Podstawą mechaniki ogólnej są prawa ruchu sformułowane przez Newtona (przytoczone w oryginalnym brzmieniu).

      Prawo pierwsze. Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego prostoliniowego dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

      Prawo drugie. Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Oznaczając przez P siłę działającą na punkt materialny, a przez mv jego pęd (m - masa, v - prędkość), treść drugiego prawa Newtona możemy wyrazić następującym równaniem wektorowym

d(mv) / dt = P                 

Jeżeli masa punktu jest wielkością stałą

dm / dt = 0           

to równanie przyjmuje postać

m * (dv / dt ) = m r'' = m a = P              

gdzie: r - promień - wektor opisujący położenie punktu materialnego, a- przyspieszenie punktu materialnego.

      Prawo trzecie. Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwne zwrócone oddziaływanie, czyli wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.

      Prawo czwarte. Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześni kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.

( d / dt )  * ( mv₁ + mv₂ + mv₃ + ... + mv_z ) = P₁ + P₂ + ... + P_z     

      Prawo piąte (grawitacji). Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas (m₁, m₂) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

P = k [(m₁ * m₂) / r²]                

gdzie k - współczynnik proporcjonalności, nazywany stałą grawitacji.

      Podstawowe pojęcia rzeczywiste mechaniki to: ruch, przestrzeń, czas, materia (której miarą jest masa) i siła.
Ruchem ciała nazywamy zachodzącą w czasie zmianę jego położenia względem innego ciała, które umownie przyjmujemy za nieruchome.
Pod pojęciem przestrzeń rozumie się przestrzeń euklidesową, tzn. taką, w której są spełnione znane z geometrii pewniki Euklidesa. Przestrzeń ta ma trzy wymiary odległości, mierzone zwykle w trzech wzajemnie do siebie prostopadłych kierunkach, które nazywamy długością, szerokością i wysokością.
Masa jest jednocześnie miarą "ilości materii zawartej w ciele" i miarą bezwładności ciała. Jednostką masy jest kilogram (1 kg).
Siła jest miarą wzajemnego oddziaływania ciał, przejawiającego się wyprowadzeniem ich ze stanu spoczynku, zmianą ich ruchu lub utrzymaniem ciał wstanie równowagi. Jednostką siły w układzie międzynarodowym SI jest niuton (1 N).

      Pojęcia wyidealizowane w mechanice (modele pojęć rzeczywistych) to: punkt materialny, ciało doskonale sztywne.
Punktem materialnym nazywamy ciało o wymiarach znikomo małych w porównaniu z rozmiarami obszaru, w którym się porusza tak, że można pominąć zmiany położenia tego ciała wywołane przez obrót. Traktuje się to ciało jako punkt geometryczny, w którym jest skupiona skończona ilość materii, czyli obdarzony pewną masą.
Ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne), czyli takie wyidealizowane ciało stałe, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem działających na nie sił.

MECHANIKA - dział fizyki zajmujący się opisem zachowania ciał pod wpływem działających sił, opisuje zachowanie ciał rzeczywistych,

DYNAMIKA: opisuje zachowanie ciał materialnych pod wpływem działających sił,

KINEMATYKA: opis ruchu bez względu na przyczynę

RUCH PŁASKI - wszystkie punkty przemieszczają się równolegle do pewnej płaszczyzny (kierowniczej) Žkinematyka płaskiego przekroju płaszczyzną ||, dowolny ruch płaski jest złożeniem płaskiego ruchu postępowego dowolnie obranego bieguna i ruchu obrotowego wokół niego

KINEMATYKA PUNKTU - niezależne funkcje ruchu: X1=X1(t), X2, X3..., LICZBA

KINEMATYKA BRYŁY SZTYWNEJ - 6 stopni swobody: 3 opisujące położenie punktu (bieguna) + 3 opisujące obrót, POSTĘPOWY (wektory prędkości i przyspieszenia są równe z dokładnością do punktu zaczepienia), KULISTY, OBROTOWY

STOPIEN SWOBODY - liczba niezależnych analitycznych funkcji ruchu. Dowolny ruch bryly mozna rozlozyc na 6 elementarnych ruchow, bryla przemieszca sie wzdluz X,Y,Z. Każdy z tych ruchów, jezeli to ruchy niezalezne przedstawia 1 stopień swobody (6 stopni swobody - bryla swobodna). W ukladzie technicznym bryła ma zawsze mniej stopni swobody. Stopnie swobody - to niezalezne ruchy - zeby sie bryla przemieszczala musi miec 0 stopni swobody.

