Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

F

orm

uªy

teoriomnogo± io

w

e

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

A

Aksjomat

istnienia

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

C

Aksjomat

ekstensjonalno± i

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

D

Aksjomat

regularno± i

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

E

Aksjomat

wy inania

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

F

Aksjomat

pary

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

G

Aksjomat

sum

y

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

I

Aksjomat

zbioru

p

otgo

w

ego

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

K

Aksjomat

niesk

o« zono± i

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

L

Aksjomat

zastp

o

w

ania

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

M

Aksjomat

wyb

oru

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

N

‚

wi zenia

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

O

Zadania

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

P

F

orm

uªy

teoriomnogo± io

w

e

☛

W

teorii

mnogo± i

p

o

j iem

pierw

otn

ym

jest

zbiór

i

rela ja

nale»enia

do

zbioru.

T

o,

»e

x

nale»y

do

zbioru

y

zapisujem

y

sym

b

oli znie

x

∈ y

.

☛

W

teorii

mnogo± i

zwrot

y:

elemen

t

zbioru,

zbiór

i

ro

dzina

zbioró

w

zna z¡

to

samo.

Ozna za

to

m.in.,

»e

je»eli

x

∈ y

,

to

zaró

wno

x

jak

i

y

m

usz¡

b

y¢

zbiorami.

☛

Zakresem

zmienno± i

wystpuj¡ y

h

w

teorii

mnogo± i

zmienn

y

h

s¡

zbiory

.

W

ystpuj¡ e

dalej

zbiory

b

dziem

y

ozna zali

literami

u

,

v

,

w

,

x

,

y

,

z

i

t

.

☛

Istnieje

kilk

a

w

ersji

ukªadu

aksjomató

w

teorii

mnogo± i;

prezen

to

w

an

y

dalej

ukªad

to

tzw.

aksjomat

yk

a

Zermello-F

raenkla

z

p

ewnikiem

wyb

oru

(ZF

C).

☛

Na

aksjomat

yk



ZF

C

skªada

si

10

aksjomató

w;

ró»ni

autorzy

ró»nie

je

nazyw

a

j¡



w

literaturze

mo»na

sp

otk

a¢

nazwy

ró»ni¡ e

si

o

d

p

o

dan

y

h

dalej.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

A

F

orm

uªy

teoriomnogo± io

w

e

(2)

☛

F

ormuªami

te

oriomno

go± iowymi

nazyw

a¢

b

dziem

y

te

i

t

ylk

o

te

napisy

,

które

mo»na

zbudo

w

a¢

wsku-

tek

zastoso

w

ania

sk

o« zon¡

li zb



razy

p

oni»szy

h

reguª.

(1)

Je»eli

x

i

y

s¡

zbiorami

lub

zmienn

ymi,

to

x = y

i

x

∈ y

s¡

(

atomowymi

)

form

uªami

teoriomnogo± io-

wymi.

(2)

Je»eli

ϕ

jest

form

uª¡

teoriomnogo± io

w

¡,

a

x

jest

zmienn¡,

to

(ϕ)

,

¬ϕ

,

∀

x

ϕ

i

∃

x

ϕ

s¡

form

uªami

teoriomnogo± io

wymi.

(3)

Je»eli

ϕ

i

ψ

s¡

form

uªami

teoriomnogo± io

wymi,

to

(ϕ ∧ ψ)

,

(ϕ ∨ ψ)

,

(ϕ ⇒ ψ)

i

(ϕ ⇔ ψ)

s¡

form

uªami

teoriomnogo± io

wymi.

☛

Ab

y

skró

i¢

zapis

niektóry

h

form

uª

teoriomnogo± io

wy

h,

b

dziem

y

k

orzysta¢

z

kilku

skróto

wy

h

zapisó

w.

Przyjm

ujem

y

w

sz zególno± i,

»e:



x

∋ y

df

= y

∈ x

,

x /

∈ y

df

= ¬(x

∈ y)

i

x

6= y

df

= ¬(x = y)

;



x

⊆ y

df

=

∀

z

(z

∈ x ⇒ z ∈ y)

i

x ( y

df

= x

⊆ y ∧ x 6= y

;



x

⊇ y

df

= y

⊆ x

i

x ) y

df

= y ( x

.

