KRZYWE ALGEBRAICZNE ST II Równanie: Krzywą alg st II w R2 nazywamy krzywą o równ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, A,B,C,D,E,FeR, A^2+B^2+C^2>0 lub (*) Lemat: Równ st II postaci (*) jest równoważne postaci macierzowej równania X^TAX+2A1X+a33 dowód: X=[x y] (pionowo) A1=[a13, a23](poziomo), wstawiamy d równania X^t, X, A, A1 i rozwiązujemy, ma wyjść(*) Dwa podstawowe tw o sprowadzaniu do postaci kanonicznej: I TW: (o przypadku eliptycznym i hiperbolicznym) w≠0 pokazuje, że krzywa ma zawsze (dokładnie 1) środek Sym i przes ukł do środka Sym eliminuje wyrazy st. I Jeżeli dla równ a11x^2+2a12xy+a22y^2+2a13x+2a23y+a33=0 (*) wyzn mały w≠0 istnieje dokł jeden wektor v=[a,b] taki, że po przesunięciu równ nie ma wyrazu st I i jest postaci a11x^2+2a12xy+a22y^2+a33=0 oraz a33=W/w. Pkt (a,b) jest środkiem Sym krzywej (*) i jest to rozw ukł Cramera dowód: Przypomina równ krzywej (*) w postaci wekt po przes ukł wspł X=V+X’ X^TAX’+2(V^TA+A1)+(2A1V+V^TAV+ a33)=0 Aby nie było wyrazów st I potrzeba i wyst by A1’=0 tzn V^TA+A1=0, we współrzędnych oznacza to [a,b]*(wyznacznik główny)+[a13,a23]=0 (<- z tego powstaje ukł Cramera) Jest to ukł Cram o wyzn gł=|…|≠0, ukł ma dokł 1 rozw. Krzywa ma środek Sym x’=.., y’=…, bo jeżeli (x’,y’) spełnia to równ to (-x’,-y’) też, ale x’=o, y’=0. Jest to pkt x=a, y=b w wyjściowym ukł wspł OXY. Zauważmy teraz, że a33’=W/w. Przypominamy, że W,w są niezmiennikami prostokątnego ukł wspł skąd W obliczamy dla krzywej po przesunięciu W=|…|=w*a33’, Stąd a33’=W/w II TW: bedize polegać na znalezieniu kąta Obr alfa likwidującego wyraz z iloczynem zmiennych (a12=0) Zaczynamy od pomocniczego lematu, w którym występuje wiel charakt w(λ)=λ^2-pλ+w, p= a11+a22 Lemat: Jeżeli a12=0 to wiel cahrakt w(λ) macierzy A (1) ma dwa różne pierw rzecz λ1,λ2; (2) są one rózne od a11 (3) liczby λ1- a11,λ2- a11 są róznych znaków Dowód lematu: (1) obliczamy deltę>=0, wielomian w(λ) ma tylko pierw rzecz, z zał a11≠0, mamy delta>0 więc pierwiastki są różne (2) pokażemy, że λ1,2≠ a11. Przypuśćmy, że dla jakiegoś „+”, „-„ zachodzi równość λ1,2=(a11+a22+sqrt(delta))/a=a11 wyliczamy z tego deltę, podstawiamy za deltę to z I tw, mamy a12^2= 0, => a12=0, sprzeczność z zał (3) liczba λ1- a11,λ2- a11 są różnych znaków bo ich iloczyn wychodzi ujemny Z obu powyższych tw wyprowadzamy wnioski W1Jeśli dla krzywej st II równ (*) wyzn mały w jest niezeowy (eliptyczny lub hiperboliczny) to istnieje prostokątny ukł wspł O”X”Y” w którym krzywa ma postać kaoniczną równą λ1x”^2+λ2y”^2+W/w=0 Gdy pierwiastki tego samego znaku ->eliptyczny, różnych ->hiperboliczny. Wyznacznik mały w jest niezmiennikiem, więc jest Atki sam jak otrzymanej