Dane parametry stopnia turbiny:

• Strumień masy pary: $\dot{m} = 12,1\ \text{kg}/s$

• Średnica podziałowa stopnia turbiny: d_P = 0, 625 m

• Ciśnienie pary na wlocie do stopnia: p₀ = 11 MPa

• Entalpia na wlocie do stopnia: i₀ = 3280 kJ/kg

• Izentropowa prędkość względna: w_1s = 82 m/s

• w_2s = 82 m/s

stopień reakcyjny a zatem:

• ρ = 50%

1. Obliczenie spadku entalpii w kanale kierowniczym:

$$H^{w} = \ \frac{w_{2s}^{2} - w_{1s}^{2}}{2} = \ \frac{200^{2} - 82^{2}}{2} = 16,638\ kJ/kg$$

H^k = H^w = 16, 638 kJ/kg

1. Obliczanie spadku entalpii w stopniu:

$$H = \frac{H^{w}}{\rho} = \frac{16,638}{0,5} = 33,276\ kJ/kg$$

1. Teoretyczna prędkość bezwzględna w kierownicy:

$$c_{1S} = \sqrt{2H^{k}} = \sqrt{2 \bullet 16638} = 182,417\ m/s$$

1. Prędkość obwodowa:

$$u = \frac{\pi \bullet n \bullet d_{P}}{60} = \frac{\pi \bullet 3000 \bullet 0,750}{60} = 117,809\ m/s$$

1. Obliczanie kąta wpływu do kanału wirnikowego β₁ :

$$\beta_{1} = arccos\left( \frac{{c_{1S}}^{2}{- \ w_{1S}}^{2} - u^{2}}{2 \bullet w_{1s} \bullet u} \right) = arccos\left( \frac{{182,417}^{2} - 82^{2} - {117,809}^{2}}{2 \bullet 82\ \bullet 117,809} \right) = 49,01$$

1. Teoretyczna długość łopatki kierowniczej:

$$l_{1t} = \frac{\dot{m} \bullet v_{1s}}{d_{p} \bullet \tau \bullet \pi \bullet \sin{\alpha_{1} \bullet c_{1s}}} = \frac{305\ \bullet 0,0291}{0,750 \bullet 0,9 \bullet \pi \bullet \sin{20 \bullet 182,417}} = 67,084\ mm$$

1. Teoretyczna długość łopatki wirnikowej:

l_2t = l₁t + l = 67, 084 + 3 = 70, 084 mm

1. Obliczanie kąta β₂ :

$$\beta_{2} = arcsin\left( \frac{\dot{m} \bullet v_{2s}}{d_{p} \bullet \tau \bullet \pi \bullet w_{2s} \bullet l_{2t}} \right) = \frac{305\ \bullet 0,0304}{0,750 \bullet 0,9 \bullet \pi \bullet 200\ \bullet 0,070084} = 18,17$$

1. Obliczanie teoretycznej prędkości bezwzględnej w wirniku:

$$c_{2S} = \sqrt{{w_{2S}}^{2} + u^{2} + 2 \bullet w_{2S} \bullet u \bullet \cos\beta_{2}} = \sqrt{200^{2} + {117,809}^{2} + 2 \bullet 200 \bullet 117,809 \bullet \cos{18,17}}\backslash n$$

=95, 421 m/s

1. Obliczanie kąta α₂ :

$$\alpha_{2} = arccos\left( \frac{{w_{2S}}^{2}{- \ c_{2S}}^{2} - u^{2}}{2 \bullet c_{2s} \bullet u} \right) = arccos\left( \frac{200^{2} - {95,421}^{2} - {117,809}^{2}}{2 \bullet 95,421\ \bullet 117,809} \right) = 40,81$$

1. Teoretyczne trójkąty prędkości:

α1 =20°	α2 =40,81°
β1 = 49,01°	β2 = 18,17°
c1s = 182,417 m/s	c2s=95,421 m/s
w1s=82 m/s	w2s = 200 m/s
u =117,809 m/s

1. Obliczenie liczby Macha w kierownicy i wirniku:

Przyjmuję κ = 1, 3

• Kierownica

$$a_{1s} = \sqrt{\kappa \bullet p_{1} \bullet v_{1s}} = \sqrt{1,3 \bullet 10,387\ \bullet 10^{6} \bullet 0,0291} = 626,849\ m/s$$

$$\text{Ma}_{1} = \frac{c_{1s}}{a_{1s}} = \frac{182,417\ }{626,849} = 0,291$$

• Wirnik

$$a_{2s} = \sqrt{\kappa \bullet p_{2} \bullet v_{2s}} = \sqrt{1,3 \bullet 9,828\ \bullet 10^{6} \bullet 0,0304} = 623,232\ m/s$$

$$\text{Ma}_{2} = \frac{w_{2s}}{a_{2s}} = \frac{200}{623,232} = 0,3209$$

1. Na podstawie uzyskanych wyników obliczeń dobrano profile łopatek (ze względu na stopień reakcyjny profile łopatek kierowniczych i wirnikowych są jednakowe) : C5520A