UKŁAD ODNIESIENIA - układ w czasoprzestrzeni pozwalający każdemu zdarzeniu przypisać współrzędne i czas

CZĄSTKA MATERII - element większej całości którego ruch pozwala na opis zachowania ciała

PUNKT MATERIALNY - element materii którego ruch można określić za pomocą ruchu geometrycznego (wymiary zmierzaja do 0)

BRYŁA SZTYWNA - dowolne punkty bryły mają w każdej chwili ruchu takie same odległości (nie ma takich)

RUCH - miara położenia ciała względem punktu odniesienia

MASA - dodatnia liczba charakteryzująca dany element (nie zależy od czasu, położenia). Masa układu jest równa sumie mas poszczególnych elementów.

UKŁAD MATERIALNY - skończony zbiór punktów materialnych lub brył sztywnych

FIGURY:

1 KLASA: punkt materialny,

2 KLASA: figury płaskie (ciała jednowymiarowe),

3 KLASA: ciała dwuwymiarowe, 4 KLASA: bryły 3D

STAN RUCHU UKŁADU MATERIALNEGO - układ wektorów położenia i prędkości względem układu odniesienia w dowolnej chwili t

MOMENT GŁÓWNY - suma momentów wszystkich sił dla danego układu względem jakiegoś bieguna

WEKTOR GŁÓWNY - suma wektorów

MOMENT SKUPIONY - para sił powodująca obrót względem osi M=Pd (d- odległość)

SKRĘTNIK - układ 3 sił z których dwie tworzą pary sił a trzecia jest ^ do płaszczyzny tej pary, SIŁA SKUPIONA (Q2şQ3ş0, Q1şF^s), PARA SIŁ (Q1ş0), SKRĘTNIK WŁAŚCIWY (Q1, Q2, Q3ą0) DOWOLNY UKŁAD SIŁ MOŻNA ZREDUKOWAĆ DO SKRĘTNIKA

STATYKA - układ jest w spoczynku względem układu odniesienia Ť wektory prędkości dla wszystkich punktów są ş0

UKŁAD MATERIALNIE GEOMETRYCZNIE NIEZMIENNY - układ dla którego jedynym możliwym ruchem jest spoczynek

NIEWIADOME STATYCZNE - wartości niezależnych sił reakcji

NIEWIADOME GEOMETRYCZNE - wartości parametrów geometrycznych (współrzędne uogólnione) określających położenie równowagi układu centralnego geometrycznie zmiennego

UKŁAD STATYCZNIE WYZNACZALNY (IZOSTATYCZNY) - rozkład na elementy podstawowe takie że z możliwych do ułożenia niezależnych reakcji można jednoznacznie określić niewiadome statyczne

TARCIE - jest składową styczną reakcji która powstaje podczas ruchu w przypadku więzów nieidealnych (przy przesuwaniu, toczne, statyczne - przesuwanie / toczenie, kinetyczne - gdy pojawia się ruch)

REDUKCJA - zastapienie ukladu sil ukl prostszym. Obieram dowolny punkt O (biegun redukcji).

Zaczepiamy w nim:

Wektor sumy ukladu sil. Zawsze jest taki sam. Suma Pi; S=Sxi + Syj S=pierw z Sx, Sy

Wektor momentu ogolnego.Zalezy on od obioru bieguna redukcji. M = Suma Mo (Pi).

Ostatecznie dzialanie ukladu sil zastepuje uklad 2 wektorow S - wekt glowny Mo - moment glowny.

CHROPOWATOSC - zbior drobnych wzniesien i mikronierownosci.

Stykajace się ciala sa chropowate i wtedy wystepuja reakcje :

Na - reakcja normalna=sila nacisku

Ta - reakcja styczna=sila tarcia suchego.

W czasie zamierzonego przesuniecia cial nierownosci zachaczaja o siebie - wystepuje sila tarcia.

Sila tarcia suchego lezy w plaszczyznie stykajacych się cial, ma zwrot zawsze przeciwny do zamierzonego przesuniecia, a wartosc to : Ta <= uNa

- prawo Coulomba (u - wielkość bezwymiarowa - wspol tarcia suchego) - wyznacza się doswiadczalnie - zalezy glownie od rodzaju stykajacych się cial i gladkosci powierzchni.

