1

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieńśtwa

Prawdopodobieńśtwem nazywamy dowolną funkcję P : F → R określoną na σ-ciele F podzbioru przestrzeni
zdarzeń elementarnych Ω będących zdarzeniami losowymi, spełniającymi warunki (aksjomaty):

C jest klasą niepustą, C 6= ∅(można założyć, że ∅ ∈ C albo Ω ∈ C)

(1.1)

(A

1

, A

2

, . . . ∈ F ∧ A

i

∩ A

j

dla i 6= j) ⇒ P [

∞

[

n=1

A

n

] =

∞

X

n=1

P [A

n

]

(1.2)

P [Ω] = 1

(1.3)

Funkcję P spełniającą powyższe aksjomaty nazywa się często miarą probablistyczną, a uporządkowany układ

(Ω, F , P ) nazywamy przestrzenią probablistyczną.

2

Własności prawdopodobieństwa wynikające z aksjomatów

W wielu sytuacjach prawdopodobieństwo wygodnie jest określić na klasie zbiorów nieco prostrzej niż σ-ciało
np. na ciele zbiorów, a następnie rozszerzyć na σ-ciało zawierające to ciało.

Ciałem zbioru nazywamy rodzinę C podzbiorów ustalonej przestrzeni Ω 6= ∅ spełniającej warunki:

C jest klasą niepustą, C 6= ∅( można założyć, że ∅ ∈ C albo Ω ∈ C)

(2.1)

A ∈ C ⇒ A = Ω − A ∈ C

(2.2)

A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C

(2.3)

Warunek 2.3 tej definicji można zastąpić przez 2.15

A, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C

(2.4)

Chcąc zdefiniować prawdopodobieństwo na ciele zbiorów C będące podzbiorami przestrzeni Ω, musimy zmo-

dyfikować tylko nieznacznie aksjomat 2.2:

(A

1

, A

2

, . . . ∈ C ∧ A

i

∩ A

j

6= ∅ dla j 6= j ∧

∞

[

n=1

A

n

∈ C) ⇒ P [

∞

[

n=1

A

n

] =

∞

X

n=1

P [A

n

]

(2.5)

Oczywiście w Aksjomacie 2.5, σ-ciało F trzeba zastąpić przez ciało C.

2.1

Własności P na ciele C

P [∅] = 0

(2.6)

(A

1

, A

2

, . . . , A

n

∈ C ∧ A

i

∩ A

j

= ∅ dla i 6= j) ⇒ P [

n

[

k=1

A

k

] =

n

X

k=1

P [A

k

]

(2.7)

(A, B ∈ C ∧ A ⊆ B) ⇒ P [A] ¬ P [B]

(2.8)

W szczególności

V

A∈C

P [A] ¬ 1 = P [Ω]

(A, B ∈ C ∧ A ⊆ B) ⇒ P [B − A] = P [B] − P [A]

(2.9)

W szczególności

V

A∈C

P [A] = 1 − P [A] = (P [Ω] − P [A])

(A, B ∈ C) ⇒ P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B]

(2.10)

(A

1

, A

2

, . . . , A

n

∈ C) ⇒ P [

n

[

k=1

A

k

] ¬

n

X

k=1

P [A

k

]

(2.11)

1

(A

1

, A

2

, . . . ∈ C ∧

∞

[

n=1

A

n

∈ C) ⇒ P [

∞

[

n=1

A

k

] ¬

∞

X

n=1

P [A

n

]

(2.12)

(A

1

, A

2

, . . . ∈ C ∧ A

1

⊆ A

2

⊆ . . . ∧

∞

[

n=1

∈ C) ⇒ P [

∞

[

n=1

A

n

] = lim

x→∞

P [A

n

]

(2.13)

(B

1

, B

2

, . . . ∈ C ∧ B

1

⊇ B

2

⊇ . . . ∧

∞

\

n=1

B

n

∈ C) ⇒ P [

∞

\

n=1

B

n

] = lim

n→∞

P [B

n

]

(2.14)

Aksjomat ciągłości

Mówimy, że funkcja P : C → R spełnia na ciele C aksjomat ciągłości, jeśli dla dowolnego ciągu B

1

, B

2

, . . . ∈ C

takiego, że B

1

⊇ B

2

⊇ . . . ∧

∞

T

n=1

B

n

6= ∅ zachodzi równość

lim

n→∞

P [B

n

] = 0

(2.15)

Funkcja skończenie addytywna

Funkcję zbiory P : C → R określoną na ciele C nazywamy skończenie addytywną, jeśli:

(A, B ∈ C ∧ A ∩ B 6= ∅) ⇒ P [A ∪ B] = P [A] = P [B]

(2.16)

Tw. Fukcja P C → R spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa 2.1, 2.5, 2.3 na ciele C <=> P spełnia aksjo-

maty 2.1, 2.3, 2.15 i 2.16.

2