Akademia Techniczno- Humanistyczna
w Bielsku-Białej

Wydział Nauk o Materiałach i Środowisku
Inżynieria Środowiska
Rok I/ Semestr II

LABORATORIUM

Z FIZYKI

Ćwiczenie 61

Wyznaczanie natężenia pole elektrycznego metodą sondy płomykowej.

Grupa 108:

1. Wstęp teoretyczny:

   1. Natężenie i potencjał pola elektrycznego

Oddziaływanie między ładunkami elektrycznymi nie ma charakteru działania na odległość, lecz bywa za pośrednictwem pola elektrycznego. Pole elektryczne istnieje w przestrzeni otaczającej ciała naelektryzowane i przejawia się w postaci sił działających na ładunki elektryczne. W dowolnym układzie ładunków, każdy ładunek wytwarza własne ple elektryczne. W wyniku nałożenia się tych pól, powstaje pole wypadkowe, które powoduje, ze za każdy ładunek w rozważnym układzie działa określona siła. Pole elektryczne wytworzone przez nieruchome ładunki nazywa się polem elektrostatycznym.

W celu ilościowego opisania pola elektrycznego wprowadza się wielkość wektorową zwaną natężeniem pola elektrycznego E, który jest stosunkiem siły F działającej na ładunek elektryczny q₀ umieszczony w tym polu.

gdzie:

E – natężenie pola elektrycznego

F – siła działająca w polu na ten ładunek

q₀ – ładunek próbny o bardzo małym dodatnim ładunku punktowym umieszczony w danym punkcie pola elektrycznego.

Wektor E, jak wynika ze wzoru (1), ma kierunek zgodny z kierunkiem wektora siły działającej w polu elektrycznym na ładunek dodatni. W ogólnym przypadku natężenie pola elektrycznego może mieć różna wartość i kierunek w różnych punktach pola – wówczas E jest funkcja położenia: E = E(x, y, z). Szczególnym zaś przypadkiem pola elektrycznego jest pole jednorodne, w którym wektor natężenia pola ma wszędzie jednakowa wartość i ten sam kierunek, czyli spełnia warunek E = const. W polu elektrostatycznym natężenie pola nie zmienia sie w czasie, co można zapisać w postaci warunku:

$$\frac{\partial E}{\partial t} = 0$$

Pole elektrostatyczne w danym punkcie przestrzeni można scharakteryzować podając jego potencjał elektryczny. Jest to wielkość skalarna określona, jako stosunek energii potencjalnej Ep dodatniego ładunku próbnego q0 w danym punkcie pola do wielkości tego ładunku:

gdzie:

V – potencjał elektryczny pola

E_p – Energia potencjalna w danym punkcie pola

q₀ – ładunek próbny o bardzo małym dodatnim ładunku punktowym

Ponieważ energia potencjalna Ep ładunku q0 w jakimś punkcie określona jest jedynie z dokładnością do stałej addytywnej, przyjmuje sie, że energia potencjalna E_∞ ładunku nieskończenie odległego od układu wytwarzającego pole elektryczne jest równe zeru. Zatem potencjał elektryczny danego punktu pola jest równy liczbowo pracy na jednostkę ładunku wykonywanej przez siły pola przy przenoszeniu jednostkowego ładunku dodatniego z danego punktu do punktu nieskończenie odległego (lub do innego punktu, którego potencjał przyjmuje sie umownie jako potencjał zerowy).

Różnice potencjałów ΔV miedzy dwoma punktami pola elektrycznego określamy, jako napięcie elektryczne U:

U = V = (V₁−V₂)[V]

• Związek miedzy wartością natężenia pola E i potencjałem V:

$$E = - \frac{V}{l}\ \lbrack\frac{V}{m}\rbrack$$

Powyższa zależność określa wartość natężenia pola elektrostatycznego, jako stosunek spadku potencjału -ΔV na niewielkim odcinku prostopadłym do powierzchni ekwipotencjalnej (powierzchnia równego potencjału) do długości Δl tego odcinka. Znak „ – ” wynika stad, że zwrot wektora E jest przeciwny do spadku potencjału.

• Gęstość powierzchniowa ładunku i jej związek z natężeniem pola E

Ładunki elektryczne na powierzchni jakiegoś naładowanego przewodnika rozmieszczone są z różną na ogół gęstością powierzchniowa σ. Gęstość powierzchniowa ładunku określamy, jako:

$$\sigma = \frac{q}{S}\ \lbrack\frac{C}{m^{2}}\rbrack$$

gdzie:

∆q- ładunek elektryczny znajdujący się w elementarnej powierzchni ∆S.