☛

Napis

x

⊆ y

zytam

y:

x

zawier

a

si

w

y

,

x

jest

p

o

dzbior

em

y

lub

y

jest

nadzbior

em

x

.

Napis

x ( y

zytam

y:

x

jest

wªa± iwym

p

o

dzbior

em

y

(

y

jest

wªa± iwym

nadzbior

em

x

).

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

B

Aksjomat

istnienia

Istnieje

zbiór

pusty,

tj.

zbiór

nie

p

osiadaj¡ y

»adny h

elementów;

symb

oli znie:

∃

u

∀

x

¬

(x

∈ u)

☛

Aksjomat

istnienia

mo»na

sform

uªo

w

a¢

tak»e

ina zej:

istnieje

jaki±

zbiór.

Oba

sform

uªo

w

ania

tego

aksjomatu

s¡

ró

wno

w

a»ne

na

grun ie

p

ozostaªy

h

aksjomató

w.

☛

Zbiór

pust

y

b

dziem

y

ozna zali

sym

b

olem

∅

.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

C

Aksjomat

ekstensjonalno± i

Zbiory

u

,

v

s¡

sobie

r

ówne

wte

dy

i

tylko

wte

dy,

gdy

maj¡

te

same

elementy;

symb

oli znie:

∀

u

∀

v



∀

x

(x

∈ u ⇔ x ∈ v)



⇔

u = v



☛

Aksjomat

ekstensjonalno± i

wyk

orzyst

yw

an

y

jest

wtedy

,

gdy

h em

y

udo

w

o

dni¢,

»e

jakie±

dw

a

zbiory

s¡

sobie

ró

wne

lub

wtedy

,

gdy

h em

y

wyk

aza¢,

»e

istnieje

dokªadnie

jeden

zbiór

o

jaki±

wªasno± ia

h.

☛

Z

aksjomatu

ekstensjonalno± i

i

aksjomatu

istnienia

wynik

a

m.in.

to,

»e

istnieje

dokªadnie

jeden

zbiór

pust

y

.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

D

Aksjomat

regularno± i

Ka»dy

niepusty

zbiór

u

p

osiada

element

v

,

do

któr

e

go

nie

nale»¡

»adne

elementy

zbioru

u

;

symb

oli znie:

∀

u



∃

x

x

∈ u



⇒

∃

v



v

∈ u ∧

∀

x

(x

∈ v ⇒ ¬(x ∈ u))



☛

Aksjomat

regularno± i

elimin

uje

p

ewne

patologi zne

sytua je,

które

mogªyb

y

zaistnie¢,

gdyb

y

ten

aks-

jomat

p

omin¡¢;

tak

¡

sytua j¡

jest

np.

fakt

nale»enia

zbioru

do

samego

siebie.

☛

Jedn¡

z

k

onsekw

en ji

aksjomatu

regularno± i

jest

to,

»e

rela ja

∈

p

osiada

elemen

t

minimaln

y

w

k

a»dym

niepust

ym

zbiorze.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

E

Aksjomat

wy inania

Dla

ka»dej

formuªy

te

oriomno

go± iowej

ϕ

,

d

la

któr

ej

v

nie

jest

zmienn¡

woln¡,

domkni

ie

formuªy

∀

u

∃

v

∀

x

(x

∈ v ⇔ (x ∈ u ∧ ϕ))

jest

zdaniem

pr

awdziwym.

☛

Aksjomat

wy inania

mó

wi,

»e

z

elemen

tó

w

k

a»dego

zbioru

u

,

p

osiada

j¡ y

h

wªasno±¢,

któr¡

mo»na

opisa¢

przy

p

omo

y

p

ewnej

form

uªy

ϕ

,

mo»na

ut

w

orzy¢

zbiór.

☛

T

en

jedyn

y

zbiór,

zªo»on

y

z

t

y

h

i

t

ylk

o

t

y

h

elemen

tó

w

zbioru

u

,

które

ma

j¡

wªasno±¢

ϕ

,

ozna za¢

b

dziem

y

sym

b

olem

{x

∈ u : ϕ}

.

