Zadania do Rozdziału 1

Pewien układ antenowy posiada charakterystykę promieniowania opisaną funkcją: f (θ, φ) = |cos(π cos θ)| Znaleźć wszystkie kierunki zerowego i maksymalnego ( f (θ, φ) = 1) promieniowania. Naszkicować charakterystykę promieniowania w układzie biegunowym i prostokątnym a) na pewnej wybranej samodzielnie półpłaszczyźnie φ = const, b) na płaszczyźnie θ =π/2.

Rozwiązanie:

Uwaga 1.: W podanej funkcji nie występuje zależność od kąta φ. To oznacza, że kształt charakterystyki promieniowania opisany funkcją r = f (θ, φ) = f (θ) jest symetryczny względem osi z. Jest to symetria obrotowa.

Uwaga 2.: Poszukujemy rozwiązań tylko dla przedziału 0 ≤ θ ≤ π

1. Kierunki zerowego promieniowania są rozwiązaniami równania:

cos(π cos θ) = 0, czyli

π cos θ =  |: π, n – liczba całkowita,

cos θ = , rozwiązania istnieją tylko dla n = 0, –1;

n = 0, cos θ₀ = ½, w przedziale (0, π) jest tylko jedno rozw. θ₀⁽¹⁾= ;

n = –1, cos θ₀ = – ½, w przedziale jest tylko jedno rozw. θ₀⁽²⁾= .

Uwaga 3.: Zastosowana metoda nie pozwala na znalezienie minimów, które nie są kierunkami zerowego promieniowania.

1. Kierunki maksymalnego promieniowania:

Sposób I. Poszukujemy rozwiązań równania:

|cos(π cos θ)| = 1,

cos(π cos θ) = ±1,

π cos θ = n π, n – liczba całkowita,

cos θ = n, n = –1, 0, 1.

n = –1, cos θ_max = –1, θ_max = (2k ± 1) π, k = –1, 0,  θ_max⁽¹⁾= ±π

n = 0, cos θ_max = 0, θ_max = , k = 0,  θ_max⁽²⁾= 

n = 1, cos θ_max = 1, θ_max = 2kπ, k = 0,  θ_max⁽³⁾= 0

Uwaga 4.: Zastosowana metoda nie pozwala na znalezienie maksimów, które nie są kierunkami na których f (θ)  = 1.

Sposób II. Poszukujemy ekstremów równania |cos(π cos θ)| poprzez przyrównanie pochodnej do zera:

[cos(π cos θ)]’ = 0,

πsin θ sin(πcos θ) = 0

1. sin θ = 0, θ = 0, π

2. sin(πcos θ) = 0, πcos θ = nπ, cos θ = n n = –1, 0, 1,

co prowadzi do wyników uzyskanych już Sposobem I. Możemy więc stwierdzić, że nie istnieją inne maksima mniejsze od f (θ) = 1 oraz inne minima większe od zera.

Uwaga 5.: Sposób II nie wykazał nam kierunków zerowego promieniowania, gdyż w tych punktach pochodna funkcji jest nieciągła w wyniku zastosowania wartości bezwzględnej. Można również wyznaczyć punkty zerowe jako punkty zmiany znaku dla funkcji cos(π cos θ) bez wartości bezwzględnej. Punkty te będą jednocześnie punktami przegięcia, więc mogą być określone poprzez zera drugiej pochodnej. Nie ma jednak takiej potrzeby takiego działania, ponieważ Sposób I był wystarczający, a Sposób II wykazał, że nie ma innych minimów większych od zera.

Odpowiedź: Kierunki zerowego promieniowania:  θ₀⁽¹⁾= ;  θ₀⁽²⁾= .

Kierunki maksymalnego promieniowania:  θ_max⁽¹⁾= ± π;  θ_max⁽²⁾= ;  θ_max⁽³⁾= 0.

