Imię: Grzegorz

Nazwisko: Szcześniak

Numer indeksu: 226835

Prowadzący: dr A. Dąbrowski

Termin zajęć: poniedziałek 11:15-12:45

Data wykonania ćwiczenia: 16.05.2011

Ćwiczenie numer 36:

Pomiar lepkości cieczy

Metoda Poiseuille’a

Tab.1. Pomiar czasu opadania wody w naczyniu zakończonym kapilarą; t_wd – czas opadania wody destylowanej, t_a – czas opadania alkoholu, t_wk – czas opadania wody kranowej

L.p.	twd	ta	twk
	[s]	[s]	[s]
1	44,62	93,12	41,27
2	43,37	94,41	43,78
3	43,72	94,59	42,66
Czas średni	43,90	94,04	42,57

Metoda Stokesa

Tab.2 Pomiar czasu opadania kulek na dno cylindra wypełnionego olejem pomiędzy pierścieniami; t_m1-2 – czas opadania małej kulki pomiędzy pierścieniem 1 i 2, t_m2-3 - czas opadania małej kulki pomiędzy pierścieniem 2 i 3 t_m1-3 - czas opadania małej kulki pomiędzy pierścieniem 1 i 3,…

Pierścień 1 – 2	tm1-2	tś1-2	td1-2
	[s]	[s]	[s]
1	2,0	1,17	0,97
2	2,0	1,23	0,92
3	2,18	1,26	0,95
Pierścień 2 – 3	tm2-3	tś2-3	td2-3
	[s]	[s]	[s]
1	2,53	1,34	1,31
2	2,40	1,52	1,17
3	2,43	1,43	1,18
Pierścień 1 - 3	tm1-3	tś1-3	td1-3
	[s]	[s]	[s]
1	4,52	2,92	2,22
2	4,51	2,45	2,20
3	4,42	2,59	2,12

Tab.3. Pomiar średnicy kulek; r_m – średnica małej kulki, r­_ś – średnica średniej kulki, r_d – średnica dużej kulki

L.p.	rm	rś	rd
	[mm]	[mm]	[mm]
1	10,03	15,11	17,41
2	9,98	15,16	17,42
3	10,08	15,12	17,40
4	10,00	15,15	17,42
5	10,01	15,19	17,43
Wartość średnia	10,02	15,15	17,42

Dane zmierzone podczas ćwiczenia:

Średnica cylindra: 6,8 [cm]

Odległości pomiędzy pierścieniami:

1 – 2: 26,6 [cm]

2 – 3: 29,7 [cm]

1 – 3: 57,5 [cm]

TEORIA:

Pierwsza zasada dynamiki Newtona:

Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że jeśli wypadkowa sił działających na ciało jest równa 0, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Prawo Bernoulliego:

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje w podstawowej wersji dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu idealnego. Równanie Bernoulliego wynika z zasady zachowania energii i według intencji jego autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów hydrodynamicznych:

$$p + \text{ρg}h + \frac{1}{2}\rho v^{2} = \text{const}.$$

gdzie: p – ciśnienie atmosferyczne, ρ – gęstość płynu, h – różnica wysokości, v – prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu, g – przyspieszenie ziemskie.

Prawo Stokesa:

Prawo określające siłę oporu ciała w kształcie kuli poruszającego się w płynie (cieczy lub gazie). Zostało odkryte w roku 1851 przez Sir George'a Stokesa. Prawo to wyraża się wzorem:

$$\overrightarrow{F} = - 6\text{πηr}\overrightarrow{v}$$

gdzie:

$\overrightarrow{F} -$ siła oporu, η− lepkość dynamiczna płynu, r− promień kuli, $\overrightarrow{v} - \ $ prędkość kuli względem płynu.

Definicja Puaza:

Puaz (P) (fr. poise) - jednostka lepkości dynamicznej w układzie jednostek miar CGS, nazwana na cześć francuskiego fizyka i lekarza Jeana L. M. Poiseuille'a.

1 P = 1 dyn·s/cm² = 1 g·cm⁻¹·s⁻¹

W układzie SI analogiczną jednostką jest Pa·s

1 Pa·s = 10 P

W praktyce często wygodniej od puazów jest stosować jednostki sto razy mniejsze - centypuazy (cP)

1 P = 100 cP

Wyprowadzenie wzoru na wyznaczanie bezwzględnego współczynnika lepkości:

Warunek równowagi sił stanowiący zarazem warunek ruchu jednostajnego kulki:

mg = 6πηrv + V𝜚_cg

gdzie; V – objętość kulki, 𝜚_c, gęstość ośrodka, v – prędkość kulki, r – promień kulki, m – masa kulki.

Z powyższego wzoru możemy wyznaczyć współczynnik lepkości:

$$\eta = \frac{\left( m - V\varrho_{c} \right)g}{6\text{πrv}}$$

Jeżeli kulka spada w rurze cylindrycznej o promieniu R, występujące wówczas wpływy ścianek zmniejszają prędkość spadania i do powyższego wzoru należy wprowadzić współczynnik korekcyjny zależny od
stosunku r/R:

$$\eta = \frac{\left( m - V\varrho_{c} \right)g}{6\text{πrv}\left( 1 + 2,4\frac{r}{R} \right)}$$

Obliczenia

Metoda Poiseuille’a:

Wyznaczamy ze wzoru współczynnik lepkości ze wzoru:

$$\frac{\eta}{\eta_{0}} = \frac{\text{ρt}}{\rho_{0}t_{0}}$$

gdzie ρ –gestość cieczy badanej, ρ₀ – gęstość wody, t – czas przepływu cieczy badanej, t₀ – czas przepływu wody.