Zbiór

u \ v

df

= {x

∈ u : x /

∈ v}

to

r

ó»ni

a

zbioró

w

u

,

v

.

☛

Nie

jest

pra

wd¡,

»e

dla

k

a»dej

form

uªy

teoriomnogo± io

w

ej

ϕ

istnieje

zbiór

elemen

tó

w

j¡

sp

eªnia

j¡ y

h;

przykªadem

takiej

form

uªy

jest

x /

∈ x

lub

x = x

.

☛

Zaªo»enia

mó

wi¡ ego

o

t

ym,

»e

v

nie

mo»e

b

y¢

zmienn¡

w

oln¡

form

uªy

ϕ

nie

mo»na

p

omin¡¢;

dla

przykªadu

zdanie

∀

u

∃

v

∀

x

(x

∈ v ⇔ (x ∈ u ∧ x /

∈ v))

nie

jest

ju»

pra

wdziw

e.

☛

Je»eli

domkni ie

form

uªy

∃

v

∀

x

(ϕ ⇒ x

∈ v)

jest

zdaniem

pra

wdziwym,

to

zamiast

pisa¢

{x

∈ v : ϕ}

,

b

dziem

y

pisa¢

{x : ϕ}

.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

F

Aksjomat

pary

Dla

dowolny h

elementów

x

,

y

istnieje

zbiór

u

,

któr

e

go

elementami

s¡

x

or

az

y

;

symb

oli znie:

∀

x

∀

y

∃

u

(x

∈ u ∧ y ∈ u)

☛

Z

aksjomatu

pary

oraz

aksjomatu

wy inania

wynik

a,

»e

istnieje

tzw.

p

ar

a

nieup

orz¡dkowana

,

zyli

zbiór

{x, y}

df

= {z : z = x ∨ z = y}

.

Przyjm

ujem

y

,

»e:



{x}

df

= {x, x}

to

tzw.

singleton

x

;



(x, y)

df

= {{x}, {x, y}}

to

tzw.

p

ar

a

up

orz¡dkowana

.

☛

Istnienie

singletonó

w

oraz

par

up

orz¡dk

o

w

an

y

h

wynik

a

z

aksjomatu

pary;

z

aksjomatu

ekstensjonal-

no± i

wynik

a,

»e

(x, y) = (z, t)

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

x = z

i

y = t

.

☛

Na

mo

y

aksjomatu

ekstensjonalno± i

para

nieup

orz¡dk

o

w

ana

{x, y}

oraz

singleton

{x}

s¡

wyzna zone

jednozna znie

przez

sw

o

je

elemen

t

y

.

☛

Z

aksjomatu

pary

wynik

a,

»e

istniej¡

zbiory

jedno-

i

dwuelemen

to

w

e;

z

aksjomatu

pary

nie

wynik

a

jednak

istnienie

zbioró

w

o

wikszej

li zbie

elemen

tó

w.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

G

Aksjomat

pary

(2)

Nie

istnieje

zbiór

x

taki,

»e

x

∈ x

;

nie

istnieje

zbiór

wszystki h

zbior

ów.

Do

w

ó

d.

Gdyb

y

istniaª

zbiór

x

taki,

»e

x

∈ x

,

to



jak

nietrudno

spra

wdzi¢



jego

singleton

{x}

nie

sp

eªniaªb

y

aksjomatu

regularno± i.

Gdyb

y

istniaª

zbiór

wszystki

h

zbioró

w,

to

m

usiaªb

y

b

y¢

sw

oim

elemen

tem



sprze zno±¢.

2

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

H

Aksjomat

sum

y

Dla

ka»dej

r

o

dziny

zbior

ów

u

istnieje

zbiór

v

,

w

którym

zawier

aj¡

si

wszystkie

elementy

zbioru

u

;

symb

oli znie:

∀

u

∃

v

∀

x

(x

∈ u ⇒ x ⊆ v)

☛

Sum¡

i

przekr

ojem

(

z± i¡

wsp

óln¡

)

ro

dzin

y

zbioró

w

u

nazyw

a¢

b

dziem

y

o

dp

o

wiednio

zbiory

S u

df

=

{x :

∃

v∈u

x

∈ v}

i

T u

df

= {x :

∀

v∈u

x

∈ v}

;

z

aksjomatu

sum

y

i

aksjomatu

wy inania

wynik

a,

»e

k

a»dy

zbiór

p

osiada

sum,

a

k

a»dy

niepust

y

zbiór

p

osiada

przekró

j.