W statyce interesuje nas max wart sily tarcia

- tarcie rozwiniete. Ta = uNa. Wówczas calkowita reakcja będzie Ra= Na + Ta.

Wartosc reakcji calkowitej Ra = pierw. Na2 + Ta2 = (pierw. 1+ u2 )Na . W ukl techn wsp. tarcia suchego jest maly to przyjmujemy u = ro (kat tarcia).

Obracajac reakcje calkowita wokół reakcji normalnej o kat 2*PI dostajemy tzw stozek tarcia. Stozek jest wtedy gdy powierzchnie sa chropowate. Rownowaga cial wystapi wówczas gdy Q + Ra = 0 czyli linia dzialnia sily Q w najgorszym przypadku pokrywa się z tworzaca stozka. Jeżeli linia dzialania poza stozkiem - ruch.

SILA To mechaniczne odzialywanie cial na siebie - takie pod wplywem którego ciała deformuja się lub nabywaja ruch.

Sila jest wielkoscia wektorowa,tzn jej jednoznaczne okreslenie wyumaga podania: kierunek, zwrot, wartrosc, punkt zaczepienia.

Jednosta sily 1[N].

Ponieważ bryly sa sztywne to wektor sily można przesunac wzdluz jego lini dzialania.

Siłą jest oddziaływanie, które powoduje przesunięcie ciała sztywnego lub odkształcenie plastycznego (w skutek kontaktu - lokalnie, oddziaływanie dalekiego zasięgu- nielokalne), posiada cechy wektora

Siły:

CZYNNE: działają na układ materialny niezależnie od nałożonych na nie więzów

BIERNE: reakcje więzów

PARA SIL - Uklad 2 sił = wartosci i rownoleglych, o przeciwnych zwrotach(r - odleglosc miedzy silami, ramie)

Mo=F*r - Moment pary jest wektorem, kierunek prostopadły do plaszczyzny, wyznaczonej przez te pare. Pary nie mozna zastapic 1 sila wypadkowa ani rownozwazaca.

Wlasnosci:

Skutek dzialania pary sil nie zmieni sie jesli dana pare przeniesiemy w dowolne miejsce w jej plaszczyźnie.

Skutek dzialania pary sil nie zmieni się, jezeli proporcjonalnie powiekszymy sily pary a pomniejszymy jeje ramie lub odwrotnie

Pare sil mozna zrown. Tylko 2 para sil o rownym momencie lecz przeciwnym znaku. Jezeli na cialo znajdujace sie w spoczynku dzialamy dowolna liczba par sil znajdujacych sie w rownowadze to cialo to pozostaje nadal w spoczynku.. Dowolny uklad par sil jest w równoważny gdy suma momentow geometrycznych tych par = 0

WIEZY - pewne czynniki krepujace ruch ciala. Więzy odziaływuja na ciało silami zwanymi silami reakcji. Jeżeli cial stykaja się swobodnie to reakcje wiezow sa zaczepione w punkcie stycznosci na kierunku prostopadlym do plaszczyzny stycznosci. Jeżeli wiezem sa tzw ustroje jednowymiarowe ( liny,lancuchy, tasmy) to reakcje tych wiezow zaczepione lub przylozone sa w punkcie w którym wiezy stykają się z cialem i reakcje maja kierunek osi geometrycznej wiezow.

Jezli wiezami na plaszczyxnie jest podpora stala to wiezy te odbieraj cialu 2 stopnie swobody. Wystepuja 2 sily reakcji w punkcie bedacym przegubem i sa na kierunku prostopadlym. Jezli wiezem jest podpora ruchoma to odbiera cialu 1 stopień swobody.

Jezli wiezem jest lozysko oporowe to na plaszczyznie wystepuja 2 sily reakcji na kierunkach prostopadłych.

Jezli wiezem jest lozysko szyjne to na pl wystepuje 1 sila reakcji.

WIĘZY IDEALNE (PUNKTOWE)- jeśli wektor reakcji ^ do powierzchni / krzywej stanowiącej więzy, lub jeśli więzem jest punkt: PODPORA PRZEGUBOWA NIEPRZESUWNA, DWUKIERUNKOWO

PRZESUWNA, Z JEDNOKIERUNKOWYM PRZESUWEM, ZAMOCOWANIE SZTYWNE (UTWIERDZENIE) - para sił + moment utwierdzenia, PRĘT PRZEGUBOWY (CIĘGNO)

ZASADA OSWOBODZANIA WIĘZÓW - układ materialny można traktować jako swobodny tzn. uwolnić go od więzów i włączyć siły reakcji więzów do układu sił

DWOJKA ZEROWA - uklad 2 sił leżących na 1 prostej o zwrotach przeciwnych i takich samych wartosciach. To najprostszy uklad sil pozostajacy w rownowadze. Jedna sila nie może pozostac nigdy w rownowadze.

