AKSJOMATY EUKLIDESA

Sformułowany przez Euklidesa zbiór podstawowych pojęć i twierdzeń geometrycznych dla płaskiej przestrzeni oparty jest na systemie pięciu aksjomatów.

1.Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.

2.Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie.

3.Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi.

4.Wszystkie kąty proste są równe.

5.Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA:

Przestrzeń euklidesowa to uogólnienie płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej

Po wprowadzeniu na płaszczyznę lub w przestrzeń układu współrzędnych kartezjańskich, każdy punkt można jednoznacznie identyfikować przy pomocy jego współrzędnych.

NIEZMIENNIKI

PUNKT NA PROSTEJ:

Punkt C należy do prostej, jeżeli odpowiednie rzuty punktu leżą na odpowiednich rzutach tej prostej.

PUNKT P NA P ŁASZCZYŹNIE:

Punkt P leży na płaszczyźnie π, jeżeli jego rzuty leżą na odpowiednich rzutach prostej należącej do tej płaszczyzny.

PROSTA NA PŁASZCZYŹNIE:

Prosta b leży na płaszczyźnie, jeżeli jej ślady Vb i Hb leżą na odpowiednich śladach va i ha płaszczyzny a. ... jeżeli ma z nią, co najmniej,

dwa punkty wspólne.

RÓWNOLEGŁOŚĆ PROSTEJ I PŁASZCZYZNY:

Prosta a jest równoległa do płaszczyzny π, jeżeli jest równoległa do co najmniej jednej prostej tej płaszczyzny lub jeżeli leży na płaszczyźnie.

RÓWNLEGŁOŚĆ PŁASZCZYZN:

Płaszczyzna π jest równoległa do π2, jeżeli dwie proste przecinające się jednej płaszczyzny są odpowiednio równoległe do co najmniej dwu prostych przecinających się drugiej płaszczyzny.

Dwie płaszczyzny π i π2 są równoległe, jeżeli jednoimienne ich ślady są do siebie równoległe.

PROSTOPADŁOŚĆ PŁASZCZYZNY I PROSTEJ:

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny gdy jest prostopadła do co najmniej dwóch prostych przecinających się, należących do tej płaszczyzny.

Prosta przebija płaszczy-znę pod kątem prostym, jeżeli jej rzuty są prosto-padłe do odpowiednich śladów płaszczyzny.

PROSTOPADŁOŚĆ PŁASZCZYZN:

Płaszczyzna π jest prostopadła do płaszczyzny π2, jeżeli π zawiera co najmniej jedną prostą prostopadłą do płaszczyzny π2.

ELEMENTY NIEWŁAŚCIWE:

Do trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej można dodać tzw. elementy niewłaściwe:

każda prosta posiada punkt niewłaściwy K? utożsamiany z kierunkiem tej prostej;

wszystkie proste równoległe posiadają wspólny punkt niewłaściwy;

każda płaszczyzna zawiera prostą niewłaściwą, będącą zbiorem punktów niewłaściwych wszystkich prostych leżących na tej płaszczyźnie lub równoległych do tej płaszczyzny;

wszystkie płaszczyzny równoległe posiadają wspólną prostą niewłaściwą,

prosta równoległa do płaszczyzny przebija tę płaszczyznę w punkcie niewłaściwym, leżącym na prostej niewłaściwej tej płaszczyzny;

prosta niewłaściwa jest zbiorem samych tylko punktów niewłaściwych;

jeżeli do prostej należy chociaż jeden punkt właściwy, to cała ta prosta jest właściwa (posiada ona tylko jeden punkt właściwy);

dwa różne punkty niewłaściwe jednoznacznie wyznaczają prostą niewłaściwą;

do całej przestrzeni 3D dołączyć można jedną płaszczyznę niewłaściwą, będącą zbiorem punktów niewłaściwych i prostych niewłaściwych wszystkich prostych i płaszczyzn przestrzeni

WIDOK

WIDOK– rzut prostokątny przedstawiający widoczną część przedmiotu, a także w miarę potrzeby, jego zarysy niewidoczne

Widoki cząstkowe wykonuje się w postaci odrębnych rzutów, których nie ogranicza się żadną linią od strony nie narysowanej części przedmiotu, chyba że rysuje się widok połowy określonego fragmentu przedmiotu.

Widok cząstkowy powinien być wykonany w rzutowaniu metodą A, linią ciągłą grubą i połączony z widokiem lub przekrojem głównym linią osiową.

Trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa uzupełniona elementami niewłaściwymi tworzy PRZESTRZEŃ RZUTOWĄ.

Podstawową formą zapisu dokumentacji technicznej trójwymiarowych obiektów materialnych tworzących daną konstrukcją są płaskie dwuwymiarowe rysunki zwane RZUTAMI.

METODY ODWZOROWAŃ OBIEKTÓW PRZESTRZENNYCH NA PŁĄSZCZYŹNIE MUSZĄ SPEŁNIAĆ NASTĘPUJĄCE WARUNKI:

BYĆ JEDNOZNACZNE, tzn. przy ustalonej metodzie odwzorowania jednemu obiektowi przestrzennemu musi być przypisany jeden rzut (lub jeden zespół rzutów) i na odwrót - mając jeden rzut (lub zespół rzutów) powinniśmy na jego podstawie móc odtworzyć dokładnie ten sam odwzorowany obiekt w przestrzeni trójwymiarowej;

dawać możliwość RESTYTUCJI, tzn. znając rzut (lub zespół rzutów) obiektu trójwymiarowego powinniśmy mieć możliwość dokonania analizy jego własności geometrycznych.

RZUTY

RZUT ŚRODKOWY:

Aparat projekcyjny rzutowania środkowego składa się z umie-szczonych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej:

płaszczyzny ? zwanej rzutnią;

środka rzutowania 0 (punktu właściwego wyznaczającego kierunek rzutowania);

promieni rzutujących (odwzorowujące w punktach przebicia z rzutnią punkty, przestrzeni przez które przebiegają).

RZUT RÓWNOLEGŁY:

Rzutem równoległym nazywamy jednoznaczne przekształcenie geometryczne przestrzeni trójwymiarowej na dwuwymiarową przy pomocy utworzonego w przestrzeni rzutowej aparatu rzutowania równoległego, zbudowanego z:

płaszczyzny ? zwanej rzutnią;

oraz nie należącego do rzutni ? punktu niewłaściwego K? utożsamianego z kierunkiem rzutowania k? .

Promienie rzutujące, biegnąc od punktu niewłaściwego będą więc ustawione do siebie równolegle, a w punktach przebicia z rzutnią ? odwzorować będą rzuty równoległe punktów przestrzeni, przez które przebiegają.

RZUT STOSOWANY:

Rzutowanie środkowe i równoległe realizują jednoznaczne odwzorowania obiektów przestrzeni trójwymiarowej w figury płaskie leżące na rzutni, ale te odwzorowania nie są jednoznaczne, a więc nie są odwracalne.

Aparat rzutowania z dołączoną umową o odwracalności, nazywamy rzutem stosowanym.

dwa rodzaje rzutów stosowanych zbudowanych za pomocą aparatu rzutowania równoległego:

aksonometria

rzuty Monge’a