Ważny jest związek miedzy gęstością powierzchniowa ładunku i natężeniem pola elektrycznego, który można zastosować np. do obliczenia wartości σ na podstawie znajomości natężenia pola elektrycznego E. Rozważmy dwie przewodzące płytki, o jednakowych rozmiarach (powierzchnia każdej z płytek wynosi S) ustawione w odległości d od siebie. Przypuśćmy, że na jednej płytce znajduje sie ładunek Q a na drugiej – Q, a odpowiednie wartości potencjałów oznaczymy przesz V1 i V2. Zakładając pole jednorodne w całym obszarze miedzy płytkami, odpowiednia gęstość ładunku na wewnętrznej powierzchni jednej z płytek wynosi:

$$\sigma = \frac{\varepsilon_{0}(V_{1} - V_{2})}{d} = \varepsilon_{0}E\ \lbrack\frac{C}{m^{2}}\rbrack$$

gdzie:

$\varepsilon_{0} = 8.85 \bullet 10^{- 12}\lbrack\frac{F}{m}\rbrack$- przenikalność elektryczna próżni.

Sonda płomykowa jest bardzo cienką rurką, przez którą przepływa gaz świetlny. Jest ona umieszczona między okładkami kondensatora płaskiego, jej koniec znajduje się na osi symetrii płytek. Sonda umieszczona jest na izolowanym statywie, który można przesuwać wzdłuż osi kondensatora. Odległość płytek kondensatora można zmieniać. Potencjał mierzymy woltomierzem elektrostatycznym. Całość podłączona jest do elektrycznego zasilacza wysokonapięciowego.

1. 2. Pomiar rozkładu potencjału za pomocą sondy płomykowej.

Schemat układu do badania rozkładu potencjału metodą sondy płomykowej:

Między okładkami P1 i P2 kondensatora umieszczona jest sonda płomykowa (cienka rurka, przez którą przepływa gaz). Palący się gaz wytwarza płomień, który jest źródłem dużej ilości jonów i dostarcza ładunków, które odpłynęły do woltomierza. Jeśli jedna płytka będzie uziemiona to woltomierz wskaże potencjał w danym punkcie.

2. Opracowanie wyników pomiarów:

1. 1. Po zapaleniu sondy i ustawieniu jej do lewej płytki kondensatora, ustawiłyśmy odpowiednią odległość d i włączyłyśmy zasilacz woltomierza. Każda pierwszą wartość dla odpowiedniej długości d na woltomierzu ustawiałyśmy na 600 V jako pierwszy punkt pomiarowy. Następnie przesuwałyśmy sondę w stronę prawej płytki kondensatora.

Pomiary zamieściłyśmy w tabeli 1.

d=40mm	d=80mm	d=120mm
l[mm]	V1[V]	l[mm]
9	600	20
11	700	23
13	880	26
15	1040	29
17	1230	32
19	1410	35
21	1600	38
23	1820	41
25	1980	44
27	2200	47
29	2380	50
31	2550	53
33	2740	56
35	2870	59
37	3000	62
		65
		68
		71

2. 2. Współczynnik kierunkowy „a” wyznaczyłyśmy metodą regresji liniowej za pomocą wzoru:

y = ax + b

Przykładowe obliczenia:

y = 90.304 • 9 − 276.98 ∖ ny = 535.756

1. Po wprowadzeniu danych do programu na komputerze otrzymaliśmy następujące:

1. dla d = 40mm

a=90.30 $\lbrack\frac{V}{\text{mm}}\rbrack$ Δa =1.11$\lbrack\frac{V}{\text{mm}}\rbrack$

b= -276.98 [-] Δb=27.24 [-]

1. dla d = 80mm

a=45.11 $\lbrack\frac{V}{\text{mm}}\rbrack$ Δa=0.58 $\lbrack\frac{V}{\text{mm}}\rbrack$

b=-377.03 [-] Δb=28.00 [-]

1. dla d = 120mm

a=29.88 $\lbrack\frac{V}{\text{mm}}\rbrack$ Δa=0.63 $\lbrack\frac{V}{\text{mm}}\rbrack$

b=-604.45 [-] Δb=49.00 [-]

1. Z podanych wyników współczynnik kierunkowy „a” to natężenie pola elektrycznego E_d.

1. $E_{d} = 90.30\frac{V}{\text{mm}} = 90304\frac{V}{m}$

$$E_{t} = \frac{U}{d} = \frac{3000\ V}{0.04m} = 75000\frac{V}{m} = 75\frac{V}{\text{mm}}$$

$$\delta = \frac{|E|}{E_{t}} \bullet 100\% = \frac{|E_{d} - E_{t|}}{E_{t} \bullet 100\%} = \frac{|90304 - 75000|}{75000 \bullet 100\%} = \left( \frac{15304}{75000} \right) \bullet 100\% = 0.2041 \bullet 100\% = 20.41\%$$

