I Pracownia Fizyczna |
|||
Imię i nazwisko
|
Kierunek Fiz/Mat
S |
Rok
|
Data
|
Temat zadania Wyznaczanie stosunku ciepła właściwego κ=Cp/Cv metodą Clementa Desormesa'a |
Symbol zadania C - 1 |
||
Wyniki pomiarów |
Teoria:
Pierwsza zasada termodynamiki jest szczególną postacią zasady zachowania energii. Mówi ona o tym, że zmiany energii wewnętrznej ciała lub układu ciał równa jest przekazanej energii w wyniku wykonanej pracy i cieplnego przepływu energii
ΔU = W + Q
gdzie U - energia wewnętrzna jest wielkością charakteryzującą stan ciał lub układu ciał. Jest ona równa sumie wszystkich rodzajów energii cząstek i atomów tworzących ten układ. Jej wartość bezwzględna nie jest bezwzględna nie jest istotna, ważna natomiast jest jej zmiana, różnica pomiędzy energią wewnętrzną stanu końcowego i początkowego. Zmiana energii wewnętrznej może objawiać się na dwa sposoby:
może zmieniać się temperatura układu co oznacza, że zmieniła się średnia energia kinetyczna cząstek,
może zmieniać się stan skupienia, a co za tym idzie zmieniają się odległości między cząsteczkami
Q - ciepło - wielkość fizyczna charakteryzująca proces cieplnego przekazu energii równa ilości przekazanej energii i wyrażona w dżulach.
Ogrzanie ciała o masie m o ΔT kelwinów wymaga dostarczenia energii w ilości:
Q = mcwΔT
Gdzie cw - ciepło właściwe. Stanowi cechę charakterystyczną substancji, z której zbudowane jest ciało. Liczbowo równa jest pojemności cieplnej (stosunek ilości ciepła ΔQ dostarczonego do ciała do odpowiadającego temu ciału przyrostowi temperatury ΔT) przypadającej na jednostkę masy - m:
pojemność cieplna ΔQ
cw = _______ = __
masa mΔT
Podobnie jak ciepło W - praca jest wielkością charakteryzującą proces cieplnego przekazu energii, równa ilości przekazanej energii, wyrażona w dżulach. Wartość pracy, gdy działa stała siła F, powodująca przesunięcie Δr jest równa:
W = FΔrcos(F, Δr)
Model gazu doskonałego
Gaz doskonały można zdefiniować, czyniąc pewne założenia o własnościach cząsteczek gazów rzeczywistych:
Cząsteczki danego gazu można traktować jako punkty materialne,
Cząsteczki gazu znajdują się w szybkim chaotycznym ruchu. Chaotyczność ruchu oznacza, że cząsteczki poruszają się we wszystkich kierunkach, jakie są tylko możliwe, i że żaden z tych kierunków nie jest uprzywilejowany,
Cząsteczki gazu zderzają się sprężyście ze sobą i ze ściankami naczynia, w którym jest zawarty gaz. Siły działające podczas zderzeń są siłami zachowawczymi i wobec tego energia mechaniczna cząsteczek pozostaje stała,
Siły działają tylko w momencie zderzania się cząsteczek. Cząsteczki oddalone od siebie nie działają na siebie żadnymi siłami,
Objętość cząsteczek gazu jest zaniedbywanie mała w porównaniu z objętością zajmowaną przez gaz.
Równanie stanu gazu doskonałego
Stan pewnej stałej ilości gazu określają jednoznacznie trzy parametry stanu: ciśnienie p, objętość V i temperatura T. Liczne doświadczenia nad własnościami gazów rzeczywistych doprowadziły do wniosku, że z dobrym przybliżeniem gazy te spełniają równanie stanu
pV = nRT
gdzie:
n - liczba moli danego gazu
R - uniwersalna stała gazowa (R = 8,314 mol*L)
Równanie to nosi nazwę równania Clapeyrona. Gazy rzeczywiste spełniają równanie Clapeyrona tym lepiej, im większe jest ich temperatura i im niższe ciśnienie. Fikcyjny gaz, który dokładnie spełniałby to równanie w każdych warunkach nazywamy gazem doskonałym.
Szczególnymi przypadkami równania stanu gazu doskonałego są przemiany: izotermiczna, izobaryczna, izochoryczna, adiabatyczna.
Przemiana izotermiczna . (T = const.). wtedy równanie stanu gazu przedstawimy następująco:
pV = const. r - e Boyle'a - Mariotte'a
Praca przy izotermicznym sprężaniu lub rozprężaniu gazu doskonałego.