Ponieważ charakterystyka promieniowania jest symetryczna względem osi z, wszystkie przekroje φ = const są identyczne. W związku z tym przekrój charakterystyki promieniowania płaszczyzną xy, czyli θ = , w układzie biegunowym jest okręgiem. Promień okręgu wynosi 1, gdyż dla kąta θ = występuje maksimum. W układzie prostokątnym otrzymamy linię prostą na poziomie 1. Przekrój charakterystyki płaszczyzną φ = const w układzie biegunowym i prostokątnym pokazano na rys. 1.26.

z θ

Rys. 1.26. Przekrój charakterystyki promieniowania anteny z Zadania 1 płaszczyzną φ = const. Zmienną jest kąt θ. Po lewej stronie jedna połówka wykresu biegunowego.
Po stronie prawej wykres w układzie prostokątnym

W pewnym łączu telekomunikacyjnym wykorzystującym falę wolnoprzestrzenną i pracującym na częstotliwości f = 238.74 MHz, moc dostarczona do dopasowanej anteny nadawczej wynosi P_dost = 10 W a czułość odbiornika po stronie odbiorczej P_odb = 10 µW. Obliczyć jaki musi być minimalny sumaryczny zysk (w dB) obu anten (nadawczej G_N i odbiorczej G_O) aby uzyskać łączność przy odległości anten wynoszącej: 100 m, 1 km, 10 km i 100 km. Straty można pominąć.

Dane: f = 238.74 MHz,

P_dost = 10 W,

P_odb = 10 µW,

R = 100 m, 1 km, 10 km, 100 km.

Rozwiązanie: Z równania zasięgu (1.52):
wyznaczamy iloczyn:

.

Po zlogarytmowaniu będziemy mieli:

.

Po podstawieniu wartości liczbowych uzyskamy odpowiedź.

Odpowiedź: (G_N G_O)_dB = 20 + 20log(R[km]); 0 dB, 20 dB, 40 dB, 60 dB.

W polu elektromagnetycznym o skutecznej gęstości mocy S = 0.18 pW/m² znajduje się antena (w stanie rezonansu, X_A = 0) o kierunkowości D_dB = 10 dB, na zaciskach której zaindukowało się napięcie skuteczne U_odb = 3µV. Obliczyć oporność promieniowania tej anteny R_prom (straty można pominąć) jeżeli wiadomo iż jest ona dopasowana i że pracuje na częstotliwości f = 267.62 MHz.

Dane: S = 0.18 pW/m²,

D_dB = 10 dB,

U_odb = 3µV,

f = 267.62 MHz.

Rozwiązanie: Istota rozwiązania polega na porównaniu dwóch sposobów określenia mocy odbieranej przez odbiornik. Pierwszy sposób, polowy, oparty jest na wzorze (1.42), który, na potrzeby zadania, zapiszemy w postaci: P_odb = AS. Sposób drugi, obwodowy, oparty jest na schemacie zastępczym anteny odbiorczej dla omawianego przypadku, który został już pokazany na rysunku 1.6. Napięcie U_odb jest określone na zaciskach 1-1’, a więc moc odebrana wyrazi się znaną zależnością:

.

Ponieważ antena jest dopasowana i R_odb = R_prom możemy zapisać:

.

Z równania tego wyznaczamy R_prom a aperturę anteny A wyznaczamy z zależności (1.48) zastępując zysk G kierunkowością D, gdyż antena jest bezstratna. Za długość fali λ można podstawić c/f.

Odpowiedź: .

W polu elektromagnetycznym o skutecznej gęstości mocy S = 60 µW/m² znajduje się antena o maksymalnej kierunkowości D_dB = 26 dB, która odbiera moc P_odb = 19.1µW. (Przyjąć sprawność anteny η = 100%). Jaka jest apertura A tej anteny i czy jest to antena systemu GSM. Wskazówka: System GSM pracuje na częstotliwościach f₁ = 900 i f₂ = 1800 MHz; należy sprawdzić czy podana antena może pracować na którejś z tych częstotliwości.

Dane: S = 60 µW/m²,

D_dB = 26 dB,

P_odb = 19.1µW,

η = 100%,

f₁ = 900 MHz,

f₂ = 1800 MHz.

Rozwiązanie: Aperturę anteny możemy określić bezpośrednio ze wzoru (1.42):. Znajomość apertury i zysku (ze sprawności 100% wynika równość G i D) pozwala na obliczenie częstotliwości ze wzoru (1.48): . Mamy: , skąd wyliczamy f.

Odpowiedź:  m²;

Antena nie jest anteną systemu GSM, gdyż pracuje na częstotliwości 3 GHz.

W pewnym naziemnym łączu telewizyjnym pracującym na częstotliwości 5 GHz wymieniono jedną z anten. Antena przed wymianą posiadała wiązkę główną o przekroju w przybliżeniu kołowym i szerokości Θ_3dB = 3°. Nowa antena posiadała wiązkę o szerokości 1° (też o przekroju kołowym). Maksymalny poziom wiązek bocznych dla obu anten nie przekraczał –30dB a rezystancje strat anten były takie same. Oszacować o ile (w dB) poprawił się stosunek sygnał/szum po stronie odbiorczej łącza.

