POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA MECHATRONIKI
Laboratorium Mechaniki i Mechatroniki
Nr: 6	Temat: Drgania układów n-masowych – pomiary i symulacje
Wykonano: 23.11.2011	Oddano: 21.12.2011
	Prowadzący: dr inż. Paweł Kielan
	Nazwisko i Imię	Ocena	Data, podpis
Studia: SI Elektrotechnika Semestr: III Grupa: II Sekcja: II Dz. i godz. zajęć Środa, godz. 10^15	…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………	……… ……… ……… ……… ………

I. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z następującymi zagadnieniami:

- Zapoznanie się z możliwością wykorzystania środowiska Matlab-Simulink do symulacji

drgań układów elektromechanicznych;

- Opanowanie formalizmu Lagrange’a II rodzaju do formułowania dynamicznych równań

ruchu;

- Określenie częstotliwości rezonansowych dla n- masowego układu drgań skrętnych.

II. Wprowadzenie teoretyczne

Metoda Sztywnych Elementów Skończonych polega na skupieniu masy (tzw. dyskredytacji) , dzięki której z rzeczywistego układu o nieskończonej liczbie swobody otrzymujemy układ gdzie liczba swobody jest skończona. Następnie węzły, dla których dokonano skupienia masy (tzw. węzły redukcji) łączy się między sobą elementami sprężystymi i tłumiącymi. Dzięki tym zabiegom możemy obliczyć ruch korzystając z tzw. równań Lagrange’a oraz zależności na energię.

Równania Lagrange’a II rodzaju:

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial E_{k}}{\partial\dot{q}} \right) - \frac{\partial E_{k}}{\partial q_{i}} = Q_{i}\ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ \ \ \ \ \ i = 1,2,\ldots,n;$$

$$Q_{i} = P_{i} - \frac{\partial E_{p}}{\partial q_{i}} - \frac{\partial D}{\partial\dot{q_{i}}}\ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ \ \ \ \ i = 1,2,\ldots,n$$

Metodę SES wykorzystuje się do obliczeń częstotliwości rezonansowych rzeczywistych układów przeniesienia napędów, stosuje się ją także do symulowania odkształceń, naprężeń, przemieszczeń a także do określenia wytrzymałość konstrukcji. Za pomocą tejże metody możliwe jest uzyskanie wyników dla skomplikowanych kształtów , dla których przeprowadzenie obliczeń analitycznych nie byłoby możliwe.

Zależności na energię dla ruchu liniowego i obrotowego:

III. Równania Lagrange’a dla układów

$$\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial Ek}{\partial xi} \right) + \frac{\partial Ep}{\partial xi} + \frac{\partial D}{\partial xi} = P_{1}$$

$$Ek = \ \frac{1}{2}\ m_{1}{x\dot{}}_{1}^{2}$$

$$Ep = \ \frac{1}{2}\ k_{1\ }{x\dot{}}_{1}^{2}$$

$$D = \ \frac{1}{2}\ c_{1\ }{x\dot{}}_{1}^{2}$$

$$\frac{\partial E_{k}}{\partial x_{1}} = m_{1}{\dot{x}}_{1}$$

$$\frac{d}{\text{dx}}\left( \frac{\partial E_{k}}{\partial x_{1}} \right) = m_{1}{\ddot{x}}_{1}$$

$$\frac{\partial E_{p}}{\partial x_{1}} = k_{1}{\dot{x}}_{1}$$

$$\frac{\partial D}{\partial x_{1}} = c_{1}{\dot{x}}_{1}$$

$$m_{1\ }{x\ddot{}}_{1} + k_{1}{x\dot{}}_{1} + c_{1}{x\dot{}}_{1} = \ P_{1}$$

$$\frac{\partial Ek}{\partial x_{2}} + \frac{\partial Ep}{\partial x_{2}} = P_{2}$$

