AKSJOMATY

1. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa .

Pojęciem pierwotnym jest pojęcie przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. Następnie zostaje wyróżniona pewna rodzina S podzbiorów przestrzeni Ω, nazywana σ- ciałem i spełniająca warunki:

1˚ Ω є Ѕ,

2˚ A є Ѕ ⇒ Ā = Ω \ A є Ѕ

3˚ A_k є S, k = 1,2,… => $\cup_{k = 1\ }^{\infty}$ A_k є S

(suma skończonej lub przeliczalnej rodziny zbiorów rodziny S należy do tej rodziny S)

4˚ A_k є S,k = 1,2,… => $\cap_{k = 1}^{\infty}$ A_k є S

(iloczyn skończonej lub przeliczalnej rodziny zbiorów rodziny S należy do tej rodziny S).

Rodzina S spełniająca te warunki stanowi σ- ciało, nazywamy ją zbiorem zdarzeń losowych, a elementy zbioru S zdarzeniami losowymi.

Prawdopodobieństwem P nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze S zdarzeń losowych spełniającą następujące trzy warunki, nazywane aksjomatami prawdopodobieństwa.

Aksjomat I. Każdemu zdarzeniu losowemu A є S jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) ∈   < 0, 1 >  , nazywana prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Aksjomat II. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności:

P(Ω) =  1

Aksjomat III. Prawdopodobieństwo sumy skończonej lub przeliczalnej liczby zdarzeń A₁, A₂,… parami się wykluczających równa się sumie prawdopodobieństw poszczególnych zdarzeń:

P(A₁∪A₂∪…) = P(A₁) +  P(A₂) + …

Gdy A_k ∩ A_j =  ⌀ dla k ≠ j

Aksjomaty te określają jakiego rodzaju funkcje można nazwać prawdopodobieństwem, wartości zaś liczbowe ustala się w poszczególnych przypadkach stosownie do rozpatrywanego zagadnienia. Definicja ta jest formalnie poprawna, jest jednak dość trudna do przełożenia na język praktyczny.

Łatwo sprawdzić, że funkcje P(A), określone zarówno w klasycznej definicji, jak też w geometrycznej definicji, spełniają Aksjomaty I-III, a więc są prawdopodobieństwami w myśli aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa.

Wykorzystując definicję aksjomatyczną prawdopodobieństwa, można wykazać następujące twierdzenia.

Twierdzenie 1. P(⌀) =  0

Dowód. ⌀ ∩ Ω = ⌀ i dlatego na mocy Aksjomatów III i II mamy

1 = P(Ω) = P(⌀∪Ω) = P(⌀) + P(Ω) = P(⌀) + 1

Stąd P(⌀) = 0

Twierdzenie 2. P(A) = 1 − P(A)

Dowód. Ω = A ∪ A,  A ∩ A =  ⌀. Stąd

1 = P(Ω) = P(A∪A) = P(A) + P(A), ∖n

Twierdzenie 3. P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

Dowód. Ze znanych własności działań na zbiorach mamy

A ∪ B = A ∪ (B(A ∩ B)),     A ∩ (B(A ∩ B)) = ⌀

B = (A∩B) ∪ (B(A ∩ B)),      (A ∩ B)∩(B(A ∩ B)) = ⌀

Zatem z Aksjomatu III mamy

P(A∪B) = P(A) + P(B(A ∩ B)), 

P(B) =  P(A∩B) + P(B(A ∩ B)).

Odejmując stronami, otrzymujemy potrzebną równość.

Twierdzenie 4. Jeżeli A ⊂ B,     to  P(A) ≤ P(B)

Dowód. B = A ∪ (B∖A) i na mocy Aksjomatu III mamy

P(B) = P(A) + P(B∖A) ≥ P(A),

Gdzie P(B ∖ A)≥0.