1
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieńśtwa
Prawdopodobieńśtwem nazywamy dowolną funkcję P : F → R określoną na σ-ciele F podzbioru przestrzeni
zdarzeń elementarnych Ω będących zdarzeniami losowymi, spełniającymi warunki (aksjomaty):
C jest klasą niepustą, C 6= ∅(można założyć, że ∅ ∈ C albo Ω ∈ C)
(1.1)
(A
1
, A
2
, . . . ∈ F ∧ A
i
∩ A
j
dla i 6= j) ⇒ P [
∞
[
n=1
A
n
] =
∞
X
n=1
P [A
n
]
(1.2)
P [Ω] = 1
(1.3)
Funkcję P spełniającą powyższe aksjomaty nazywa się często miarą probablistyczną, a uporządkowany układ
(Ω, F , P ) nazywamy przestrzenią probablistyczną.
2
Własności prawdopodobieństwa wynikające z aksjomatów
W wielu sytuacjach prawdopodobieństwo wygodnie jest określić na klasie zbiorów nieco prostrzej niż σ-ciało
np. na ciele zbiorów, a następnie rozszerzyć na σ-ciało zawierające to ciało.
Ciałem zbioru nazywamy rodzinę C podzbiorów ustalonej przestrzeni Ω 6= ∅ spełniającej warunki:
C jest klasą niepustą, C 6= ∅( można założyć, że ∅ ∈ C albo Ω ∈ C)
(2.1)
A ∈ C ⇒ A = Ω − A ∈ C
(2.2)
A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C
(2.3)
Warunek 2.3 tej definicji można zastąpić przez 2.15
A, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C
(2.4)
Chcąc zdefiniować prawdopodobieństwo na ciele zbiorów C będące podzbiorami przestrzeni Ω, musimy zmo-
dyfikować tylko nieznacznie aksjomat 2.2:
(A
1
, A
2
, . . . ∈ C ∧ A
i
∩ A
j
6= ∅ dla j 6= j ∧
∞
[
n=1
A
n
∈ C) ⇒ P [
∞
[
n=1
A
n
] =
∞
X
n=1
P [A
n
]
(2.5)
Oczywiście w Aksjomacie 2.5, σ-ciało F trzeba zastąpić przez ciało C.
2.1
Własności P na ciele C
P [∅] = 0
(2.6)
(A
1
, A
2
, . . . , A
n
∈ C ∧ A
i
∩ A
j
= ∅ dla i 6= j) ⇒ P [
n
[
k=1
A
k
] =
n
X
k=1
P [A
k
]
(2.7)
(A, B ∈ C ∧ A ⊆ B) ⇒ P [A] ¬ P [B]
(2.8)
W szczególności
V
A∈C
P [A] ¬ 1 = P [Ω]
(A, B ∈ C ∧ A ⊆ B) ⇒ P [B − A] = P [B] − P [A]
(2.9)
W szczególności
V
A∈C
P [A] = 1 − P [A] = (P [Ω] − P [A])
(A, B ∈ C) ⇒ P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B]
(2.10)
(A
1
, A
2
, . . . , A
n
∈ C) ⇒ P [
n
[
k=1
A
k
] ¬
n
X
k=1
P [A
k
]
(2.11)
1