$$\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial Ek}{\partial x_{1}} \right) + \frac{\partial Ep}{\partial x_{1}} + \frac{\partial D}{\partial x_{1}} = P_{1}$$

$$Ek = \ \frac{1}{2}\ m_{1}{x\dot{}}_{1}^{2} + \ \frac{1}{2}\ m_{2}{x\dot{}}_{1}^{2}$$

$$Ep = \ \frac{1}{2}\ k_{1}({\dot{x}}_{1} - \ {\dot{x}}_{2\ })^{2\ } + \ \frac{1}{2}\ k_{2\ }{\dot{x}}_{1}^{2} = \ \frac{1}{2}\ k_{1}\left( {\dot{x}}_{1}^{2} - \ 2{\dot{x}}_{1}{\dot{x}}_{2} + {\dot{x}}_{2}^{2} \right) + \frac{1}{2}\ k_{2\ }{x\dot{}}_{1}^{2}$$

$$D = \ \frac{1}{2\ }\ c_{1}\ {x\dot{}}_{1}^{2}$$

$$\frac{\partial E_{k}}{\partial x_{1}} = m_{1}{\dot{x}}_{1}\text{\ \ \ \ \ \ }\frac{\partial E_{k}}{\partial x_{2}} = m_{2}{\dot{x}}_{2}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial E_{k}}{\partial x_{1}} \right) = m_{1}{\ddot{x}}_{1}\text{\ \ \ \ \ }\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial E_{k}}{\partial x_{2}} \right) = m_{2}{\ddot{x}}_{2}$$

$$\frac{\partial E_{p}}{\partial x_{1}} = \ \frac{1}{2}\ k_{1}\left( 2{\dot{x}}_{1} - \ 2{\dot{x}}_{2} \right) + \ k_{2\ }{x\dot{}}_{1} = \ k_{1\ }\left( {\dot{x}}_{1} - \ {\dot{x}}_{2} \right) + k_{2\ }{x\dot{}}_{1}$$

$$\frac{\partial E_{p}}{\partial x_{2}} = \ \frac{1}{2}\ k_{1}\left( - 2{\dot{x}}_{1} - \ 2{\dot{x}}_{2} \right) = \ k_{1\ }\left( {\dot{x}}_{2} - \ {\dot{x}}_{1} \right)$$

$$\frac{\partial D}{\partial x_{1}} = c_{1}{\dot{x}}_{1}$$

$$\left\{ \begin{matrix} m_{1}{\dot{x}}_{1} + \ k_{1}\left( {\dot{x}}_{2} - \ {\dot{x}}_{1} \right) + \ k_{2}{x\dot{}}_{1} + \ c_{1}{x\dot{}}_{1} = \ P_{1} \\ m_{2}{x\ddot{}}_{2} + \ k_{1\ }\left( {\dot{x}}_{2} - \ {\dot{x}}_{1} \right) = \ P_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

IV. Symulacje w programie Matlab – Simulink

Implementacja

Przykładowy wykres dla parametru k = 2

Przykładowy wykres dla parametru k = 1

Wyniki symulacji

V. Wnioski

Dokonując symulacji przy pomocy programu Matlab-Simulink, uzyskaliśmy zależność momentu obciążenia i częstotliwości w zależności od wypełnienia tarczy bezwładnościowej krążkami, dla różnych konfiguracji wypełnienia tarczy.

Dla uzyskanych w wyniku symulacji pomiarów otrzymaliśmy charakterystykę malejącą frezk=f(Jobc), gdzie wraz ze wzrostem obciążenia tarczy obserwujemy spadek częstotliwości rezonansowej.

Także zmieniając parametry symulacji wykonywanej w punkcie IV zauważyliśmy znaczne różnice w charakterystykach wyjściowych badanego układu. Dla przykładu zwiększanie wartości parametru m oraz zmniejszanie k (współczynnika sprężystości) znacznie wydłużało czas potrzebny na ustabilizowanie się układu.