1

Prawdopodobienstwo całkowite

Niech H

1

, H

2

, . . . , H

n

∈ F będą zdarzeniami losowymi spełniającymi warunki: H

i

∩ H

j

= ∅, i 6= j,

n

S

j=1

= Ω, oraz

P [H

j

] > 0 dla j = 1, . . . , n wtedy dla dowolnego zdarzenia A ∈ F

P [A] =

n

P

j=1

P [A|H

j

] · P [H

j

]

Dowód

Z założeń wynika, że

A = A ∩ Ω = A ∩ (

n

[

j=1

H

j

) =

n

[

j=1

(A| ∩ H

j

)

przy czym

(A ∩ H

i

) ∩ (A ∩ H

j

) = ∅ dla i 6= j

Stąd

P [A] = P [

n

[

j=1

(A ∩ H

j

] =

n

X

j=1

P [A ∩ H

j

] =

n

X

j=1

P [A|H

j

] · P [H

j

]

gdyż

P [A|H

j

] =

P [A ∩ H

j

]

P [H

j

]

dla j = 1, . . . , n

Uwaga! Wzór na prawdopodobieństwo całkowite można łatwo uogólnić na nieskończoną przeliczalną ilość

zdarzeń H

1

, H

2

, . . . ∈ F spełniających warunki H

i

∩ H

j

= ∅, i 6= j,

∞

S

n=1

H

n

= Ω, oraz P [h

j

] ­ 0 dla j ­ 1

1