SPRAWOZDANIE Z PROJEKTU
GEODEZJA GÓRNICZA I METROLOGIA

Wykonali:

SPIS TREŚĆI

I. Wstęp

Do projektu otrzymaliśmy mapę wysokościową w skali 1:5000 obszaru o powierzchni 1,69 km. Pracę nad mapą prowadziliśmy wykorzystując kroczek, podziałkę transwersalną oraz ekierki. Celem projektu było:

1. Zdjęcie współrzędnych 9 punktów zaznaczonych na mapie.

2. Obliczenie za pomocą w/w współrzędnych długości trzech odcinków

3. Obliczenie azymutów dwóch odcinków oraz kąta pomiędzy nimi

4. Narysowanie profilu hipsometrycznego wzdłuż określonej linii przekrojowej

5. Obliczenie metodą analityczną (za pomocą wzoru Gaussa) pola wielokąta

6. Wyznaczenie metodą graficzną pola wielokąta (dwukrotnie podzielić wielobok na trójkąty z dwóch wierzchołków)

7. Porównanie wartości pól wielokątów wyznaczonych w zadaniach 5 i 6.

II. Zdejmowanie współrzędnych punktów

Wykorzystując podziałkę transwersalną i kroczek zdjęliśmy z mapy współrzędne 9 punktów:

Tabela 1 Współrzędne punktów na mapie

Punkt	X	Y
1	4350	7760
2	4400	7820
3	4140	8200
4	3890	8060
5	3890	7830
6	3950	7790
101	4160	7335
102	4090	7560
103	4760	7640

III. Obliczanie ze współrzędnych długości odcinków 101-102 i 102-103

Aby obliczyć długości odcinków 101-102 i 102-103 posłużyliśmy się wzorem:

gdzie:

d - długość odcinka

x_b - iksowa współrzędna końcowego punktu

x_a - iksowa współrzędna początkowego punktu

y_b - igrekowa współrzędna końcowego punktu

y_a - igrekowa współrzędna początkowego punktu

1. Długość odcinka 101-102

101: x = 4160 y = 7335

102: x= 4090 y = 7560

$$\left| 101 - 102 \right| = \ \sqrt{\left( x_{102} - x_{101} \right)^{2} +}\left( y_{102} - y_{101} \right)^{2} = \sqrt{\left( 4090 - 4160 \right)^{2} +}\left( 7560 - 7335 \right)^{2} = \mathbf{236\ m}\ $$

1. Długość odcinka 102-103

102: x= 4090 y = 7560

103: x = 4760 y = 7640

$$\left| 102 - 103 \right| = \ \sqrt{\left( x_{103} - x_{102} \right)^{2} +}\left( y_{103} - y_{102} \right)^{2} = \sqrt{\left( 4760 - 4090 \right)^{2} +}\left( 7640 - 7560 \right)^{2} = \mathbf{675\ m}\ $$

IV. Obliczanie ze współrzędnych azymutów odcinków 101-102 i 102-103 oraz kąta 101-102-103

Aby obliczyć azymut danego odcinka należy kolejno:

1. Obliczyć Δx czyli różnicę współrzędnych iksowych punktów krańcowych odcinka oraz Δy (analogicznie ze wsp. igrekowymi).

2. Obliczyć kąt φ ze wzoru:

$\mathbf{\text{\ φ}}\mathbf{= arctg|}\frac{\mathbf{\text{Δy}}}{\mathbf{\text{\ Δx}}}\mathbf{|}$

3. Ustalenie ćwiartki kąta azymutu:

I ćwiartka - Δx⁺ Δy⁺

II ćwiartka - Δx^- Δy⁺

III ćwiartka - Δx^- Δy^-

IV - ćwiartka - Δx⁺ Δy^-

4. Obliczenie azymutu z odpowiedniego wzoru:

I ćwiartka - Az = φ

II ćwiartka - Az = 200^g - φ

III ćwiartka - Az = 200^g + φ

IV - ćwiartka - Az = 400^g - φ

1. Azymut odcinka 101-102

Δx = -70 Δy = 225 => II ćwiartka

Kąt φ:

$$\varphi = arctg\left| \frac{\text{Δy}}{\text{\ Δx}} \right| = \ \text{arctg}\left| \frac{225}{- 70} \right| = arctg3,21 = \mathbf{80}^{\mathbf{g}}\mathbf{77}^{\mathbf{c}}\mathbf{42}^{\mathbf{\text{cc}}}$$

Azymut odcinka 101-102:

Az = 200^g -  80^g77^c42^cc = 119^g22^c58^cc

2. Azymut odcinka 102-103

Δx = 670 Δy = 80 => I ćwiartka

Kąt φ:

$$\varphi = arctg\left| \frac{\text{Δy}}{\text{\ Δx}} \right| = \ \text{arctg}\left| \frac{80}{670} \right| = arctg0,119 = \mathbf{7}^{\mathbf{g}}\mathbf{54}^{\mathbf{c}}\mathbf{03}^{\mathbf{\text{cc}}}$$

Azymut odcinka 101-102:

Az = φ =7^g54^c03^cc

3. Kąt 101-102-103

Aby obliczyć kąt 101-102-103 możemy wykorzystać obliczone wcześniej azymuty i fakt że koło charakteryzuje się kątem pełnym (400^g).