SRODKOWY UKŁAD SIŁ - to uklad w którym linie dzialnia sił przecinaja się w jednym punkcie.

Dzialanie tego ukladu możemy zastapic sila wypadkowa:

W = P1 + P2 + P3 ... + Pn

S = P1 + P2 + P3 + Pn

Wektor sily wypadkowej zaczepiony jest w punkcie zbieznosci i ma kierunek osi l , wekt sumy może być zaczepiony w dowolnym punkcie. Uklad będzie w rownowadze ( wielobok będzie zamkniety) gdy Sx,Sy,Sz=0

MOMENT SIL - Jeżeli na bryle dzial uklad sil czynnych , to on powoduje ruch, obroty - informacje na temat obrotu cial wynikaja z tzw. momentu ukladu sił.

Wektor momentu sily względem bieguna zaczepiony jest w biegunie; kierunek wektora momentu jest prost do plaszczyzny, zwrot wekt momentu jest taki ze wektory zaczepione w punkcie O musza tworzyc ukl prawoskretny.

Jednostka momentu jest 1[Nm]. Jeżeli sila daje moment wzg bieguna tzn ze powoduje ona obrot wzg tego bieguna. Jezeli M = 0 to nie ma obrotu.

Wektor momentu sily wypadkowej wzg dowolnego bieguna = sumie geom wekt momentow sil skladowych okreslonych wzg tego samego bieguna.

Wektor momentu ogolnego jest wektorem swobodnym - można go zaczepiac w dowolnym punkcie nie zmieniając jego kierunku zwrotu ani wartosci.

Mo= (pierw.Mx2 +My2 + Mz2)

Wart momentu ogolnego wzg osi X jest suma algebr wszytkich rzutow wzg osi X.

Wlasnosci momentu:

- Sile rozkladamy na skladowe XYZ

- Sila skladowa rownolegla do osi nie daje momentu wzg tej osi.

- Moment wzg osi daja skladowe które leza w pl prostop.

Jako obserwatorzy ostawiamy się zawsze w dodatniej galezi osi tak aby uklad sil był przed nami.

KRATOWNICE - Uklad pretow polaczonych w sztywna calosc ( kratownice plaskie,przestrzenne).

W kratownicy interesuja nas nie tylko reakcje podporowe(zewnetrzne rozwiazywanie) ale również sile jakie przenosza poszczegolne prety kratownicy (wewnetrzne rozw.)

Rozwiazanie kratownicy wymaga wprowadzenie tzw kratownicy idealnej która jest modelem kratownicy rzeczywistej. (wezly sa przegubami)

Warunek wewnetrznej rozwiązalnosci kratownicy - p = 2W - 3 (plaski) p = 3W - 6

Kratownica plaska jest wewnetrznie rozwiązywalna wówczas gdy spelnione jest rownanie a ono jest spelnione wówczas gdy elemetarne pola kratownicy sa trojkątami, nie wystepuja wezly wewnetrzne oraz krzyzujace się prety.

REDUKCJA PRZESTRZENNA - Obieramy biegun redukcji ( P1 ... Pn ) - zbior sil zwany przestrzennym dowolnym ukladem sil.

W wyniku przestrzennej redukcji dostajemy:

Wektor glowny - jest niezmiennikiem ukladu

S = pierw z Sx2 + Sy2 + Sz2 ... Sx = Sy= Sz=

Moment glowny - nie jest niezmiennikiem układu

Mo = pierw z Mx2+My2+Mz2

Mx = ... My =... Mz-...

S*Mo = S*Mocosd=SxMx+SyMy+SzMz

cos d = SxMx+SyMy+SzMz / S*Mo

W zaleznosci od wielkosci kata d mamy różne redukcje :

S nie = 0 Mo = 0 - ukl spr się do sily wypad

S=0 Mo różne 0 - ukl sil sprowadza się do pary wyp

S nie = 0 Mo nie = 0 d=0(180) ŕ ukl sil tworzy skretnik prosty ( 2 sily skosne)

S nie = 0 Mo nie = 0 0S nie = 0 Mo nie = 0 d = 90st ŕ dio sily wypadkowej

S=0 Mo=0 - uklad w rownowadze

RÓWNOWAGA PRZESTRZENNEGO DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ

S=0 ; S= pierw z Sx2+Sy2+Sz2 ; Sx=... Sy= Sz=

Mo=0 Mo = pierw z Mx2+My2+Mz2 Mx=... My=...