W procesie izotermicznym energia wewnętrzna gazu doskonałego nie zmienia się zatem
I zasada termodynamiki dla tego procesu przyjmuje postać: dW + dQ = 0, czyli dQ = -dW przy czym dQ uważamy za dodatnie, gdy gaz pobiera ciepło. Pobrane ciepło zamienia się w pracę przy rozprężaniu gazu. Ponieważ dQ = -dW więc praca wykonana przez gaz jest pracą ujemną. Przy rozprężaniu izotermicznym od objętości V1 doV2 praca wykonana przez gaz wynosi: V2
W = -∫ pdV
V1
Korzystając z równania stanu gazu doskonałego p = RT/V, otrzymujemy wzór na pracę gazu przy rozprężaniu izotermicznym: V2
W = -∫ RTdV/V = RT lnV1/V2 gdzie R,T
V1
Gdy gaz jest sprężany V1 > V2, praca W > 0 czyli gaz pobiera pracę. Gdy gaz się rozpręża V1< V2, praca W<0 gaz oddaje pracę kosztem pobranego ciepła.
Przemiana izobaryczna. (p- const.) Równanie stanu gazu doskonałego zapisujemy następująco:
V
_ = const.
T
Praca przy izobarycznym rozprężaniu gazu doskonałego:
W naczyniu zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się n moli gazu doskonałego (mol - masa danej substancji, która zawiera określoną liczbę cząsteczek, a mianowicie 6,02252*1023 zwaną liczbą Avogadra). Gaz został ogrzany o ΔT kelwinów przez dostarczenie energii Q
Q = nCpΔT
Przy czym Cp - ciepło molowe równe energii, jaką trzeba dostarczyć jednemu molowi gazu, aby w przemianie izobarycznej zwiększyć temperaturę o jeden kelwin.
Ogrzewając się w procesie izobarycznym gaz zwiększył objętość i przesunął tłok, wykonując pracę W
W = pΔV
Zmiana energii wewnętrznej gazu jest więc równa dostarczonemu ciepłu zmniejszonemu o pracę jaką wykonał gaz:
ΔU = nCpΔT - pΔV
Przemiana izochoryczna.(V = const.) Równanie stanu gazu doskonałego ma postać:
p
_ = const.
T
Izochoryczne ogrzewanie gazu doskonałego
W naczyniu znajduje się n moli gazu doskonałego. Gaz został ogrzany bez zmiany objętości o ΔT kelwinów . Wzrosło również ciśnienie gazu. Dostarczono energię równą ciepłu Q
Q = nCvΔT
Przy czym Cv - ciepło molowe równe energii jaką trzeba dostarczyć molowi gazu, aby w przemianie izochorycznej zwiększyć jego temperaturę o jeden kelwin.
Gaz nie przesuwa tłoka, nie zmienia się jego objętość, więc praca jest równa 0 W=0. Zmiana energii wewnętrznej jest równa dostarczonemu ciepłu
ΔU = Q = nCvΔT
Przemiana adiabatyczna.(Q = const.)
ΔQ = 0
pVκ = const. (ln p + κ ln V = const.) - postać logarytmiczna
gdzie: κ = Cp/Cv
Cp - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
Cv - ciepło właściwe przy stałej objętości
Wykresem tego równania jest krzywa szybciej malejąca niż izoterma, ponieważ przy sprężaniu adiabatycznym powstające ciepło pozostaje w gazie, a wzrost temperatury powoduje dodatkowe powiększenie ciśnienia.
Zastanówmy się czemu jest równa różnica Cp i Cv.
Dla n moli gazu doskonałego ogrzanego o Δt przy stałej objętości ΔQ=nCvΔT
Ciepło to zostaje zużyte na wzrost energii wewnętrznej U
ΔU = ΔQ = nCv ΔT (1)
Dla n moli gazu doskonałego ogrzanego przy stałym ciśnieniu ΔQ'= nCpΔT. Ponieważ podczas przemiany izobarycznej objętość gazu przy ogrzaniu rośnie, to gaz wykonuje pracę. Ciepło ΔQ' dostarczone podczas ogrzania układu jest zużyte nie tylko na zmianę temperatury, ale i na wykonanie pracy pΔV = nRΔT. Zgodnie z I zasadą termodynamiki:
ΔU = ΔQ' - pΔV = nCpΔT - nRΔT (2)
Zakładając, że w obu procesach ΔT jest takie same, otrzymujemy, że i ΔU też są równe. Porównując (1) i (2) mamy
nCvΔT = nCpΔT - nRΔT /nΔT
Cv = Cp - R
Cp = Cv + R (3)
Zgodnie z klasyczno- molekularną teorią dla gazów doskonałych wartości Cp i Cv zależą od ilości stopni swobody i związanych z ruchem postępowym i rotacyjnym cząsteczek gazu
Cv = iR/2 Cp = (i+2)R/2 κ = Cp/Cv = (i+2)/i (4)
i - ilość stopni swobody
R - stała gazowa
Dla gazów jednoatomowych otrzymujemy
Cv = 3R/2 Cp = 5R/2 κ = 5/3 (5)
W naszym doświadczeniu badanym gazem jest powietrze, które jest mieszaniną cząstek jedno- dwu- I trzyatomowych. Ilościowo dominują molekuły dwuatomowe, które poza trzema stopniami swobody związanymi z ruchem postępowym, dodatkowo dwa stopnie związane z ruchem obrotowym. Dla powietrza otrzymujemy więc następujące przybliżone wartości teoretyczne:
Cv =5R/2 Cp = 7R/2 κ = 7/5 (6)
Wzory (4), (5), (6) są zgodne ze wzorem (3) otrzymanym na gruncie termodynamiki fenomenologicznej.
