V1

Gdy gaz jest sprężany V₁ > V₂, praca W > 0 czyli gaz pobiera pracę. Gdy gaz się rozpręża V₁< V₂, praca W<0 gaz oddaje pracę kosztem pobranego ciepła.

Przemiana izobaryczna. (p- const.) Równanie stanu gazu doskonałego zapisujemy następująco:

V

_ = const.

T

Praca przy izobarycznym rozprężaniu gazu doskonałego:

W naczyniu zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się n moli gazu doskonałego (mol - masa danej substancji, która zawiera określoną liczbę cząsteczek, a mianowicie 6,02252*10²³ zwaną liczbą Avogadra). Gaz został ogrzany o ΔT kelwinów przez dostarczenie energii Q

Q = nC_pΔT

Przy czym C_p - ciepło molowe równe energii, jaką trzeba dostarczyć jednemu molowi gazu, aby w przemianie izobarycznej zwiększyć temperaturę o jeden kelwin.

Ogrzewając się w procesie izobarycznym gaz zwiększył objętość i przesunął tłok, wykonując pracę W

W = pΔV

Zmiana energii wewnętrznej gazu jest więc równa dostarczonemu ciepłu zmniejszonemu o pracę jaką wykonał gaz:

ΔU = nC_pΔT - pΔV

Przemiana izochoryczna.(V = const.) Równanie stanu gazu doskonałego ma postać:

p

_ = const.

T

Izochoryczne ogrzewanie gazu doskonałego

W naczyniu znajduje się n moli gazu doskonałego. Gaz został ogrzany bez zmiany objętości o ΔT kelwinów . Wzrosło również ciśnienie gazu. Dostarczono energię równą ciepłu Q

Q = nC_vΔT

Przy czym C_v - ciepło molowe równe energii jaką trzeba dostarczyć molowi gazu, aby w przemianie izochorycznej zwiększyć jego temperaturę o jeden kelwin.

Gaz nie przesuwa tłoka, nie zmienia się jego objętość, więc praca jest równa 0 W=0. Zmiana energii wewnętrznej jest równa dostarczonemu ciepłu

ΔU = Q = nC_vΔT

Przemiana adiabatyczna.(Q = const.)

ΔQ = 0

pV^κ = const. (ln p + κ ln V = const.) - postać logarytmiczna

gdzie: κ = C_p/C_v

C_p - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

C_v - ciepło właściwe przy stałej objętości

Wykresem tego równania jest krzywa szybciej malejąca niż izoterma, ponieważ przy sprężaniu adiabatycznym powstające ciepło pozostaje w gazie, a wzrost temperatury powoduje dodatkowe powiększenie ciśnienia.

Zastanówmy się czemu jest równa różnica C_p i C_v.

Dla n moli gazu doskonałego ogrzanego o Δt przy stałej objętości ΔQ=nC_vΔT

Ciepło to zostaje zużyte na wzrost energii wewnętrznej U

ΔU = ΔQ = nCv ΔT (1)

Dla n moli gazu doskonałego ogrzanego przy stałym ciśnieniu ΔQ'= nC_pΔT. Ponieważ podczas przemiany izobarycznej objętość gazu przy ogrzaniu rośnie, to gaz wykonuje pracę. Ciepło ΔQ' dostarczone podczas ogrzania układu jest zużyte nie tylko na zmianę temperatury, ale i na wykonanie pracy pΔV = nRΔT. Zgodnie z I zasadą termodynamiki:

ΔU = ΔQ' - pΔV = nC_pΔT - nRΔT (2)

Zakładając, że w obu procesach ΔT jest takie same, otrzymujemy, że i ΔU też są równe. Porównując (1) i (2) mamy

nC_vΔT = nC_pΔT - nRΔT /nΔT

C_v = C_p - R

C_p = C_v + R (3)

Zgodnie z klasyczno- molekularną teorią dla gazów doskonałych wartości C_p i C_v zależą od ilości stopni swobody i związanych z ruchem postępowym i rotacyjnym cząsteczek gazu

C_v = iR/2 C_p = (i+2)R/2 κ = C_p/C_v = (i+2)/i (4)

i - ilość stopni swobody

R - stała gazowa

Dla gazów jednoatomowych otrzymujemy

C_v = 3R/2 C_p = 5R/2 κ = 5/3 (5)

W naszym doświadczeniu badanym gazem jest powietrze, które jest mieszaniną cząstek jedno- dwu- I trzyatomowych. Ilościowo dominują molekuły dwuatomowe, które poza trzema stopniami swobody związanymi z ruchem postępowym, dodatkowo dwa stopnie związane z ruchem obrotowym. Dla powietrza otrzymujemy więc następujące przybliżone wartości teoretyczne:

C_v =5R/2 C_p = 7R/2 κ = 7/5 (6)

Wzory (4), (5), (6) są zgodne ze wzorem (3) otrzymanym na gruncie termodynamiki fenomenologicznej.

