Określanie położenia środka ciężkości figur płaskich.

Aby określić środek ciężkości dowolnego ciała, należy:

$$x_{c} = \frac{\sum_{i = 1}^{i = n}{V_{i}x_{i}V_{i}}}{\sum_{i = 1}^{i = n}{V_{i}{V}_{i}}}$$

$$y_{c} = \frac{\sum_{i = 1}^{i = n}{V_{i}y_{i}}{V}_{i}}{\sum_{i = 1}^{i = n}{V_{i}{V}_{i}}}$$

$$z_{c} = \frac{\sum_{i = 1}^{i = n}{V_{i}z_{i}{V}_{i}}}{\sum_{i = 1}^{i = n}{V_{i}{V}_{i}}}$$

Wzory te są wzorami przybliżonymi. Aby otrzymać wzory dokładne, trzeba przejść do granicy zakładając, że liczba n elementów, na które podzielimy dane ciało, dąży do nieskończoności przy jednoczesnym dążeniu do zera wszystkich ich wymiarów.

Występujące we wzorach sumy po przejściu granicy zmieniają się w całki objętościowe rozciągnięte na całą objętość rozpatrywanego ciała i statecznie 0trzymujemy:

$$x_{c} = \frac{\int_{}^{}{vV_{x}\text{dV}}}{\int_{}^{}\text{vVdV}} = \frac{\int_{}^{}vV_{x}\text{dV}}{G}$$

$$y_{c =}\frac{\int_{}^{}vV_{y}\text{dV}}{\int_{}^{}\text{vdV}} = \frac{\int_{}^{}vV_{y}\text{dV}}{G}$$

$$z_{c} = \frac{\int_{}^{}vv_{z}\text{dV}}{\int_{}^{}v\text{vdV}} = \frac{\int_{}^{}vv_{z}\text{dV}}{G}$$

Na przykład, żeby obliczyć wartość współrzędnych środka ciężkości powierzchni prostokąta należy założyć, że grubość tego prostokąta jest dowolnie mała i wynosi dz , wtedy:

dV=dzdF, gdzie dF jest elementem powierzchni.

G=vdV=vdzdF

dF=dxdy, po podstawieniu do podanych wyżej wzorów otrzymujemy wzory na obliczenia współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej.

$$x_{c} = \frac{\int_{}^{}\text{FxdzdF}}{\int_{}^{}\text{FdzdF}} = \frac{\int_{}^{}\text{FxdF}}{\int_{}^{}\text{FdF}} = \frac{\iint_{00}^{\text{ah}}\text{xdxdy}}{F} = \frac{\int_{0}^{a}\text{xdx}\int_{0}^{h}\text{dy}}{\text{ah}}$$

$$x_{c} = \frac{ha^{2}}{\text{ha}} = \frac{a}{2}$$

$$y_{c} = \frac{\int_{}^{}\text{FydzdF}}{\int_{}^{}\text{FdzdF}} = \frac{\int_{}^{}\text{FxdF}}{\int_{}^{}\text{FdF}} = \frac{\iint_{00}^{\text{ah}}\text{ydxdy}}{F} = \frac{\int_{0}^{a}{\text{dx}\int_{0}^{h}\text{ydy}}}{\text{ab}}$$

$$y_{c} = \frac{h^{2}a}{\text{ha}} = \frac{h}{2}$$

Środek ciężkości trójkąta.

W przypadku, gdy dane są: wysokość h i odstawa d.

y₁ = a₁x₁ + b  dla y₁ = 0,   b₁ = 0

dla y₁ = h,  x₁ = x_w → a₁ = h/x_w

y₂ = a₂x₂ + b₂ dla y₂ = 0,      x₂ = d → b₂/a₂ = −d

dlay₂ = h,   x₂ = x_w → a₂ = −h/(d − x_w)

b₂ = hd/(1 − x_w)

x₁ = y₁/a₁

x₂ = (y₂ − b₂)/a₂

$$y_{c} = \frac{\int_{}^{}{\left( x_{2} - x_{1} \right)\text{ydy}}}{\int_{}^{}{\left( x_{2} - x_{1} \right)\text{dy}}} = \frac{\text{Sx}}{F}$$

$$Sx = \int_{0}^{h}{\left( \frac{y^{2}}{a_{2}} - \frac{b_{2}y}{a_{2}} - \frac{y^{2}}{a_{1}} \right)dy = \frac{h^{2}d}{6}}$$

$$y_{c} = \frac{\frac{h^{2}d}{6}}{\frac{\text{hd}}{2}} = \frac{h}{3}$$

W identyczny sposób możemy zapisać wzór na współrzędną środka ciężkości x_c

$$x_{c} = \frac{\text{Sy}}{F}\ \ \ \ \ ,\ gdzie\ Sy = \int_{}^{}\text{xdF} \rightarrow moment\ statyczny\ wzgledem\ osi\ y$$

Jeżeli środek ciężkości leży na osi względem której liczymy moment statyczny, to moment ten równy jest 0

Określenie położenia ciężkości łuku koła o promieniu R i kącie środkowym 2a.

$$y_{c} = \frac{\int_{}^{}\text{lydl}}{\int_{}^{}\text{ldl}} = \frac{\int_{- a}^{+ a}\text{RsinΦRdΦ}}{\int_{- a}^{+ a}\text{RdΦ}} = \frac{R2(cos\ \alpha - \cos\left( - \alpha \right))}{R(a - ( - a)} = \frac{0}{2R\alpha} = 0$$

$$x_{c} = \frac{\int_{}^{}\text{lxdl}}{\int_{}^{}\text{ldl}} = \frac{\int_{- a}^{+ a}\text{R\ cosαΦRdΦ}}{\int_{- a}^{+ a}\text{RdΦ}} = \frac{R^{2}(sin\alpha - sin( - \alpha)}{R(\alpha - ( - \alpha)} = \frac{2R^{2}\text{sinα}}{2R\alpha} = R\frac{\text{sinα}}{\alpha}$$