Numer ćwiczenia: 107	Wykonali:	Numery indeksów:	Ocena:
Data wykonania: 06.05.2013	Prowadzący: mgr inż. Bartosz Bursa	Data oddania sprawozdania: 20.05.2013

Wyznaczanie zależności współczynnika lepkości od temperatury

Wstęp teoretyczny:

Drobiny w poruszającym się płynie (cieczy lub gazie) mają różną prędkość. Na przykład, w rurze prędkość cząsteczek bezpośrednio dotykających ścianki jest zerowa, cząstki oddalone od ścianki rury mają prędkość rosnącą z malejącą odległością od osi rury. Dowolny płyn możemy w myśli podzielić na warstwy w taki sposób, żeby wszystkie cząstki pojedynczej warstwy miały tę samą prędkość. Dla rury taka warstwa miałaby kształt cienkiego cylindra. W ogólnym przypadku kształt warstwy jest określony kształtem naczynia, w którym odbywa się przepływ. We wszystkich płynach rzeczywistych między warstwami występują siły tarcia. Od strony warstwy poruszającej się szybciej działa na warstwę poruszającą się wolniej siła przyspieszająca. Natomiast od strony warstwy poruszającej się wolniej na warstwę poruszającą się szybciej działa siła hamująca. Siły te zwane siłami tarcia wewnętrznego są skierowane stycznie do powierzchni warstw.

Siła tarcia wewnętrznego (F_T) jest tym większa im większe jest pole powierzchni (S) oraz im większy jest gradient prędkości w kierunku prostopadłym do ruchu ($\frac{\text{dν}}{\text{dz}}$)

$$F_{r} = \eta S\frac{\text{dν}}{\text{dz}}$$

Gradient prędkości jest graniczną wartością stosunku (ν₁ − ν₂)/z dla z → 0, liczbowo jest równy różnicy prędkości warstw odległych o jednostkę długości. Wielkość η, zależną od rodzaju cieczy, nazywamy współczynnikiem tarcia wewnętrznego lub współczynnikiem lepkości. Wymiarem współczynnika lepkości jest kg/(m • s). Ciecz ma lepkość jednostkową, jeżeli siła 1N działająca na powierzchnię 1m² powoduje spadek prędkości o 1m/s na odcinku z=1m. w rzadziej obecnie stosowanym układzie CGS używa się jednostki o wymiarze g/(cm • s), zwanej puazem. Obie jednostki dają się łatwo porównywać: 1 kg/(m • s) = 10 puazów.
Lepkość cieczy w znacznym stopniu zależy od temperatury: ze wzrostem temperatury jej wartość maleje. Zmiany temperaturowe lepkości gazów mają charakter odwrotny – lepkość gazu wzrasta z temperaturą. Ciekawe zjawisko odkrył Kapica. Stwierdził on, że ciekły hel w temperaturze −271C (2K) przechodzi w stan nadpłynności polegający na tym, że jego lepkość jest równa zeru. Ciało stałe poruszające się w cieczy nielepkiej nie napotyka żadnego oporu, natomiast opór stawiany ciału przez ciecz lepką powoduje, że jego ruch pod działaniem stałej siły jest jednostajny (z wyjątkiem odcinka początkowego), a nie przyspieszony.
Ruch kulki w cieczy lepiej opisał Stokes – w naszym ćwiczeniu wykorzystamy właściwości tego ruchu do wyznaczenia współczynnika lepkości.

Zasada pomiaru

F_T = 6πηrν,

gdzie: r – promień, ν – prędkości kulki.

W ćwiczeniu kulka opada w cieczy pod wpływem siły ciężkości:

$$F_{G} = mg\frac{4}{3}\pi r^{3}d_{k}g,$$

gdzie d_k − gestosc kulki, g – przyspieszenie ziemskie.

Oprócz wymienionych sił istotną rolę odgrywa wypór hydrostatyczny, który zgodnie z prawem Archimedesa, wyrażamy wzorem:

$F_{W} = \frac{4}{3}\pi r^{3}d_{c}g$,

gdzie d_c − gestosc cieczy 

Uwzględniwszy kierunki działania sił, siłę wypadkową zapiszemy w postaci:

F = F_G − F_W − F_T.

Od momentu puszczenia kulki (ν₀=0) jej ruch jest przyspieszony, ponieważ siła ciężkości jest większa od sumy sił wyporu i lepkości. Ze wzrostem prędkości roście także siła tarcia, co prowadzi do zmniejszenia siły wypadkowej F. Tak się dzieje aż do chwili, gdy wypadkowa siła osiągnie wartość zerową. Od tego momentu ruch kulki staje się jednostajny.

W warunkach doświadczenia prędkość wyznaczamy mierząc czas t, w jakim kulka przebywa ustaloną drogę l.

Z równania siły wypadkowej dla zakresu ruchu jednostajnego (F=0) możemy wyznaczyć współczynnik lepkości. Po dokonaniu odpowiednich przekształceń powyższych równań otrzymujemy wyrażenie na współczynnik lepkości:

$\eta = \frac{2\left( d_{k} - d_{c} \right)gr^{2}t}{9l}$.

To równanie stanowi podstawę metody wyznaczania współczynnika lepkości, którą opisano poniżej.