Rozwiązanie i Odpowiedź: Informacja o niskim poziomie wiązek bocznych i wąskiej wiązce głównej sugeruje, że można skorzystać z zależności (1.33) wiążącej 3dB szerokość wiązki z kierunkowością anteny. Ponieważ szerokość wiązki w każdym z jej prostopadłych przekrojów maleje 3 razy, kierunkowość wzrasta 3² = 9 razy i o tyle wzrasta sygnał odbierany. Szum pozostanie niewiele zmieniony, choć węższa wiązka główna sugerowałaby pewne jego zmniejszenie. Szacowanie można zakończyć wnioskiem, że poprawa stosunku sygnał/szum wyniesie przynajmniej 10log 9 = 9.54 dB.

Do anteny stacji bazowej telefonii komórkowej doprowadzono moc P_dopr = 5W. Obliczyć równoważną izotropową moc promieniowania jeśli antena ma zysk maksymalny G_dB = 17 dB. Obliczyć powierzchniową i kątową gęstość mocy w odległości R = 100m od anteny w kierunku maksymalnego promieniowania.

Dane: P_dopr = 5W,

G_dB = 17 dB, co odpowiada G = 10^1.7 ≈ 50,

R = 100m.

Rozwiązanie: Z porównania wyrażeń (1.39) i (1.40) mamy: EIRP = P_doprG, do obliczenia U korzystamy z (1.38). 

Odpowiedź: EIRP = P_doprG = 250 W, , .

Do anteny stacji bazowej telefonii komórkowej o kierunkowości D_dB = 20 dB doprowadzono moc P_dopr = 5 W. Antena ta wytworzyła na kierunku maksymalnego promieniowania kątową gęstość mocy U = 35.81 W/sr. Obliczyć równoważną izotropową moc promieniowania EIRP. Obliczyć również zysk energetyczny G, sprawność anteny η i moc wypromieniowaną P_prom.

Dane: P_dopr = 5W,

D_dB = 20 dB, co odpowiada D = 10^2.0 = 100,

U = 35.81 W/sr.

Rozwiązanie: EIRP obliczymy z porównania wzorów (1.38) i (1.40), zysk energetyczny z porównania wzorów (1.39) i (1.40), a sprawność i moc wypromieniowaną ze wzoru (1.37).

Odpowiedź: EIRP = 4π U = 450 W, , , P_prom = η P_dopr = 4.5 W.

Do anteny stacji bazowej telefonii komórkowej o sprawności η = 75%. doprowadzono moc P_dopr = 10 W. Obliczyć równoważną izotropową moc promieniowania (EIRP) jeśli antena ma kierunkowość D_dB = 17 dB. Obliczyć powierzchniową (S) i kątową (U ) gęstość mocy w odległościach R = 100 m, 1 km, 10 km i 100 km od anteny na kierunku maksymalnego promieniowania.

Dane:  η = 0.75,

P_dopr = 10W,

D = 50,

R = 100 m, 1km, 10km i 100 km

Rozwiązanie: Z porównania wzorów (1.39) i (1.40) mamy EIRP = P_doprG  lecz G musimy wyliczyć z relacji (1.37), otrzymamy G = ηD. Powierzchniową i kątową gęstość mocy otrzymamy ze wzorów (1.38) i (1.39).

Odpowiedź: EIRP = P_dopr ηD = 375 W, , 29.8 mW/m²,  298 nW/m², 2.98 nW/m², .

W obwodzie wejściowym odbiornika, do którego dołączono dopasowaną antenę, wydzieliła się moc (P_odb)_dB = – 30 dBm. Układ pracuje na częstotliwości f = 84.21 MHz. Obliczyć powierzchnię skuteczną (aperturę) oraz sprawność η dołączonej anteny, jeżeli wiadomo, że jej kierunkowość D_dB = 10 dB a gęstość mocy w obszarze odbioru S = 100 nW/m².

Dane: P_odb = 1μW,

f = 84.21 MHz,

D = 10,

S = 100 nW/m².

Rozwiązanie: Aperturę obliczamy ze wzoru (1.42). Sprawność anteny należy obliczyć ze wzoru (1.37); w tym celu należy określić zysk ze wzoru (1.50) do którego podstawiamy aperturę ze wzoru (1.42) oraz długość fali λ = c/f.