☛

Z

aksjomatu

ekstensjonalno± i

wynik

a,

»e

suma

i

przekró

j

zbioru

s¡

wyzna zone

jednozna znie



k

a»dy

zbiór

p

osiada

dokªadnie

jedn¡

sum,

a

k

a»dy

niepust

y

zbiór

dokªadnie

jeden

przekró

j.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

I

Aksjomat

sum

y

(2)

☛

Aksjomat

sum

y

w

p

oª¡ zeniu

z

aksjomatem

pary

p

ozw

ala

wyk

aza¢,

»e

istniej¡

zbiory

o

do

w

olnej,

sk

o« zonej

li zbie

elemen

tó

w;

przyjm

ujem

y

,

»e:



{x, y, z}

df

=

S{{x}, {y, z}}

,

{x, y, z, t}

df

=

S{{x}, {y, z, t}}

itd.



(x, y, z)

df

= ((x, y), z)

,

(x, y, z, t)

df

= ((x, y, z), t)

itd.

Bdziem

y

tak»e

pisa¢

x

∪ y

zamiast

S{x, y}

,

x

∩ y

zamiast

T{x, y}

,

x

∪ y ∪ z

zamiast

S{x, y, z}

,

x

∩ y ∩ z

zamiast

T{x, y, z}

itd.

O zywi± ie

S{u} = T{u} = u

.

☛

Nietrudno

jest

wyk

aza¢,

»e

u

∪ v = {x : x ∈ u ∨ x ∈ v}

,

u

∩ v = {x : x ∈ u ∧ x ∈ v}

,

u

∪ v ∪ w = {x :

x

∈ u ∨ x ∈ v ∨ x ∈ w}

,

u

∩ v ∩ w = {x : x ∈ u ∧ x ∈ v ∧ x ∈ w}

itd.

☛

Zbiory

u

,

v

s¡

r

ozª¡ zne

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

u

∩ v = ∅

;

elemen

t

y

ro

dzin

y

u

s¡

p

ar

ami

r

ozª¡ zne

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

dla

k

a»dy

h

x, y

∈ u

mam

y

x

∩ y = ∅

lub

x = y

.

☛

Zbiór

u

÷ v

df

= (u \ v)

∪ (v \ u)

to

r

ó»ni

a

symetry zna

zbioró

w

u

,

v

.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

J

Aksjomat

zbioru

p

otgo

w

ego

Dla

ka»de

go

zbioru

u

istnieje

r

o

dzina

zbior

ów

v

,

któr

ej

elementami

s¡

wszystkie

p

o

dzbiory

zbioru

u

;

symb

oli znie:

∀

u

∃

v

∀

x

(x

⊆ u ⇒ x ∈ v)

☛

Z

aksjomatu

zbioru

p

otgo

w

ego

i

wy inania

wynik

a,

»e

dla

k

a»dego

zbioru

u

istnieje

zbiór

jego

p

o

d-

zbioró

w;

ozna zam

y

go

sym

b

olem

P(u)

.

O zywi± ie

P(u) = {x : x

⊆ u}

.

☛

Aksjomat

zbioru

p

otgo

w

ego

w

p

oª¡ zeniu

z

aksjomatem

pary

p

ozw

ala

na

t

w

orzenie

zbioró

w

sk

o« zo-

n

y

h

o

do

w

olnie

du»ej

li zbie

elemen

tó

w.

☛

Aksjomat

zbioru

p

otgo

w

ego

ma

zna zenie

t

ylk

o

dla

zbioró

w

niesk

o« zon

y

h



k

orzysta

j¡

z

aksjomatu

sum

y

i

aksjomatu

pary

mo»na

wyk

aza¢,

»e

istnieje

zbiór

p

o

dzbioró

w

do

w

olnego

zbioru

sk

o« zonego.

