5 6 Ciało izotropowe(1)

Wydział Budownictwa, Architektury
i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Związki fizyczne dla ciała liniowo sprężystego

Ciało izotropowe


Dominika Cichańska

Kierunek: budownictwo

Grupa 4 (TOB)

Studia stacjonarne II-go stopnia

Semestr I

Bydgoszcz, rok akademicki 2013/2014

ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIAMI I GŁÓWNYMI NAPRĘŻENIAMI

W każdym materiale konstrukcyjnym przy umiarkowanych wartościach naprężeń i odkształceń obserwujemy obszar, w którym podczas jednoosiowego rozciągania lub ściskania zależność σ(ε) jest liniowa, a droga obciążenia pokrywa się z drogą odciążenia. Na rysunku 1a jest to obszar −σ H− ≤σ ≤σ H+ . W obszarze tym ciało zachowuje się liniowo-sprężyście. Przyjęcie liniowej zależności σ(ε) jest najprostszym przybliżeniem stosowanym do opisu zachowania się konstrukcji pod obciążeniem.

Rys. 1a

Rys. 1b

Niżej przedstawimy sposób budowy związków fizycznych dla ciał liniowo-sprężystych (rys. 1b) w ogólnym przypadku trójosiowego stanu naprężenia.

Na wstępie przyjmiemy założenie polegające na tym, że kierunki głównych naprężeń i głównych odkształceń się pokrywają. Na rys. 2 kierunki te odpowiadają osiom układu współrzędnych x1, x2, x3.

Podczas jednoosiowego rozciągania (ściskania) odkształcenia liniowe w kierunku działania siły określa prawo Hooke'a: ε =σ / E , a odkształcenia poprzeczne opisuje wzór:


$$\varepsilon_{\text{poprz}} = \ \varepsilon_{podl}v\ = \ - \frac{\sigma}{\varepsilon}v$$

Fakty te wykorzystamy do budowy związków fizycznych w przypadku trójwymiarowym dla materiału izotropowego. Na rysunku 2 przedstawiono deformację elementarnego prostopadłościanu pod wpływem jednoczesnego działania trzech naprężeń głównych σ1, σ2, σ3. Każde z tych naprężeń działające z osobna powoduje odkształcenia podłużne i poprzeczne. Ostateczne wartości odkształceń ε1, ε2 i ε3 można uważać za sumę efektów działania poszczególnych naprężeń głównych. W ten sposób uzyskano związki fizyczne [1]. Przy budowie wzorów [1] przyjęliśmy zatem zasadę głoszącą, że ostateczny skutek działania kilku przyczyn jest równy sumie efektów działania każdej z przyczyn. Zasadę tę nazywamy zasadą superpozycji skutków. Zasięg jej stosowania jest jednak ograniczony. Zasada superpozycji obowiązuje bowiem tylko wówczas, gdy skutek jest liniową funkcją przyczyny (u nas: współrzędna tensora odkształcenia jest liniową funkcją współrzędnych tensora naprężenia).

Rys. 2

$\left. \ \begin{matrix} \varepsilon_{1} = + \frac{1}{E}\sigma_{1} & - \frac{\nu}{E}\sigma_{2} & - \frac{\nu}{E}\sigma_{3} = \frac{1}{E}\left\lbrack \sigma_{1} - \nu\left( \sigma_{2} + \sigma_{3} \right) \right\rbrack, \\ \varepsilon_{2} = - \frac{\nu}{E}\sigma_{1} & + \frac{1}{E}\sigma_{2} & - \frac{\nu}{E}\sigma_{3} = \frac{1}{E}\left\lbrack \sigma_{2} - \nu\left( \sigma_{1} + \sigma_{3} \right) \right\rbrack, \\ \varepsilon_{3} = - \frac{\nu}{E}\sigma_{1} & - \frac{\nu}{E}\sigma_{2} & + \frac{1}{E}\sigma_{3} = \frac{1}{E}\left\lbrack \sigma_{3} - \nu\left( \sigma_{1} + \sigma_{2} \right) \right\rbrack. \\ \end{matrix} \right\}$ [1]

Równania [1], wiążące wartości główne tensorów odkształcenia i naprężenia, są podstawową formą związków fizycznych. Za pomocą tych równań wprowadzimy ogólniejszą postać równań fizycznych dla dowolnego układu współrzędnych.

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ IZOTROPOWYCH

W dowolnym układzie osi współrzędnych stan naprężenia określa 9 składowych σij (rys. 3a). Na podstawowe zasady superpozycji odkształcenia wywołane przez te składowe można uważać za sumę efektów działania naprężeń normalnych (rys. 3b) i naprężeń stycznych (rys. 3c), które z kolei składają się z trzech czystych ścinań w płaszczyznach
(x1, x2), (x2, x3) i (x3, x1). Efekty działania naprężeń normalnych są opisane równaniami [1]. Dla określenia wpływu naprężeń stycznych wystarczy analiza deformacji występujących podczas czystego ścinania.

Rys. 3

Rozważmy dla przykładu czyste ścinanie w płaszczyźnie (x1, x2) wywołane przez naprężenia σ12 i σ21. Stan czystego ścinania odpowiada – jak wiemy – działaniu naprężeń σ1′1′ = -σ2′2′ = 𝞽 w układzie osi x1’, x2’ obróconym o kąt 45° w stosunku do osi x1’, x2
(rys. 4), przy czym σ12 = σ21 = τ. Osie x1’, x2’ są osiami głównych naprężeń, dla których obowiązują wzory [1].