postaci kanonicznej W2 Sprowadzanie do postaci kanonicznej w elipt, hiper:…. W3 Dla każdego st II o równ (*), elipsa, półosie są nast.: a=sqrt(-W/(wλ1)), b=sqrt(-W/(wλ2)) (w dowodzie przekształcamy równ charakt na postać kanoniczną, wyciahgając a i b) Dwa podstawowe tw o sprowadzaniu do postaci kanonicznej (parabola): Lemat: krzywa jest st II i parabolicny to p=trA≠0, pierwiastkami λ są 0 oraz p PROSTA W PRZESTRZENI KARTEZJAŃSKIEJ Def geom prostej: Prostą w Rn nazywamy każdy podzbiór LcRn, który jest izometryczny z jednowym przestrz kart R. Aby otrzymać prostą trzeba mieć izometrię w f:R->Rn. =f[R] Postać Izom globalnie określonej jest taka (wcześniejsze wykłady) Jest to złożenie przes z izometria lin, która jest odwzorowaniem lin o macierzy orto f(x)=a+fA(x) w ukł wspł WN: Każda izometria f:R->R jest subiekcją. Żaden podzbiór własciwy prostej nie może być izometryczny z całą prostą TW: Na to, aby podob. LcRn był prostą potrzeba i wyst, aby L był warstwą w Rn względem pewnej 1-wym pp-ni wekt L0cRn czyli L=a+L0 Def algebr prostej: To warstwa wzgl 1-wymiarowej pp-ni wektorowej WN: Żaden właściwy podzbiór prostej nie może być izometryczny z tą prostą TW: przez każde dwa pkty p,q rózne od siebie przechodzi dokładnie jedna Prost L i jest ona równa L(p,q)={x:x=p+tpq;ter} Mówimy, ze wektor swobodny a jest równoległy do prostej L, jeśli istnieje jego reprezentant a=[pq], którego początek i koniec leży na L Równ wektorowe prostej: dowolna prosta L jest równa a+L0, L0=lin(v), stąd dowolny pkt x jest postaci x=a+tv (równ parametryczne) HIPERPŁ W PRZESTRZ KARTEZJAŃSKICH Def geom hiper: Hiper k-wym w Rn naz każdy podob. HcRn izometryczny z k-wym przestrz kartezjańską TW: Podzb HcRn jest k-wym hiper, gdy H jest warstwą w Rn wzgl pewnej k-wym pp-ni wekt, tj. H=A+H0 Def algebr hip: HcRn naz hip k-wym, jeżeli jest to warstwa wzgl pewnej k-wym pp-ni wekt w Rn H=A+H0 H0-pp-ń wektorowa TW: Zbiór wekt równoległych do H, H=A+H0, jest przestrz wekt i przy utzsamieniu Rn (z falką)=(z falką)Rn mamy, że przestrzenią wketorów ||H jest H0 CZĘŚĆ WSPÓLNA HIP TW: Załóżmy, ż G-dow grupa, niekoniecznie abelowa oraz H1, H2 – dwiema jej podgr. Rozważmy 2 dowolne lewostr warstwy aH1, bH2. Załóżmy, że warstwy te są rozłączne. Niech ceaH1^bH2, wówczas aH1^bH2=c(H1^H2) Analogicznie dotyczy to dowolnej ilości warstw aiHi, ieI WN: Dla dowolnego zbioru EcRn istnieje najmniejsza hip zawierająca ten zbiór. Nazywa się ona powłoką liniową zbioru E (postać powłoki lin to to z tworzeniem wekt przez odejmowanie kolejnych pktów od pierwszego) MACIERZ I WYRÓŻNIK UKŁADU PUNKTÓW Dane są punkty p0=(p01…p0n)… pk(pk1…pkn) Macierz ciagu punktów p0,…,pk nazywamy macierz M(p0…pk)=[1 p01…p0k 1 p11…p1k : 1 pk1…pkn] TW: Maksymalna ilość pktów LNZ wśród p0…pn równa się rzędowi macierzy M Gdy n=k to macierz kwadratowa. Posaiada zatem wyznacznik i LNZ pktów p0…pn jest równoważna nieznikaniu wyznacznika W(p0…pn)=detM Def: Niech p0…pkeRn i niech q,j=g(pj,pj) <- odległość Wyróżnikiem układu pktów p0…pk naz liczbę w(p0…pk)=(-1)^k-1/2^k*|0 1……1……..