Do rozwiazania mamy uklad 6 rownan z 3 rzutami 3 monmetami

SRODEK MASY - Rownanie mrs = Suma mi*ri - okresla polozenie charakterystycznego punktu materialnego który nazywamy srodkiem masy - to taki pkt w którym umieszczona jest calkowita masa ukladu.

Rzutujac na osie dostajemy - mxs = Suma mi*xi mys = SUma mi*yi mzs = Suma mi*zi

SRODEK CIEZKOSCI - charakterystyczny punkt w którym zaczpiamy sile ciezkosci.

Każdy uklad punktów materialnych w polu ziemskim ma odpowiedni ciezar.

Jeśli uklad punktow materialnych jest jednorodny (tzn wykonywany z tego samego materialu):

Pi= mi*g ; mi=Pi/g Dostajemy:

Xs = Suma Pi*xi/Suma Pi Ys= ... Zs= ... Rownanie to okresla wsp pkt S który wówczas nazywamy srodkiem ciezkosci.

Srodek masy to taki pkt w którym umieszcamy calkowita mase ukladu.

Srodek ciezkosci to taki pkt w którym umieszcamy calkowity ciezar ukladu. W warunkach ziemskich to te same punkty.

Wiadomo ze każdy element wielkosci skalarnej h ma ciezar okreslony zaleznoscia Pi=hi*u - wprowadzajac to dostajemy - Xs = suma hixi / suma hi Ys=... Zs=... - to wspolrzedne srodka ciezkosci dowolnej jednorodnej wielkości skalarnej

Twierdzenie o symetrii:

1. Jeżeli jednrodna wielkosc skalarna ma plaszczyzne symetrii, srodek ciezkosci lezy w tej plaszcyznie

2. Jeżeli jednrodna wielkosc skalarna ma os symetrii srodek ciezkosci lezy na tej plaszczyznie

3. Jeżeli jednrodna wielkosc skalarna ma srodek symetrii srodek ciezkosci pokrywa się ze srodkiem symetrii

Metoda calkowania sr ciezkości - Xs = calka dhx / calka dh

CIEGNA - to ustroje jednowymiarowe (lina, lancuch, tasma)

Równanie równowagi:

Sx= dT+Scos df/2 - (S+ds)cos df/2 = 0

Sy = dN - Ssin df/2 - (S+ds)sin df/2 =0

dT=udN ; (1) dT=ds (2) dN= S df (3) ds = u S df

Jeżeli szukamy rownowagi ciegna calkujemy ds/s = udf i mamy S2= s1*e ^ u*alfa

Wzor Eulera podaje zaleznosc miedzy silami napiecia ciegna opisujacego krazek jeżeli powierzchnie zetkniecia sa chropowate.

PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA - przestrzeń E^3: żaden, punkt nie jest wyróżniony, izotropowa (żaden kierunek), metryka (są jednostki - wersory), układ kartezjański

CZAS - jednowymiarowa przestrzeń (chwila =liczba, przedział czasu= liczbowy)

METODA KINETOSTATYKI - sprowadzanie zagadnienia kinetyki do zagadnień statyki poprzez dołączanie sił bezwładności d'Alamberta do układu sił zewnętrznych

ELEMENTARNA PRACA PARY SIŁ - dL=M*(d_fi) (M- moment pary sił)

MOC - praca wykonana w jednostce czasu P=L/t w ruchu postępowym, jeśli kierunek siły pokrywa się z kierunkiem przesunięcia P=F*V

SIŁY BEZWŁADNOŚCI d'Alamberta:

ruch postępowy: B= -ma [N],

ruch obrotowy: Bo= -Io*gamma [Nm] gamma- przyspieszenie kątowe

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH LAGRANGE'A - układ niezależnych parametrów (q1..qs) określający jednoznacznie położenie każdego punktu układu względem układu odniesienia

LSS=2N-k (dla płaszczyzny), lub LSS=3N-k dla 3D (N - liczba punktów, k - liczba równań więzów)

---