Odpowiedź: , .

Pewną antenę odbiorczą o zysku kierunkowym D_dB = 10 dB i impedancji promieniowania R_prom = 75 Ω zamknięto obciążeniem R_odb = 25 Ω i umieszczono w polu wytworzonym przez taką samą antenę, która pracuje jako antena nadawcza i znajduje się w odległości r = 10 km. Do anteny nadawczej, która jest dopasowana, doprowadzono moc P_dopr = 100 W. Sprawności obu anten wynoszą η₁ = η₂ = 90%. Obie anteny są skierowane na siebie zgodnie z kierunkami wiązek głównych, pracują na częstotliwości f = 300 MHz i są w stanie rezonansu (tzn., X_A = 0). Należy obliczyć:

1. Moc wypromieniowaną przez antenę nadawczą.

2. Gęstość mocy w miejscu ustawienia anteny odbiorczej.

3. Aperturę anteny odbiorczej.

4. Moc, jaka byłaby odebrana, gdyby antena odb. była dopasowana.

5. Moc wypromieniowaną przez antenę odbiorczą.

Dane: D = 10,

R_prom = 75 Ω,

R_odb = 25 Ω,

r = 10 km,

P_dopr = 100 W,

η₁ = η₂ = 0.9,

f = 300 MHz.

Odpowiedź a.: P_prom1 = η₁ P_dopr = 90 W.

Odpowiedź b.: .

Odpowiedź c.:

Odpowiedź d.: P_odeb = AS = 633 nW.

Rozwiązanie e.: Obliczenie mocy wypromieniowywanej przez antenę odbiorczą wymaga obliczenia SEM wg schematu zastępczego z rys. 1.27. (por. też rys. 1.5) przy założeniu, że antena jest dopasowana, czyli R’_odb  = R_prom + R_strat. Następnie należy obliczyć prąd płynący w obwodzie dla R_odb = 25 Ω.

Rys.1.27. Schemat zastępczy anteny odbiorczej do Zad.1.10.

Wyznaczenie R_strat wymaga przekształcenia wzoru (1.08) do postaci:

, (1.91)

z której otrzymujemy R_strat = 8.33 Ω. Następnie mamy R’_odb = R_prom + R_strat = 75 + 8.33 = 83,33 Ω. Na tej rezystancji wydzieliła się moc P_odeb = 633 nW obliczona w Odpowiedzi d. Napięcie na zaciskach 1–1’ wynosi więc . Ponieważ układ jest dopasowany SEM = 2U’_odb = 14.53 mV. Moc wypromieniowana przez antenę odbiorczą P_prom2 jest mocą wydzieloną na rezystancji R_prom przez prąd , czyli P_prom2 = I ²R_prom = 1.35 μW.

Odpowiedź e.:

W pewnym łączu radiowym, wykorzystującym propagację wolnoprzestrzenną (brak wpływu ziemi) zwiększono dwukrotnie częstotliwość pracy nie zmieniając wymiarów anten (i ich apertur). Odległość pomiędzy antenami również zwiększono dwukrotnie. Obliczyć o ile decybeli należy zmienić moc nadawaną aby sygnał odbierany nie uległ zmianie.

Dane: f’’ = 2f’,

A’’₁ = A’₁

A’’₂ = A’₂

r’’ = 2r’

Rozwiązanie: Należy skorzystać z równania zasięgu i zbadać relacje pomiędzy częstotliwością pracy f i odległością pomiędzy antenami r oraz ich wpływem na moc odebraną. W równaniu zasięgu przedstawionym wzorem (1.52) możemy zastąpić długość fali λ przez c/f ; otrzymamy wtedy:

. (1.92)

W równaniu powyższym występuje r i f w kwadracie w mianowniku. Skorzystanie z zależności w tej postaci doprowadziłoby do fałszywych wniosków, gdyż w ogólności zysk G jest również funkcją częstotliwości jeśli apertury są stałe (por. wzór (1.50)). Należy skorzystać z relacji (1.50) i podstawić ją dwukrotnie do równania (1.93), otrzymamy:

. (1.93)

Z tej postaci równania zasięgu widać wyraźnie, że dwukrotna jednoczesna zmiana r i f nie prowadzi do zmiany P_odb. W równaniu (1.92) występowała częstotliwość w kwadracie w mianowniku; w równaniu (1.93), w kwadracie w liczniku. Możliwa jest jeszcze jedna postać, gdy relację (1.50) zastosujemy tylko raz:

. (1.94)

W równaniu (1.94) w ogóle nie występuje częstotliwość. Zastosowanie odpowiedniej postaci równania zasięgu musi być więc dopasowane do konkretnej sytuacji, w szczególności do określenia, które z parametrów mogą być uznane za prawie stałe w funkcji częstotliwości.