Wiskozymetr Höplera

Celem niniejszego ćwiczenia jest znalezienie wartości współczynnika lepkości w zależności od temperatury. Posłużymy się w tym celu odpowiednią aparaturą, mianowicie wiskozymetrem Höplera oraz ultratermostatem. W wiskozymetrze Höplera średnica kulki nieznacznie przekracza średnicę kulki, a sam cylinder jest ustawiony nieco ukośnie, dzięki czemu kulka toczy się po ściance cylindra ruchem jednostajnym. Wzór na współczynnik lepkości stosuje się również w omawianym przypadku,
lecz zapiszemy go obecnie w postaci:

η = K(d_k−d_c)t,

gdzie K jest stałą przyrządu wyznaczaną doświadczalnie z pomiaru dla cieczy o znanym współczynniku lepkości.
Gęstość kulki i cieczy przyjmujemy na podstawie tablic. Jedyną wielkością, którą należy zmierzyć jest czas spadania kulki między dwoma poziomami zaznaczonymi na cylindrze. W niektórych typach przyrządów są zaznaczone trzy poziomy, co umożliwia stwierdzenie jednostajności ruchu kulki. Gdy ruch jest jednostajny, czasy pokonywania odcinka górnego i dolnego są równe. Pomiar czasu spadania kulki można powtarzać wielokrotnie – wystarczy każdorazowo obrócić przyrząd o kąt 180.

Cylinder wiskozymetru jest otoczony płaszczem wodnym o regulowanej temperaturze, której wartość wskazuje zanurzony w wodzie termometr. Obudowa płaszcza wodnego jest połączona elastycznymi przewodami z ultratermostatem, w których następuje regulacja temperatury wody. Wskutek strat ciepła w przewodach doprowadzających ciecz termostującą do wiskozymetru jego temperatura różni się od wartości nastawionej na regulatorze ultratermostatu. Pod uwagę bierzemy temperaturę wskazywaną przez termometr wiskozymetru.

Do znalezienia stałej K wykorzystujemy równanie η = K(d_k−d_c)t. Podstawiamy do niego wartość η z tablic dla 20 oraz t – czas opadania zmierzony dla temperatury 20.

Wartość η dla innych wartości temperatury obliczamy bezpośrednio podstawiając już znaną stałą K i mierzony czas opadania.

Wyniki i obliczenia:

Wyniki pomiarów:

	Pierwszy pomiar	Drugi pomiar	Średnia	Czas w sekundach
20	2’32’’42	2’30’’86	2’31’’64	151,64
25	1’39’’58	1’24’’12	1’31’’85	91,85
30	1’21’’27	56’’46	1’08’’87	68,87
35	55’’54	41’’62	48’’58	48,58
40	39’’04	28’’42	33’’73	33,73
45	28’’44	25’’10	26’’77	26,77
50	22’’12	19’’60	20’’86	20,86
55	17’’04	14’’26	15’’65	15,65
60	11’’90	10’’86	11’’38	11,38

Gęstość kulki (8150±10)kg/m³

Współczynnik lepkości dla gliceryny przy 20 - η = 1, 494 [Pa • s]

Współczynnik lepkości dla gliceryny przy 25 - η = 0, 934 [Pa • s]

Wartość stałej K:

$$K = \frac{\eta}{\left( d_{k} - d_{c} \right)t} = \frac{1,494}{(8150 - 1262) \bullet 151,64} = 1,4304 \bullet 10^{- 6}\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{s^{2}} \right\rbrack$$

Błąd stałej K:

$$K = K\left( \left| \frac{d_{k} + d_{c}}{d_{k} - d_{c}} \right| + \left| - \frac{t}{t} \right| \right)$$

gdzie d_k = 10, d_c = 10, t = 0, 5

$$K = 8,8695 \bullet 10^{- 9}\left\lbrack \frac{m^{2}}{s^{2}} \right\rbrack$$

η₂ = K • (d_k−d_c) • t₂ = 1, 4304 • 10⁻⁶ • (8150−1262) • 91, 85 = 0, 9049 [Pa • s]

Błąd współczynnika lepkości:

$$\eta = \eta\left( \left| \frac{K}{K} \right| + \left| \frac{d_{k} + d_{c}}{d_{k} - d_{c}} \right| + \left| \frac{t}{t} \right| \right)$$

η₂ = 0, 0132 [Pa • s]

Tabela z wynikami obliczeń dla wszystkich pomiarów:

L.p.	T[]	t [s]	η [Pa • s]	η [Pa • s]
1	20	151,64	1,494	0,01853
2	25	91,85	0,9049	0,01317
3	30	68,87	0,6785	0,01110
4	35	48,58	0,4786	0,00928
5	40	33,73	0,3323	0,00795
6	45	26,77	0,2637	0,00733
7	50	20,86	0,2055	0,00680
8	55	15,65	0,1542	0,00633
9	60	11,38	0,1121	0,00595

Wykres zależności współczynnika lepkości od temperatury:

Wnioski:

Z wykresu wynika, że współczynnik lepkości gliceryny maleje wykładniczo wraz ze wzrostem temperatury. Jest to zgodne z obserwacjami z doświadczenia, ponieważ przy większej temperaturze kulka opadała szybciej. Niepewności pomiarowe są duże, a największy wpływ na nie miał czas mierzony przez operatora, ponieważ trzeba wziąć pod uwagę błąd paralaksy, tzn. kąt pod jakim obserwator patrzył na rurkę z gliceryną oraz czas reakcji człowieka.