Zad. 2
Tygodniowa wartość sprzedaży w salonie elektronicznym daje się opisać za pomocą rozkładu normalnego
ze średnią μ = 30 oraz standardowym odchyleniem SD = 2 (jednostki to tysiące złotych).

1. Jakie jest prawdopodobieństwo że roczna sprzedaż przekroczy 1 600 000 (milion sześćset tysięcy złotych) ?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo że kwartalna sprzedaż przekroczy 400 000 (czterysta tysięcy złotych) ?

3. Czy do rozwiązania punktu a) konieczne było założenie o normalności rozkładu sprzedaży ?

4. A do zadania b) ?

Rozwiązanie:

E(X) = μ = 30

SD(X) = σ = 2

$${\overset{\overline{}}{X}}_{n}\sim N\left( \mu;\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

$${{\overset{\overline{}}{X}}_{52}\sim N\left( 30;\frac{2}{\sqrt{52}} \right),\ czyli\ {\overset{\overline{}}{X}}_{52}\sim N(30;0,277)\ \backslash n}{{\overset{\overline{}}{X}}_{52} = \frac{1}{52}\sum_{i = 1}^{52}X_{i}\backslash n\backslash nPoniewaz,\ chodzi\ nam\ o\ }$$

$${P\left( X_{52} > \ 1\ 600\ \right) = ?\backslash n\backslash n}{P\left( X_{52} > 1\ 600\ \right) = P\left( \frac{X_{52} - 1560}{14,404} > \frac{1\ 600\ - 1560}{14,404} \right) = P\left( Z > 2,78 \right) = 1 - \Phi\left( 2,78 \right) = 1 - 0,997 = \backslash n}{= 0,003\backslash n}$$

$${\overset{\overline{}}{X}}_{13}\sim N\left( 30;\ \frac{2}{\sqrt{13}} \right),\ czyli\ {\overset{\overline{}}{X}}_{13}\sim N(30;0,555)\backslash n\backslash nPoniewaz,\ chodzi\ nam\ o\ $$

1. Nie. Jeśli nie byłoby informacji, że prób pochodzi z rozkładu normalnego, to można stwierdzić,
   że rozkład średniej jest w przybliżeniu równy rozkładowi normalnemu.

2. Tak. Dla małej liczby prób (poniżej 25), które by nie pochodziły z rozkładu normalnego, rozkład średni
   może znacznie odbiegać od rozkładu normalnego.

Zad. 3
W czasie wakacji student informatyki PK pracował w kasynie w Las Vegas przy obsłudze „jednorękiego
bandyty”. Przez wiele godzin i dni pracy doszedł do wniosku iż prawdopodobieństwo wygrania 20 dolarów przy wrzuceniu „quartera” (25 centów) wynosi p  =  10%.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 100 grach na tej maszynie wygrana wyniesie nie mniej
   niż 160 dolarów ?

2. Załóżmy, że pan John Smith zagrał na tej maszynie 36 razy i wygrał 100 dolarów. Co można powiedzieć
   o wniosku studenta informatyki PK ?

q = 1 − p = 0, 9 ∖ n ∖ n

1. n = 100

Z twierdzenia granicznego De Moivre’a – Laplace’a :

$${X_{n}\sim N\left( n \bullet p;\ \sqrt{n \bullet p \bullet q} \right)\backslash n\backslash n}{X_{n}\sim N\left( \mu;\ \sigma \right)}$$

$${\mu = 100 \bullet 0,1 = 10\backslash n}{\sigma = \sqrt{100 \bullet 0,1 \bullet 0,9} = 3\backslash n\backslash n\backslash n}{\mathbf{X}_{\mathbf{100}}\mathbf{\sim N(10;3)}\backslash n\backslash n}$$

X ∼ B(0, 1; 36) ∖ n

k = 5

$${P\left( X = k \right) = \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \bullet p^{k} \bullet \left( 1 - p \right)^{n - k} = \frac{n!}{k! \bullet \left( n - k \right)!} \bullet p^{k} \bullet q^{n - k}\backslash n}{P\left( X = 5 \right) = \begin{pmatrix} 36 \\ 5 \\ \end{pmatrix} \bullet {0,1}^{5} \bullet \left( 1 - 0,1 \right)^{36 - 5} = \frac{36!}{5! \bullet \left( 36 - 5 \right)!} \bullet {0,1}^{5} \bullet {0,9}^{31} \approx 0,14 \approx 14\%\ \backslash n}$$

Uważam, że wnioski jakie przedstawił student są -ogólnie prawdziwe, w przypadku gry Pana Smith’a
okazały się nie do końca takie jakie przedstawił student. Może to być spowodowane ilością prób – różną
w obu przypadkach - a także „przypadkowością” sukcesów.