Dla wody kranowej otrzymujemy:

$$\frac{\eta}{\eta_{0}} = \frac{0,998\ g/\text{cm}^{3} \cdot 42,57\ s}{0,998\ g/\text{cm}^{3} \bullet 43,9\ s} \approx 96,97\%$$

Dla badanego alkoholu otrzymujemy:

$$\frac{\eta}{\eta_{0}} = \frac{0,785\ g/\text{cm}^{3} \cdot 94,04s}{0,998\ g/\text{cm}^{3} \bullet 43,9\ s} \approx 168,5\%$$

W powyższych podstawieniach przyjąłem gęstość wody dla temp. 20 °C, oraz uśrednione czasy przepływu obu cieczy (Tab.1).

Obliczmy niepewność naszego wyniku (zakładam, ze dane tablicowe nie są obarczone żadnym błędem). Niepewność tę obliczymy metodą różniczki zupełnej. Da powyższego wzoru przyjmuje on postać:

$$u_{c}\left( \frac{\eta}{\eta_{0}} \right) = \left| \frac{t}{t} \right| + \left| \frac{t_{0}}{t_{0}} \right|$$

gdzie Δt = Δt₀ = 0,2 s.

Po wykonaniu odpowiednich podstawień otrzymujemy:

dla alkoholu:

$$u_{c}\left( \frac{\eta}{\eta_{0}} \right) \approx 0,61\%$$

Metoda Stokesa:

Najpierw obliczymy promień, objętość i masę poszczególnych kulek wykorzystanych w eksperymencie:

Kulka 1:

średnica kulki (Tab.3): 10,02 mm, a zatem promień wynosi r₁ = 5,01 mm (0,501 cm),
a objętość V₁ ≈ 0,527 cm³. Masa kulki m₁ = 1,423 g.

Kulka 2:

średnica kulki (Tab.3): 15,15 mm, a zatem promień wynosi r₂ = 7,58 mm(0,758cm),
a objętość V₂ ≈ 1,824 cm³. Masa kulki m₂ = 4,828 g.

Kulka 3:

średnica kulki (Tab.3): 17,42 mm, a zatem promień wynosi r₃ = 8,71 mm(0,871cm),
a objętość V₃ ≈ 2,767cm³. Masa kulki m₂ = 7,552 g.

W powyższych obliczeniach przyjmujemy gęstość aluminium, z którego wykonane są kulki ρ = 2,7 g/cm³.

Możemy teraz policzyć współczynnik lepkości, wiedząc, że gęstość gliceryny wynosi 1,263 g/cm³.

Dla kulki pierwszej mamy:

$$\overset{\overline{}}{\eta_{1}} = \frac{\left( m_{1} - V_{1}\varrho_{c} \right)g}{6\pi r_{1}v_{1}\left( 1 + 2,4\frac{r_{1}}{R} \right)} \approx 3,172P = 0,3172\ \text{Pa} \bullet s$$

wielkość $\overset{\overline{}}{\eta_{1}}$ oznacza średnią wartość współczynnika η₁ liczoną jako średnią z obliczeń dla przelotów między cylindrami 1-2, 2-3 oraz 1-3. Każdą wartość liczymy z powyższego wzoru, a następnie wyciągamy wartość średnią $\overset{\overline{}}{\eta_{1}}$.

Analogicznie dla kulki drugiej:

$$\overset{\overline{}}{\eta_{2}} = \frac{\left( m_{2} - V_{2}\varrho_{c} \right)g}{6\pi r_{2}v_{2}\left( 1 + 2,4\frac{r_{2}}{R} \right)} \approx 1,977\ P = 0,1977\ \text{Pa} \bullet s$$

Oraz dla trzeciej kulki:

$$\overset{\overline{}}{\eta_{3}} = \frac{\left( m_{3} - V_{3}\varrho_{c} \right)g}{6\pi r_{3}v_{3}\left( 1 + 2,4\frac{r_{3}}{R} \right)} \approx 1,614\ P = 0,1614\text{Pa} \bullet s$$

Średnie arytmetyczne obliczonych współczynników (wyrażonych w Puazach i w Paskalosekundach) wynoszą odpowiednio:

W Puazach:

$$\overset{\overline{}}{\eta} = 2,25\ P$$

W Paskalosekundach:

$$\overset{\overline{}}{\eta} = 0,225\ \text{Pa} \bullet s$$

Obliczymy złożoną niepewność standardową:

Dla współczynnika lepkości wyrażonego w Puazach:

$$u_{c}\left( \eta \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(\eta_{i} - \overset{\overline{}}{\eta})}^{2}} \approx 0,45\ P$$

Analogiczny wynik otrzymujemy dla współczynnika wyrażonego w Paskalosekundach:

$$u_{c}\left( \eta \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(\eta_{i} - \overset{\overline{}}{\eta})}^{2}} \approx 0,045\ \text{Pa} \bullet s$$

Wnioski

W przeprowadzonym doświadczeniu badaliśmy lepkość cieczy, wyniki które otrzymałem są bliskie wartością tablicowym, oprócz obliczeń dla wody kranowej gdyż nie miałem porównania, co oznacza, że ćwiczenie zostało wykonane poprawnie.

W drugiej części badałem lepkość gliceryny, wartość wyliczona różni się bardzo od danych tablicowych. Błąd może leżeć po stronie nieumiejętnego pomiaru czasu i średnicy kulek.