1. $E_{d} = 45.11\frac{V}{\text{mm}} = 45112\frac{V}{m}$

$$E_{t} = \frac{U}{d} = \frac{2880\ V}{0.08\ m} = 36000\frac{V}{m} = 36\frac{V}{\text{mm}}$$

$$\delta = \frac{\left| E \right|}{E_{t} \bullet 100\%} = \frac{\left| E_{d} - E_{t} \right|}{E_{t} \bullet 100\%} = \frac{\left| 45112 - 36000 \right|}{36000 \bullet 100\%} = \left( \frac{9112}{36000} \right) \bullet 100\% = 0.2531 \bullet 100\% = 25.31\%$$

1. $E_{d} = 29.88\frac{V}{\text{mm}} = 29880\frac{V}{m}$

$$E_{t} = \frac{U}{d} = \frac{2900\ V}{0.12\ m} = 24170\frac{V}{m} = 24.170\frac{V}{\text{mm}}$$

$$\delta = \frac{|E|}{E_{t}} \bullet 100\% = \frac{|E_{d} - E_{t}|}{E_{t} \bullet 100\%} = \frac{|29880 - 24170|}{24170 \bullet 100\%} = \left( \frac{5710}{24170} \right) \bullet 100\% = 0.2362 \bullet 100\% = 23.62\%$$

1. Otrzymane wyniki zestawione są w tabeli nr 2

d1 = 40 mm	d2 = 80 mm	d3 = 120 mm

Ed	Et	δ	Ed	Et	δ	Ed	Et	δ
V/mm	V/mm	%	V/mm	V/mm	%	V/mm	V/mm	%
90.30	75.00	20.41	45.11	36.00	25.31	29.88	24.17	23.62

1. Obliczyliśmy gęstość powierzchniową ładunku σ_d na wewnętrznej powierzchni jednej z płytek wg wzoru:

σ = ε_r ^. ε₀ ^. E_d

gdzie:

σ - gęstość powierzchniowa

ε_r = 1,0006 – przenikalność elektryczna powietrza

ε₀ =8,85^.10^-15[F/mm] – przenikalność elektryczna próżni

Wyniki dla następujących długości wynoszą:

• dla d₁=40 mm →$\ \ \sigma = 1.0006 \bullet 8.85 \bullet 10^{- 15} \bullet 90.30 \approx 7.98 \bullet 10^{- 7}\ \left\lbrack \frac{\text{μC}}{\text{mm}^{2}} \right\rbrack$

• dla d₂=80 mm → $\sigma = 1.0006\nabla \bullet 8.85 \bullet 10^{- 15} \bullet 45.11 \approx 3.99 \bullet 10^{- 7}\lbrack\frac{\text{μC}}{\text{mm}^{2}}\rbrack$

  1. W doświadczeniu 3 (dla d₃=120 mm) wykres zależności U=f(l) odbiega od linii prostej.

• Wartość E_dl=36,571 $\lbrack\frac{V}{\text{mm}}\rbrack$. Z wzoru:

Gdzie:

= 8,85·10^-12 $\lbrack\frac{F}{m}\rbrack$– przenikalność elektryczna próżni

• Gęstość powierzchniowa wynosi:

σ =

1. Można policzyć również w 3 przypadkach liczbę elektronów przypadającą na 1 mm² powierzchni płytki. Uzyskaliśmy go dzieląc obliczone wartości σ przez ładunek elementarny e = 1,602·10^-19 C = 1,602·10^-13 µC:

• $\frac{7,98 \bullet 10^{- 7}}{1,602 \bullet 10^{- 13}} = 4,98 \bullet 10^{6}\ \lbrack\frac{\frac{\text{μC}}{\text{mm}^{2}}}{\text{μC}} = \text{mm}^{2}\rbrack$

• $\frac{3,99 \bullet 10^{- 7}}{1,602 \bullet 10^{- 13}} = 2,49 \bullet 10^{6}\ \left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack$

• $\frac{3,24 \bullet 10^{- 7}}{1,602 \bullet 10^{- 13}} = 2,02 \bullet 10^{6}\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

  7. Wyniki zostały zestawione w tabeli nr 3

d1=40 mm	d2=80 mm	d3=120 mm
Ed	σ	Edl
[V/mm]	x 10^-7 [ µC/mm^2 ]	[V/mm]
90,30	7,98	45,11

1. Wnioski:
   Wielkosci zmierzone i obliczone bezpośrednio, są obarczone błędem który może wynikać z przyrządów:

• Niedokładność przyrządów służących do wykonania pomiarów;

• Niedokładne ustawienie płytek kondensatora i sondy miedzy okładkami kondensatora;

• Niejednorodność pola elektrycznego, odległość między okładkami jest zbliżona do wymiarów okładek, więc natężenie pola między okładkami jest niejednorodne.