Zasada pomiaru i opis procesów zachodzących w badanym układzie doświadczenia:
Badanym gazem jest powietrze. Poddajemy je przemianom, podczas których zmieniają się ciśnienie p, temperatura T i objętość V.
Wpompowując do naczynia powietrze dokonujemy adiabatyczne sprężania gazu. Na wykresie p-V procesowi temu odpowiada odcinek adiabaty A-B. Ponieważ przy sprężaniu wykonujemy pracę, nad układem wzrasta ciśnienie i temperatura gazu.
Czekamy na wyrównanie temperatury w naczyniu z temperaturą otoczenia - przemiana izochoryczna. Procesowi temu na wykresie odpowiada odcinek izochory B-C. Stan układu po tej przemianie, (czyli w pkt. C) oznaczono jako p1 i V1, temperatura równa się temperaturze otoczenia T0.
Przez otwarcie kranu na kilka sekund, łączymy naczynie z otoczeniem i następuje adiabatyczne rozprężenie gazu, odcinek C-D. Ciśnienie wyrównuje się z ciśnieniem otoczenia p0, spada temperatura i zmienia się objętość gazu, którą w stanie D na wykresie oznaczono przezV2. Stany C i D są związane z równaniem adiabaty
p1V1κ = p0V2κ (7a)
czyli (V1/V2) κ = p0/p1 (7b)
Czekamy ponownie na wyrównanie temperatury w naczyniu z temperaturą otoczenia - przemiana izochoryczna. Proces ten na wykresie opisuje odcinek izochory D-E. Stan układu w punkcie E oznaczono przez p2 i V2 , zaś temperatura jest równa temperaturze T0. Ponieważ w stanach E i C temperatury są takie same, to można odpowiadające im na wykresie punkty połączyć odcinkiem izotermy E-C i są związane równaniem
p2V2 = p1V1 (8a)
czyli (V1/V2) = (p2/p1) (8b)
Wstawiając (8b) do(7b) otrzymujemy (p2/p1) κ = (p0/p1)
Logarytmując obie strony powyższego równania:
κ ln(p2/p1) = ln(p0/p1)
stąd κ = ln(p0/p1) / ln(p2/p1)
Z powyższych rozważań widać, że do wyznaczenia κ = Cp/Cv nie jest nam potrzebna znajomość temperatury, ani objętości. Wystarczy pomiar ciśnienia w trzech stanach C,D i E. Wielkość ciśnienia atmosferycznego mierzymy za pomocą barometru rtęciowego.
Barometr rtęciowy - przyrząd do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Ciśnienie powietrza pa działające na odkrytą powierzchnię rtęci jest równoważone przez ciśnienie hydrostatyczne pn słupka rtęci o wysokości h. Ciśnienie pn Łatwo obliczyć znając gęstość rtęci ρr i przyśpieszenie ziemskie g : pn = ρrgh. Ponieważ pomiaru ciśnienia dokonuje się w rozmaitej temperaturze i w różnych miejscach kuli ziemskiej, więc po dokonaniu odczytu należy uwzględnić poprawki, sprowadzające odczyt do warunków normalnych. Są to dwie poprawki, jedna związana z miejscem pomiaru i uwzględniająca wartość przyśpieszenia ziemskiego w danym miejscu, druga zależna od temperatury, uwzględniająca rozszerzalność skali i rozszerzalność rtęci.
Wielkość ciśnienia w butli p1 i p2 wyznaczany za pomocą manometru wodnego.
Manometr otwarty - przyrząd do pomiaru ciśnienia względnego. Składa się on z rurki w kształcie litery U zawierającej ciecz, przy czym jedno ramię jest otwarte (a więc na ciecz działa ciśnienie atmosferyczne), podczas gdy drugie połączone jest z układem(zbiornikiem), którego ciśnienie p chcemy zmierzyć
p - p0 = ρgh
p - ciśnienie gazu w zbiorniku
p0 - ciśnienie atmosferyczne
ρ - gęstość cieczy w manometrze
h - wysokość słupa cieczy w manometrze
g - przyśpieszenie ziemskie
Ciśnienie względne p - p0 jest więc proporcjonalne do różnicy wysokości słupów cieczy w obu ramionach manometru. Gdy naczynie zawiera gaz znajdujący się pod wysokim ciśnieniem, w rurce używa się cieczy o dużej gęstości takiej jak rtęć, można używać także wody, ale tylko wtedy gdy mamy do czynienia z niskimi ciśnieniami gazu
6