Rys.4

Mamy więc:

  1. $\left\{ \begin{matrix} \varepsilon_{1'1'} = \frac{\sigma_{1'1'}}{E} - \frac{\nu}{E}\sigma_{2'2'} = \frac{1 + \nu}{E}\tau, \\ \varepsilon_{2'2'} = \frac{\sigma_{2'2'}}{E} - \frac{\nu}{E}\sigma_{1'1'} = - \frac{1 + \nu}{E}\tau. \\ \end{matrix} \right.\ $ [2]

skąd widać, że:

$\varepsilon_{1'1'} = - \varepsilon_{2'2'} = \varepsilon = \frac{1 + \nu}{E}\tau$. [3]

Otrzymany wynik odpowiada odkształceniu czysto postaciowemu w układzie osi x1, x2, przy czym ε11 = ε22 = ε. Widzimy więc, że w układzie osi x1, x2 naprężenia styczne
σ12 = σ21 = τ wywołują odkształcenia czysto postaciowe:

  1. $\varepsilon_{12} = \varepsilon_{21} = \frac{1 + \nu}{E}\tau = \frac{1 + \nu}{E}\sigma_{12}$ . [4]

Wzór (b) można zapisać jeszcze inaczej:

  1. $\varepsilon_{12} = \frac{\sigma_{12}}{2G}$, [5]

gdzie:

G = $\frac{E}{2(1 + \nu)}$. [6]

Współczynnik G nazywamy modułem ścinania, modułem odkształcenia czysto postaciowego lub modułem Kirchhoffa. Wzór [5] można łatwo uogólnić na pozostałe płaszczyzny układu przez zmianę wskaźników:

  1. $\varepsilon_{23} = \frac{\sigma_{23}}{2G}$, $\varepsilon_{31} = \frac{\sigma_{31}}{2G}$. [7]

Podsumowując dotychczasowe rozważania stwierdzamy, że ogólną postać związków fizycznych dla izotropowych ciał liniowo-sprężystych opisuje sześć następujących równań:

$\left. \ \begin{matrix} \varepsilon_{11} = \frac{1}{E}\left\lbrack \sigma_{11} - \nu\left( \sigma_{22} + \sigma_{33} \right) \right\rbrack + \left( \alpha_{T} \bullet T \right), \\ \begin{matrix} \varepsilon_{22} = \frac{1}{E}\left\lbrack \sigma_{22} - \nu\left( \sigma_{11} + \sigma_{33} \right) \right\rbrack + \left( \alpha_{T} \bullet T \right), \\ \varepsilon_{33} = \frac{1}{E}\left\lbrack \sigma_{33} - \nu\left( \sigma_{11} + \sigma_{22} \right) \right\rbrack + \left( \alpha_{T} \bullet T \right), \\ \varepsilon_{12} = \frac{\sigma_{12}}{2G},\varepsilon_{23} = \frac{\sigma_{23}}{2G},\varepsilon_{31} = \frac{\sigma_{31}}{2G}\text{\ \ } \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right\}$ [8]

W równaniach uwzględniono składniki wywołane zmianą temperatury. Składniki te – wobec przyjęcia izotropii termicznej materiału występują tylko przy odkształceniach liniowych.

Po rozwiązaniu układu równań ze względu na naprężenia otrzymujemy drugą, równoważną postać związków fizycznych:

$\left. \ \begin{matrix} \sigma_{11} = \frac{E}{1 + \nu}\left\lbrack \varepsilon_{11} + \frac{\nu}{1 - 2\nu}\left( \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} \right) - (\frac{1 + \nu}{1 - 2\nu}\alpha_{T} \bullet T) \right\rbrack, \\ \begin{matrix} \sigma_{22} = \frac{E}{1 + \nu}\left\lbrack \varepsilon_{22} + \frac{\nu}{1 - 2\nu}\left( \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} \right) - (\frac{1 + \nu}{1 - 2\nu}\alpha_{T} \bullet T) \right\rbrack, \\ \sigma_{33} = \frac{E}{1 + \nu}\left\lbrack \varepsilon_{33} + \frac{\nu}{1 - 2\nu}\left( \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} \right) - (\frac{1 + \nu}{1 - 2\nu}\alpha_{T} \bullet T) \right\rbrack, \\ \sigma_{12} = 2G\varepsilon_{12},\sigma_{23} = 2G\varepsilon_{23},\sigma_{31} = 2G\varepsilon_{31}\text{\ \ } \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right\}$ [9]


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wykład III bud ciało i szybkość
Ciało człowieka Błędy percepcji
Ciało człowieka Pokarm jako źródło energii i wzrostu
Ciało człowieka Szkielet
Ciało jako sposób bycia w świecie, Dokumenty praca mgr
BOROWINA - zabiegi na twarz i ciało, KOSMETYKA
Ciało obce w drogach oddechowych-dorośli, Studia - ratownictwo medyczne, 3 rok, Zawansowane procedur
egzamin zawodowy Ab ciało IV sem ZAK nr 2
Ciało człowieka Nerki
8 Ciało też może sie modlić(1)
Ciało człowieka Chemia ludzkiego organizmu
Cialo ludzkie
20zsnr cialo
ciało doskonale czarne1
Ciało człowieka Płodność i rozmnażanie się
Wpływ energii mieszania na współczynnik wnikania w układzie ciało stałe - ciecz, pwr biotechnologia(
Eucharystyczne w pdf, Oto święte Ciało Pana

więcej podobnych podstron