2. Obliczenie teoretycznej smukłości łopatki kierowniczej

$$= \frac{l_{1t}}{s_{1}}$$

$$\frac{1}{_{1t}} = \frac{s_{1}}{l_{1t}} = \frac{39,400}{67,084} = 0,587$$

1. Obliczanie współczynnika strat prędkości bezwzględnej w kierownicy:

$$\varphi = 0,98 - 0,008 \bullet \frac{s_{1}}{l_{1t}} = 0,98 - 0,008 \bullet 0,587 = 0,975$$

1. Rzeczywista długość i smukłość łopatki kierowniczej:

$$l_{1} = l_{1t} \bullet \frac{c_{1s}}{c_{1}} = l_{1t} \bullet \frac{1}{\varphi} = 67,804 \bullet \frac{1}{0,975} = 68,783\ \text{mm}$$

$$\frac{1}{_{1}} = \frac{s_{1}}{l_{1}} = \frac{39,400}{68,783} = 0,573$$

1. Rzeczywista prędkość bezwzględna w kierownicy:

c₁ = c_1s • φ = 182, 417 • 0, 975 = 177, 911 m/s

1. Rzeczywista prędkość względna w kierownicy:

$$w_{1} = \sqrt{{c_{1}}^{2} + u^{2} - 2 \bullet c_{1} \bullet u \bullet \cos\alpha_{1}} = \sqrt{{177,911}^{2} + {117,809}^{2} - 2 \bullet 117,809 \bullet 117,809 \bullet \cos{20}}$$

=78, 360 m/s

1. Rzeczywisty kąt wpływu do kanału wirnikowego:

$$\beta_{1} = \arccos\left( \frac{{c_{1S}}^{2}{- \ w_{1}}^{2} - u^{2}}{2 \bullet w_{1} \bullet u} \right) = \arccos\left( \frac{{177,911}^{2} - {78,360}^{2} - {117,809}^{2}}{2 \bullet 78,360\ \bullet 117,809} \right) = 50,94$$

1. Teoretyczna smukłość łopatki wirnikowej:

$$= \frac{l_{2t}}{s_{2}}$$

$$\frac{1}{_{2t}} = \frac{s_{2}}{l_{2t}} = \frac{39,400}{70,084} = 0,562$$

1. Współczynnik strat prędkości względnej w wirniku:

$$\psi = 0,96 - 0,14 \bullet \frac{s_{2}}{l_{2t}} = 0,96 - 0,14 \bullet 0,562 = 0,881$$

1. Rzeczywista długość i smukłość łopatki wirnikowej:

l₂ = l₁ + l = 68, 783 + 3 = 71, 783 mm

$$\frac{1}{_{2}} = \frac{s_{2}}{l_{2}} = \frac{39,400}{71,783} = 0,548$$

1. Rzeczywista prędkość względna w wirniku:

w₂ = w_2s • ψ = 200 • 0, 881 = 176, 259 m/s

1. Rzeczywisty kąt β₂ :

$$\beta_{2} = \arcsin\left( \frac{\dot{m} \bullet v_{2s}}{d_{p} \bullet \tau \bullet \pi \bullet w_{2} \bullet l_{2}} \right) = \frac{305\ \bullet 0,0304}{0,750 \bullet 0,9 \bullet \pi \bullet 176,259\ \bullet 0,071783} = 20,217$$

1. Rzeczywista prędkość bezwzględna w wirniku

$$c_{2} = \sqrt{{w_{2}}^{2} + u^{2} + 2 \bullet w_{2} \bullet u \bullet \cos\beta_{2}} = \sqrt{{176,259}^{2} + {117,809}^{2} + 2 \bullet 176,259 \bullet 117,809 \bullet \cos{20,217}}$$

=77, 298 m/s

1. Kąt wypływu z wirnika:

$$\alpha_{2} = \arccos\left( \frac{{w_{2}}^{2}{- \ c_{2}}^{2} - u^{2}}{2 \bullet c_{2} \bullet u} \right) = \left( \frac{{176,259}^{2} - {77,298}^{2} - {117,809}^{2}}{2 \bullet 77,298\ \bullet 117,809} \right) = 51,99$$

1. Obliczanie strat w stopniu:

• Strata wylotowa:

$$h_{\text{wyl}} = \frac{{c_{2}}^{2}}{2} = \frac{{77,298}^{2}}{2} = 2,987\ \text{kJ}/\text{kg}$$

• Strata w kierownicy

$${h}_{d} = \frac{{c_{1s}}^{2} - {c_{1}}^{2}}{2} = \frac{182,417 - {177,911}^{2}}{2} = 0,812\ \text{kJ}/\text{kg}$$