…….. 1| <-wyznacznik 1 q00^2 q01^2…………. q0k^2 : 1 qk0^2 qk1^2 …….…… qkk^2 Lemat: k=1 w(p0,p1)=q^2([p0,p1]) K=2 (trzy pukty) w(p0,p1,p2)=(||p0 p1||, ||p0 p2||sin(kata między nimi))^2 K – dowolne w(p0…pk) to kwadrat objętości równoległościanu rozpietego na wektorach [p0 p1]…[p0 pk] punkty p0…pk są LNZ wyróżnik tych pktów jest niezerowy wyróżnik jest niezmiennikiem izometrii WEKTORY RÓWNOLEGŁE I PROSTOPADŁE – RZUT PROSTOPADŁY Wektor swobodny aeRn nazywamy równoległym do hip H jeżeli istnieje jego reprezentant [pq], którego pocz i koniec należą do H (a||H) Lemat: Jeżeli a||H, a=[pq], peH, to także eh Dowód: Skoro a||H to z def ma reprezentanta [p0 q0], którego pocz i koniec leżą w H Ale a=[ p0 q0]=[p q] Q0-p0=q-p => q=p+q0-p0 (p,q0,p0 e H) (q=1+1-1) Ponieważ suma współczynników =1 to z tw o postaci złącza wiemy, ze qeH TW: Ogół wekt swobod, równoległ do hip H1, kwym tworzy przestrzeń wekt k-wym. Gdy H=p+V (jest warstwą wzgl k-wym pp-ni wekt V) to przy utożsamieniu Rn(z falką)=(z falką)Rn przestrzeń [p q]=g-p wekt równoległych pokrywa się z V Def: Dwie hip H1,H2 tego samego wym naz równoległymi jeżeli każdy wekt v, równ do H1, jest też równ do H2 (H1 || H2 v1=v2) Def: Dgy dimH1<dimH2 to mówimy, że H1 || H2 gdy każdy v || H1 jest też v|| H2 WEKTORY PROSTOPADŁE Mówimy, że przestrzeń wekt V jest sumą prostą swoich pp-ni v1,v2 (V=V1+V2) <- „+” w kółku Jeśli (1) V1^V2={0} (2) każdy wektor veV ma rozkład v=v1+v2, v1eV1, v2eV2 Lemat: Niech VcRn będzie dowolną pp-nią wekt. Wówczas {veRn:dla każdego weV, v*w=0} tworzy pp-ń wekt. Oznaczamy V^T(V do potęgi znaczku prostopadłości) Rn=V+(z kółkiem)V^T; dimV^T=n-dimV Def: Mówimy, że wektor veRn jest prostopadły do hip H, jeśli jest prostopadły do każdego wektora równoległego do H RZUT PROSTOPADŁY Rzutem prostopadłym punkty p na hip H naz taki pkt p’, który (1) musi leżeć na tej hip (p’eH) (2) [p p’] prostopadły do H TW: Rzut prostopadły p’ pkt p na hip H istniej i jest wyznaczony jednoznacznie i odl pomiędzy p, a p’ realizuje odległość p od H (q(p,p’)=q(p,H) ) przy czym q(p,p’)<qq(p,q) dla jakiegokolwiek innego punktu q≠p’, eh PROSTOPADŁOŚĆ HIPERPŁASZCZYZN Gdy H1, H2cRn są 2 hip przecinającymi się wzdłuż jednego punktu H1^h2={p}, to mówimy że H1 jest prostopadłe do H2, jeżeli każdy wektor v1 || H1 jest prostopadły