Odpowiedź: Moc nadawaną należy zmienić o 0dB (czyli nie zmienić).

Pewien satelita skanujący powierzchnię Ziemi, z zainstalowaną anteną do radiometrii mikrofalowej (po­miar szumów termicznych), wylatuje z nad obszaru pól dojrzałej kukurydzy i wlatuje nad obszar pól ku­kurydzy niedojrzałej. Oba obszary posiadają tą samą temperaturę fizyczną T_x = 300 K. Obliczyć, o ile de­cy­beli zmieni się odbierany sygnał szumowy na skutek zmiany współczynnika emi­syjności z wartości Є₁ = 0.75 nad kukurydzą dojrzałą do wartości Є₂ = 0.27 nad kukurydzą niedojrzałą.

Dane: T_x = 300 K,

Є₁ = 0.75

Є₂ = 0.27

Rozwiązanie: Temperatura luminancyjna widziana przez antenę satelity określona jest wzorem (1.59): T_L = ЄT_x. Otrzymamy więc: T_L1 = Є₁T_x = 225 K oraz T_L2 = Є₂T_x = 81 K.

Odpowiedź: Odbierany sygnał zmieni się o .

Pewien satelita skanujący powierzchnię Ziemi, z zainstalowaną anteną do radiometrii mikrofalowej (po­miaru szu­mów termicznych), wylatuje z nad obszaru morskiego i wlatuje nad obszar lądowy. Nad mo­rzem radiometr wykazał temperaturę T_L1 = 28 K, a nad lądem T_L2 = 180 K. Jaka jest rzeczywista temperatura po­wierz­chni morza i po­wierz­chni gruntu, jeżeli wiadomo, że współczynnik emisyjności dla morza wynosi Є₁ = 0.1 a dla lądu Є₂ = 0.7.

Odpowiedź: ,   , .

Wyprowadzić wzór na współczynnik strat polaryzacyjnych L_pol dla przypadku łącza telekomunikacyjnego z dwoma antenami wytwarzającymi polaryzację liniową jeśli kąt pomiędzy płaszczyznami polaryzacji wynosi α. Podać wartości liczbowe dla α = 0°, 90° i 180°.

Rozwiązanie: Można wykorzystać wzory (1.87) i (1.89) podstawiając α = α₁ – α₂ oraz τ₁ = τ₂ = ∞ (por. też wzór. (1.86)). Aby uwolnić się od wyrażenia ∞/∞ należy licznik i mianownik wyrażenia (1.89) podzielić przez (τ₁ τ₂)²  i wtedy dla τ₁→∞ i τ₂→∞ otrzymamy: W = 0.5 cos2α

Odpowiedź: W = 0.5 cos2α. Dla α = 0°, 90° i 180° mamy kolejno 1, 0, 1.

Zadania do Rozdziału 4.

Pewien szyk anten izotropowych posiadał charakterystykę promieniowania opisaną funkcją:

(*)

W szyku tym zastąpiono anteny izotropowe innymi antenami, nazwijmy je DV. Po zamianie charakterystyka promieniowania miała postać:

(**)

Należy:

1. Podać charakterystykę promieniowania pojedynczej anteny DV: F_DV(θ, φ)

2. Podać ile elementów promieniujących zawierał szyk

1. Przeprowadzić analizę kierunków zerowego promieniowania dla: c1) szyku anten izotropowych c2) szyku anten DV .

Rozwiązanie:

Ad A: Zasadę wymnażania charakterystyk (4.17) możemy zapisać w postaci:

,

Skąd otrzymamy F_DV(θ) = sin θ.

Ad B: Z porównania podanej funkcji M(θ) (*) z równaniem (4.19) widać, że N = 4.

Ad c1: Kierunki zerowego promieniowania szyku anten izotropowych są zerami licznika funkcji (*), wtedy gdy mianownik nie zeruje się dla tej samej wartości, w przeciwnym razie należy obliczyć granicę całej funkcji. Mamy:

, czyli

, n – liczba naturalna,

Rys. 4.16. Charakterystyki promieniowania szyku jednorodnego 4 anten izotropowych (oś rzędnych M  (0,1), oś odciętych θ (0°,180°), opisane równaniem (*), dla 2βd równego, kolejno: 3, 6, 9, 12, 15 i 18.