☛

Nietrudno

jest

wyk

aza¢,

»e

je±li

x

∈ u

i

y

∈ v

,

to

(x, y)

∈ P(P(u ∪ v))

;

zatem

u

× v

df

= {(x, y) :

x

∈ u ∧ y ∈ v}

jest

zbiorem,

nazyw

an

ym

ilo

zynem

kartezja«skim

zbioró

w

u

,

v

.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

K

Aksjomat

niesk

o« zono± i

Istnieje

zbiór

niesko« zony;

dokªadniej:

∃

u



∅ ∈ u ∧

∀

x

(x

∈ u ⇒ x ∪ {x} ∈ u)



☛

Aksjomat

niesk

o« zono± i

jest

niezb

dn

y

,

je»eli

h em

y

zagw

aran

to

w

a¢

sobie

istnienie

zbioró

w

niesk

o«-

zon

y

h,

b

o

z

»adnego

z

p

ozostaªy

h

aksjomató

w

nie

wynik

a,

»e

istniej¡

zbiory

niesk

o« zone.

☛

Jak

si

p

ó¹niej

ok

a»e,

aksjomat

niesk

o« zono± i

jest

na

grun ie

p

ozostaªy

h

aksjomató

w

ró

wno

w

a»n

y

z

nastpuj¡ ym

zdaniem:

istnieje

zbiór

li zb

naturaln

y

h.

☛

Zbiór

S(u)

df

= u

∪ {u}

to

tzw.

nastpnik

p

orz¡dkowy

zbioru

u

.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

L

Aksjomat

zastp

o

w

ania

Dla

ka»dej

formuªy

te

oriomno

go± iowej

ϕ

,

d

la

któr

ej

x

or

az

y

s¡

zmiennymi

wolnymi,

a

v

nie

jest

zmienn¡

woln¡,

domkni

ie

formuªy

∀

u



∀

x∈u

∃!

y

ϕ



⇒



∃

v

∀

x∈u

∃

y∈v

ϕ



jest

zdaniem

pr

awdziwym.

☛

Aksjomat

zastp

o

w

ania

mó

wi,

»e

dla

k

a»dego

zbioru

u

i

k

a»dej

form

uªy

jednozna znej

ϕ

o

dw

ó

h

zmienn

y

h

w

oln

y

h

x

i

y

istnieje

zbiór

{y :

∃

x∈u

ϕ}

.

☛

Aksjomat

zastp

o

w

ania

ma

ró»norakie

zastoso

w

ania;

jest

p

o

dsta

w

¡

wielu

w

a»n

y

h

t

wierdze«,

m.in.

t

wierdzenia

o

denio

w

aniu

przez

induk

j

p

ozask

o« zon¡.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

M

Aksjomat

wyb

oru

Dla

ka»dej

r

o

dziny

zbior

ów

u

,

któr

ej

elementy

s¡

niepuste

i

p

ar

ami

r

ozª¡ zne

istnieje

zbiór

v

,

który

ma

dokªadnie

je

den

element

wsp

ólny

z

ka»dym

zbior

em

r

o

dziny

u

;

symb

oli znie:

∀

u



∀

x∈u

x

6= ∅



∧



∀

x∈u

∀

z∈u

(x

6= z ⇒ x ∩ z = ∅)



⇒



∃

v

∀

x∈u

∃

z

x

∩ v = {z}



☛

P

ewnik

wyb

oru,

p

o

dobnie

jak

aksjomat

zastp

o

w

ania,

ma

ró»norakie

zastoso

w

ania;

wynik

a

z

niego

m.in.

to,

»e

k

a»dy

zbiór

mo»na

dobrze

up

orz¡dk

o

w

a¢.

☛

Aksjomat

wyb

oru

ma

in

teresuj¡ e

k

onsekw

en je;

jedn¡

z

ni

h

jest

t

wierdzenie

Bana

ha

o

paradoksal-

n

ym

rozkªadzie

kuli.

Ÿ

5

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

5

N