• Strata w wirniku

$${h}_{\tau} = \frac{{w_{2s}}^{2} - {w_{2}}^{2}}{2} = \frac{200^{2} - {176,259}^{2}}{2} = 4,466\ \text{kJ}/\text{kg}$$

1. Obliczanie pracy obwodowej i sprawności obwodowej stopnia:

l_u = H − (Δh_d+Δh_τ+Δh_wyl) = 33, 276 − (0,812+4,466+2,987) = 25, 011 kJ/kg

$$\eta = \frac{l_{u}}{H - {\Delta h}_{\text{wyl}}} = \frac{25,011}{33,276 - 2,987} = 82,57\%$$

praca obwodowa z row.Eulera:

$$\begin{matrix} \ \\ l \\ \end{matrix}_{u} = u\left( \text{w\ }_{1u} + \text{w\ }_{2u} \right) = u\left( \text{w\ }_{1}\cos\beta_{1} + \text{w\ }_{2}\cos\beta_{2} \right) = 117,809\ (78,360 \bullet cos\ 50,94 + 176,259 \bullet \cos{20,217) = \ }25,302\ kJ/kg$$

błąd względny: $\delta = \frac{25,302 - 25,011}{25,302} = 1,15\ \%$

1. Obliczenie mocy stopnia:

N_u = $\dot{m}$ ∙ l_u= 305 ∙ 25010,4 = 7,63 MW

1. Siły obwodowe i osiowe:

$$Pu = \dot{m}\left( \text{w\ }_{1u} + \text{w\ }_{2u} \right) = \dot{m}\left( \text{w\ }_{1}\cos\beta_{1} + \text{w\ }_{2}\cos\beta_{2} \right) =$$

=305(78, 360 • cos 50, 94 + 176, 259 • cos20, 217)= 65, 505 kN

$$Pa = \dot{m}\left( \text{w\ }_{1a} - \text{w\ }_{2a} \right) = \dot{m}\left( \text{w\ }_{1}\sin\beta_{1} - w_{2}\text{\ sin}\beta_{2} \right)\ + \ \pi d_{p}l_{2}\left( p_{1} - p_{2} \right) =$$

=305(78, 360 • sin 50, 94 − 176, 259 • sin20, 217)+ π • 0, 75  • 0, 071783 (10,387−9,8284) • 10⁶ =  94, 46 kN

1. Sprawdzenie gładkości aerodynamicznej profilu kierowniczego i wirnikowego:

przyjęto na podstawie wykresu ν =f (p,T) kierownica: ν₁ =  0, 75  •  10⁻⁵ m²/s
wirnik: ν₂ =  0, 85  •  10⁻⁵ m²/s

$$\text{Re}_{1} = \frac{c_{1s} \bullet s_{1}}{\nu_{1}} = \frac{182,417 \bullet 0,0394}{0,75\ \bullet \ 10^{- 5}} = 9,\ 58\ \bullet \ 10^{5}$$

Re_gr = 2  •  10⁵

Re₁ > Re_gr

kanał jest chropowaty

$$\text{Re}_{2} = \frac{w_{2s} \bullet s_{2}}{\nu_{2}} = \frac{200 \bullet 0,0394}{0,85\ \bullet \ 10^{- 5}} = 9,\ 27\ \bullet \ 10^{5}$$

Re_gr = 2  •  10⁵

Re₁ > Re_gr

kanał jest chropowaty

1. Obliczenia wytrzymałościowe dla profilu kierowniczego i wirnikowego:

obliczanie ilości łopatek: przyjmuję ${\overset{\overline{}}{t}}_{1}{= \ \overset{\overline{}}{t}}_{2} = 0,70$

kierownica: $z_{1} = \frac{\pi d_{p}}{\overset{\overline{}}{t} \bullet s_{1}} = \frac{\pi \bullet 0,750}{0,70\ \bullet 0,0394} = 86$

wirnik: $z_{2} = \frac{\pi d_{p}}{\overset{\overline{}}{t} \bullet s_{2}} = \frac{\pi \bullet 0,750}{0,70\ \bullet 0,0394} = 86$

z₁ = z₂ - stopień reakcyjny

kontrola wytrzymałościowa:

Przyjmuję W_kr = 0, 275 • 10⁻⁴ m³ na podstawie Atlasu Łopatek:

$$\sigma_{zg1} = \frac{P_{u}l_{1}}{2z_{1}W_{\text{kr}}} = \ \frac{65505\ \bullet 0,0768783}{2 \bullet 86 \bullet 0,275 \bullet 10^{- 6}} = 95,256\ MPa$$

$$\sigma_{zg2} = \frac{P_{u}l_{2}}{2z_{2}W_{\text{kr}}} = \ \frac{65505\ \bullet 0,071783}{2 \bullet 86 \bullet 0,275 \bullet 10^{- 6}} = 99,412\ MPa$$