Dorota Leszczyńska-Jasion, Mariusz Urbański

Logika II

modalne rachunki zdań: systemy aksjomatyczne

Hughes, G. E., Cresswell, M. J. [1996]. A New Introduction to Modal Logic, Routledge, London.

System

Aksjomaty

Reguły

K

K + PC

RO, RP, RG, RZ

D

K + D + PC

RO, RP, RG, RZ

T

K + T + PC

RO, RP, RG, RZ

Aksjomaty

Reguły

Reguły wtórne

K: (p → q) → (p → q) RO:

A→B,A

B

RR

:

A→B

A→B

D: p → ♦p

RP

:

A

A[p

i

/B]

RE

:

A↔B

A↔B

T: p → p

RG

:

A

A

RSH

:

A→B,B→C

A→C

RZ

:

B

B[¬¬A//♦A]

RIM P

:

A→(B→C)

A∧B→C

RD

↔

:

A→B,B→A

A↔B

1. Określ zbiory podformuł następujących formuł języka MRZ :

(a) p

(b) ♦¬q

(c) (p → q) → (p → q)

(d) ♦((p ∧ ¬q) ∨ ¬r) ↔ (¬(s → r))

2. Wykaż, że jest regułą wtórną w K reguła następująca:

A → B

♦A → ♦B

korzystając z: prawa transpozycji, RR, i RZ.

3. Udowodnij w T formułę p → ♦p, korzystając, oprócz aksjomatu T, z RP , prawa transpozycji, prawa

podwójnego przeczenia, RSH i RZ.

4. Udowodnij w D formułę ♦(p → p) (zacznij od prawa tożsamości: p → p).

5. Udowodnij w K formułę (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) (skorzystaj z tezy: p ∧ q → (p ∧ q)).

6. Niech T* będzie modalnym rachunkiem zdań różniącym się od T tym, że zamiast aksjomatu K zawiera

on następujący aksjomat K*: ((p → q) → (p → q)), a zamiast RG – regułę RR (jako regułę
pierwotną). Wykaż, że zbiory tez rachunków T* i T są identyczne.