do każdego v2 || H2. W szczególności dotyczy to prostej i hiperpłaszczyzny. WN: Dla każdego punktu p (nie należy do H) i hip H istnieje dokładnie ejdna prosta przechodząca przez p, przecinająca H i prostopadłą do H, jest to prosta L=p+lin([p p’]) Lemat Jeśli H jest hip wym n-1 i ma równ ogólne A0+A1x1+…+Anxn=0, [A1…An]≠wekt zerowego to dowolna prosta L prostopadłą do H jest prostą równoległą do wekt [A1…An]
		TW: Niech A będzie macierzą ortogonalną kwadratową o wym nxn. Wówczas (1)detA=±1 ( w szczególności jest t macierz nieosobliwa (2)macierz transponowana A^T też jest ortogonalna (3)A^-1=A^T Lemat: Jeżeli A,B są macierzami ortogonalnymi (niekoniecznie kwadratowymi) to A*B też jest maierzą ortogonalną Dowód: Należy sprawdzić, czy A*B spełnia równ (A*B)^T*(B*B)=1 Zakładamy, że (AB)^T(AB)=(B^TA^T)(AB)=B^T(A^TA)B=B^TB=1 WN: Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę zwaną grupą ortogonalną Pierwsze podstawowe TW o izomorfizmie: Na to, aby odwzorowanie f:Rk->Rn, k<=n było izometrią, potrzeba i wyst, aby istniał punkt a i macierz ortogonalna A wymiaru nxk takie, że odwzorowanie f we współrzędnych zadane jest wzorem f(x)=y <=> {y1=a10+a11x1+…+a1kxk : yn=ano+an1x1+…+ankxk IZOMETRIE ELEMENTARNE Obrotem elementarnym w Rn nazywamy izometrię f:rn->Rn, która jest obroteem o kąt α względem pewnych dwóch zmiennych i identycznością na zmiennych pozostałych. Obrót elem o kąt α w zależności /zakresie zmiennych oznaczać będziemy Φα.k.l Izometrią elementarną nazywamy izometrię, która jest złożeniem skończonej ilości obrotów elementarnych i przesunięć. TW: Dla każdego punktu qeRn istnieje izometria elem (która jest złożeniem elementów obrotów elem bez wykorzystania przesunięcia) takie, ze f(0)=0, f(q)eRn1 (F(q) leży na osi pierwszej) TW: Dla każdego ciągu punktów (p0,p1,…pk), p0…pkeRn istnieje izometria elementarna (złoż Obr elem z przesunięciem) taka, że f(p0)eRn0, f(p0)=0 f(p1)eRn1 ……. f(pk)eRnk Rozważać będziemy teraz izometrię f:Rn->Rn między przestrzeniami kartezjańskimi tego samego wymiaru Def: Izometrię f:Rn->Rn nazywamy zwykłą (zachowuje orientację), jeżeli wyznacznik = -1 Izometrie zwykłe tworzą grupę (podgr grupy wszystkich izometrii) (np. przesunięcai, obroty, złożenia) Izometrie zwierciadlane nie tworzą grupy. (przestawianie osi wspł, izometrie wzgl osi OX, w R3 zmiana kolejności osi x,z) Drugie podstawowe TW o izomorfizmie Każda izometria zwykła jest izometrią elementarną, czyli powstaje przez złożenie skończonej ilości obrotów elem przesunięcia) OBROTY I PRZESUNIĘCIA Dany jest standardowy układ OXY, zmieniamy g oprzez (1) obrót o kąt alfa wokół pocz ukł wspł, (2) potem przesunięcie o wektor (x’,y’)=lv°Φα(x,y)