θ 101 − 102 − 103=200^g − 119^g22^c58^cc +  7^g54^c03^cc = 80^g77^c42^cc + 7^g54^c03^cc =  88^g31^c45^cc

 

V. Profil wzdłuż linii przekrojowej A-A

VI. Pole powierzchni wieloboku 1-6 - METODA GAUSSA

Oby obliczyć pole powierzchni dowolnego wieloboku o znanych współrzędnych możemy wykorzystać jeden ze wzorów Gaussa:

$$\mathbf{- 2}\mathbf{P =}\sum_{\mathbf{i}}^{\mathbf{n}}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i + 1}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{i - 1}} \right)\mathbf{y}_{\mathbf{i}}}$$

$$\mathbf{\ \ \ 2}\mathbf{P =}\sum_{\mathbf{i}}^{\mathbf{n}}{\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i + 1}}\mathbf{-}\mathbf{y}_{\mathbf{i - 1}} \right)\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}$$

POLE WIELOKĄTA 1-6:

Punkt 1: 4350x(7820-7790) = 130500

Punkt 2: 4400x(8200-7760) = 1936000

Punkt 3: 4140x(8060-7820) = 993600

Punkt 4: 3890x(7830-8200) = -1439300

Punkt 5: 3890x(7790-8060) = -1050300

Punkt 6: 3950x(7760-7830) = -276500

 2P =  130500 + 1936000 +  993600 − 1439300 − 1050300 − 276500 = 294000 ∖ n

P = 147000 m²

VI. Pole powierzchni wieloboku 1-6 - METODA GRAFICZNA

Aby obliczyć pole wieloboku metodą graficzną należy dwukrotnie poprowadzić z dwóch różnych wierzchołków odcinki do pozostałych wierzchołków. Następnie sumujemy pola powstałych trójkątów i otrzymujemy pole wieloboku. Wysokości trójkątów mierzymy podziałką transwersalną.

1. Pole trójkątów wyznaczonych z wierzchołka 2

Δ Pierwszy

h_I = 58

$$\left| 2 - 6 \right| = \ \sqrt{\left( 3950 - 4400 \right)^{2} +}\left( 7790 - 7820 \right)^{2} = 451$$

$P_{I}\ = \ \frac{58*451}{2} = \mathbf{13079\ }$m²

Δ Drugi

h_II = 60

$$\left| 2 - 5 \right| = \ \sqrt{\left( 3890 - 4400 \right)^{2} +}\left( 7830 - 7820 \right)^{2} = 510$$

$P_{\text{II}}\ = \ \frac{60*510}{2} = \mathbf{15300}$ m²

Δ Trzeci

h_III = 230

|2−5| =  510

$P_{\text{III}}\ = \ \frac{230*510}{2} = \mathbf{58650}$ m²

Δ Czwarty

h_IV= 163

$$\left| 2 - 4 \right| = \ \sqrt{\left( 3890 - 4400 \right)^{2} +}\left( 8060 - 7820 \right)^{2} = 564$$

$P_{\text{IV}}\ = \ \frac{163*564}{2} = \mathbf{45966}$ m²

POLE WIELOKĄTA 1-6:

P = P_I + P_II + P_III + P_IV = 13079 + 15300 + 58650 + 45966 = 132995 m²

2. Pole trójkątów wyznaczonych z wierzchołka 3

Δ Pierwszy

h_I = 70

$$\left| 3 - 1 \right| = \ \sqrt{\left( 4350 - 4140 \right)^{2} +}\left( 7760 - 8200 \right)^{2} = 488$$

$P_{I}\ = \ \frac{70*488}{2} = \mathbf{17080}$ m²

Δ Drugi

h_II = 76

$$\left| 3 - 6 \right| = \ \sqrt{\left( 3950 - 4140 \right)^{2} +}\left( 7790 - 8200 \right)^{2} = 452$$

$P_{\text{II}}\ = \ \frac{76*452}{2} = \mathbf{17176}$ m²

Δ Trzeci

h_III = 122

$$\left| 3 - 5 \right| = \ \sqrt{\left( 3890 - 4140 \right)^{2} +}\left( 7830 - 8200 \right)^{2} = 447$$

$P_{\text{III}}\ = \ \frac{122*447}{2} = \mathbf{27267}$ m²

Δ Czwarty

h_IV= 345

|3−1| =  488

$P_{\text{IV}}\ = \ \frac{345*488}{2} = \mathbf{84180}$ m²

POLE WIELOKĄTA 1-6:

P = P_I + P_II + P_III + P_IV = 17080 + 17176 + 27267 + 84180 = 145703 m²

VI. Porównanie pól wyliczonych dwoma metodami

Metoda Gaussa: P=147000 m²
Metoda graficzna: P₂ =132995 m²

P₃ =145703 m²

Pola wielokąta wyznaczone metodą Gaussa oraz metodą graficzną różnią się jedynie 1297 m², natomiast pole wyznaczone metodą graficzną z wierzchołka 3 różni się od tego z wierzchołka 2 o 12708 m². Różnica ta prawdopodobnie wynika z niedokładnego wyznaczenia i zmierzenia podziałką transwersalną wysokości trójkątów.

VII. Wnioski końcowe

Ewentualne błędy w pierwszych 4 zadaniach mogą wynikać z niedokładnego zdjęcia współrzędnych za pomocą podziałki transwersalnej. Błędy w 3 ostatnich zadaniach wynikają natomiast z niedokładnego narysowania i pomiaru podziałką transwersalną wysokości trójkątów wyznaczonych w metodzie graficznej. Dlatego tak ważne jest w geodezji sprawdzanie błędów, oraz dokładne pomiary, gdyż nawet niewielkie odchylenia od rzeczywistości w pomiarach mogą skutkować zakłamanymi wynikami obliczeń.