Uzupełnienie_ operatory

1. Wykazać, że „pole newtonowskie” jest polem potencjalnym. Pokazać, że natężenie pola grawitacyjnego γ jest równe gradientowi potencjału ϕ (z minusem). W tym celu obliczyć składowe γ_x, γ_y i γ_z natężenie pola grawitacyjnego i pokazać, że są równe odpowiednio: δϕ/δx, δϕ/δy i δϕ/δz.

2. Wykazać, że pole wektora F o składowych P=4xy³z⁴ − 3y² − 16x³z, Q = 6x²y²z⁴ − 6xy + 2z³ i R = 8x²y³z³ + 6yz² − 4x⁴ posiada potencjał w całej przestrzeni (pole wektorowe mające potencjał w pewnym obszarze jest zawsze niewirowe, pole niewirowe ma rotację równą 0).

3. Dane jest pole wektorowe potencjalne R o składowych R_x = 25x⁴y − 3y², R_y = 5x⁵ − 6xy − 5 i R_z = 0. Wyznaczyć funkcję V określającą potencjał w każdym punkcie pola, jeżeli wiemy, że V=1 w punkcie A(0,0,0).

4. Dane jest pole wektorowe R o składowych R_x = yz(2x + y + z), R_y = xz(x + 2y + z) i R_z = xy(x + y + 2z). Wykazać, że dane pole jest polem potencjalnym i znaleźć potencjał.

5. Pokazać, że dla dwóch pól wektorowych A i B prawdziwy jest wzór: div (A×B) = B • rot A − A • rot B.

6. Dowolny ruch ciała sztywnego można złożyć z ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty ciała sztywnego mają tę samą prędkość translacji v₀ oraz z ruchu obrotowego wokół chwilowej osi obrotu z prędkością ω × r, gdzie ω jest prędkością kątową obrotu ciała sztywnego (v = v₀+ω × r). Pokazać, że $\mathbf{\omega =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\text{rot\ }\mathbf{v}$.