O teorii mnogości

Zbiory były podstawowymi obiektami w całym dotychczasowym wykładzie. Czytelnik zauważył być
może, że w trakcie wykładu często w sposób niejawny zakładaliśmy istnienie pewnych zbiorów czy
wykonalność określonych operacji na zbiorach. Pod koniec zmuszeni byliśmy odwoływać się do bardziej
zaawansowanych własności zbiorów. Dla wygody zainteresowanego czytelnika w tym rozdziale
naszkicujemy aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru. Teorię tę oznacza się
skrótem ZFC. Zachęcamy też czytelnika do sięgnięcia do bardziej systematycznego wprowadzenia do tej
teorii.

Na początku przyjmujemy upraszczające założenie, że wszystkie rozważane obiekty to zbiory. Okazuje
się, że pomimo tego założenia zbiorów jest nadal wystarczająco dużo, by przy ich pomocy zinterpretować
wszystkie pojęcia matematyczne.

Aksjomaty są dwóch rodzajów. Aksjomaty pierwszego rodzaju opisują własności zbiorów. Należą tu
aksjomaty ekstensjonalności i regularności oraz aksjomaty postulujące istnienie określonych zbiorów:
aksjomat nieskończoności i pewnik wyboru. Aksjomaty drugiego rodzaju gwarantują wykonalność
pewnych operacji na zbiorach. Należą tu aksjomaty pary, zbioru potęgowego, sumy i zastępowania (wraz
ze szczególnym przypadkiem: aksjomatem wyróżniania). Poniżej podajemy te aksjomaty w wersji
potocznej i symbolicznej.

Aksjomat ekstensjonalności

Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy.

Aksjomat pary

Dla każdych

istnieje zbiór

.

Aksjomat zbioru potęgowego

Dla każdego zbioru istnieje zbiór wszystkich podzbiorów zbioru .

gdzie

jest skrótem dla:

.

Aksjomat sumy

Dla każdej rodziny zbiorów istnieje suma tej rodziny.

Aksjomat zastępowania

Jeśli

jest funkcją zdaniową taką, że dla każdego

istnieje jedyne takie, że

, to istnieje zbiór

. (Innymi słowy, funkcja zdaniowa

definiuje funkcję.)

Aksjomat wyróżniania

Jeśli

jest funkcją zdaniową, to istnieje zbiór

. (Ten aksjomat wynika z

aksjomatu zastępowania.)

Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór nieskończony. Dokładniej, istnieje zbiór niepusty

taki, że

i dla każdego

również

. Tu istnienie zbioru

wynika z aksjomatów sumy i pary. W częściowo

sformalizowanej postaci możemy ten aksjomat zapisać następująco:

Jest to również jedyny aksjomat postulujący bezwarunkowe istnienie jakiegoś zbioru. Z jego
sformułowania można usunąć pojęcie zbioru pustego, wprowadzając dodatkowo pojęcie zbioru
tranzytywnego.

Aksjomat regularności

Każdy zbiór niepusty ma element -minimalny.

Pewnik wyboru

Każda rodzina zbiorów niepustych posiada funkcję wyboru.