Zasada pomiaru i opis procesów zachodzących w badanym układzie doświadczenia:

Badanym gazem jest powietrze. Poddajemy je przemianom, podczas których zmieniają się ciśnienie p, temperatura T i objętość V.

1. Wpompowując do naczynia powietrze dokonujemy adiabatyczne sprężania gazu. Na wykresie p-V procesowi temu odpowiada odcinek adiabaty A-B. Ponieważ przy sprężaniu wykonujemy pracę, nad układem wzrasta ciśnienie i temperatura gazu.

2. Czekamy na wyrównanie temperatury w naczyniu z temperaturą otoczenia - przemiana izochoryczna. Procesowi temu na wykresie odpowiada odcinek izochory B-C. Stan układu po tej przemianie, (czyli w pkt. C) oznaczono jako p₁ i V₁, temperatura równa się temperaturze otoczenia T₀.

3. Przez otwarcie kranu na kilka sekund, łączymy naczynie z otoczeniem i następuje adiabatyczne rozprężenie gazu, odcinek C-D. Ciśnienie wyrównuje się z ciśnieniem otoczenia p₀, spada temperatura i zmienia się objętość gazu, którą w stanie D na wykresie oznaczono przezV₂. Stany C i D są związane z równaniem adiabaty

p₁V₁^κ = p₀V₂^κ (7a)

czyli (V₁/V₂) ^κ = p₀/p₁ (7b)

4. Czekamy ponownie na wyrównanie temperatury w naczyniu z temperaturą otoczenia - przemiana izochoryczna. Proces ten na wykresie opisuje odcinek izochory D-E. Stan układu w punkcie E oznaczono przez p₂ i V₂ , zaś temperatura jest równa temperaturze T₀. Ponieważ w stanach E i C temperatury są takie same, to można odpowiadające im na wykresie punkty połączyć odcinkiem izotermy E-C i są związane równaniem

p₂V₂ = p₁V₁ (8a)

czyli (V₁/V₂) = (p₂/p₁) (8b)

Wstawiając (8b) do(7b) otrzymujemy (p₂/p₁) ^κ = (p₀/p₁)

Logarytmując obie strony powyższego równania:

κ ln(p₂/p₁) = ln(p₀/p₁)

stąd κ = ln(p₀/p₁) / ln(p₂/p₁)

Z powyższych rozważań widać, że do wyznaczenia κ = C_p/C_v nie jest nam potrzebna znajomość temperatury, ani objętości. Wystarczy pomiar ciśnienia w trzech stanach C,D i E. Wielkość ciśnienia atmosferycznego mierzymy za pomocą barometru rtęciowego.

Barometr rtęciowy - przyrząd do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Ciśnienie powietrza p_a działające na odkrytą powierzchnię rtęci jest równoważone przez ciśnienie hydrostatyczne p_n słupka rtęci o wysokości h. Ciśnienie p_n Łatwo obliczyć znając gęstość rtęci ρ_r i przyśpieszenie ziemskie g : p_n = ρ_rgh. Ponieważ pomiaru ciśnienia dokonuje się w rozmaitej temperaturze i w różnych miejscach kuli ziemskiej, więc po dokonaniu odczytu należy uwzględnić poprawki, sprowadzające odczyt do warunków normalnych. Są to dwie poprawki, jedna związana z miejscem pomiaru i uwzględniająca wartość przyśpieszenia ziemskiego w danym miejscu, druga zależna od temperatury, uwzględniająca rozszerzalność skali i rozszerzalność rtęci.

Wielkość ciśnienia w butli p₁ i p₂ wyznaczany za pomocą manometru wodnego.

Manometr otwarty - przyrząd do pomiaru ciśnienia względnego. Składa się on z rurki w kształcie litery U zawierającej ciecz, przy czym jedno ramię jest otwarte (a więc na ciecz działa ciśnienie atmosferyczne), podczas gdy drugie połączone jest z układem(zbiornikiem), którego ciśnienie p chcemy zmierzyć

p - p₀ = ρgh

p - ciśnienie gazu w zbiorniku

p₀ - ciśnienie atmosferyczne

ρ - gęstość cieczy w manometrze

h - wysokość słupa cieczy w manometrze

g - przyśpieszenie ziemskie

Ciśnienie względne p - p₀ jest więc proporcjonalne do różnicy wysokości słupów cieczy w obu ramionach manometru. Gdy naczynie zawiera gaz znajdujący się pod wysokim ciśnieniem, w rurce używa się cieczy o dużej gęstości takiej jak rtęć, można używać także wody, ale tylko wtedy gdy mamy do czynienia z niskimi ciśnieniami gazu

6

---