(***).

Z analizy równania (***) wynika, że dla:

• jedyna możliwa wartość n = 0, ale jednocześnie mianownik funkcji M też jest równy zero. Obliczenie granicy dla θ = 90° daje wartość M = 1. Tak więc w tym przypadku nie ma kierunków zerowego promieniowania,

• rozwiązania mamy dla n = +1 i – 1. Istnieją więc dwa kierunki zerowego promieniowania,

• istnieją cztery kierunki zerowego promieniowania, itd.

Rys. 4.17. Charakterystyki promieniowania szyku jednorodnego 4 anten DV (oś rzędnych F (0,1), oś odciętych θ(0°,180°), opisane równaniem (**), dla 2βd równego, kolejno: 3, 6, 9, 12, 15 i 18.

Odpowiedź ma postać:

, a dopuszczalna wartość n zależy od stosunku . Kształt całej charakterystyki promieniowania dla sześciu przypadków podano na rysunku 4.14.

Ad c1: Rozwiązanie dla tego przypadku różni się od poprzedniego tym, że trzeba uwzględnić kierunki zerowego promieniowania pojedynczej anteny DV o charakterystyce sin θ, które występują dla θ = 0° i θ = 180°. Jednocześnie, funkcja ta modyfikuje rozkład funkcji M, co jest widoczne na rys 4.15, na którym pokazano charakterystyki dla takich samych wartości βd jak na rysunku 4.14.

Dany jest szyk liniowy trzech anten izotropowych, umieszczonych wzdłuż osi z, symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Środki fazowe anten zaznaczono punktami 1, 2 i 3 na rys. 4.18. Odległość pomiędzy kolejnymi antenami wynosi d = 2 m. Anteny pracują na częstotliwości 37.5 MHz. Podać przykładowe wartości napięć zasilających poszczególne anteny (amplituda i faza: U_i = U_i0, i = 1,2,3) tak dobranych, aby w kierunku dodatnim osi z wystąpiło maksimum promieniowania. Co i jak należy zmienić aby maksimum promieniowania wystąpiło w kierunku prostopadłym do z?

Dane:

f = 37.5 MHz,

D = 2 m.

Rozwiązanie:

W przypadku rozwiązywania zagadnień antenowych niewygodnie jest posługiwać się częstotliwością, gdyż własności anten i szyków antenowych zależą nie tyle od bezwzględnych wymiarów i odległości, ale od wymiarów i odległości odniesionych do długości fali. Dlatego w pierwszej kolejności przeliczymy częstotliwość na długość fali:

Z przeliczenia tego widzimy, że anteny rozmieszczone są w odległościach d = λ/4. Maksimum promieniowania szyku antenowego jest zależne od wzajemnych względnych relacji fazowych pomiędzy antenami, a nie od bezwzględnej wartości fazy. Wynika z tego, że parametry U_i0 oraz φ_i wyrażenia U_i = U_i0pobudzające jedną z anten można przyjąć dowolnie. Rozwiązywanie rozpoczniemy od anteny trzeciej i przyjmiemy:

U₃₀ = 10 V oraz φ₃ = 0.

Faza fali wypromieniowanej przez antenę nr 3 zmienia się z odległością jak – βr i fala propagując się w kierunku dodatnim osi z, po osiągnięciu anteny nr 2 posiada fazę φ₃⁽²⁾ = φ₃ – βd = 0 – (2π/λ)(λ/4) = – π/2. Aby uzyskać maksimum, fale z obu anten drugiej i trzeciej muszą się w tym miejscu zsumować, a więc faza fali opuszczającej antenę 2 musi wynosić: φ₂ = – π/2. Kontynuując dalej to rozumowanie dojdziemy do wniosku, że faza fali pobudzającej antenę nr 1 powinna wynosić  φ₁ = 2(– π/2) = – π. Amplitudy fal można przyjąć dowolnie, np.: U₁₀ = U₁₀ = U₁₀ = 10 V.

Jeżeli mamy uzyskać maksimum promieniowania na kierunku prostopadłym do z, zakładamy punkt obserwacji w nieskończoności, w którym wszystkie fale musza się spotkać w fazie. Wynika z tego, że fazy sygnałów zasilających wszystkie trzy anteny muszą być jednakowe, a amplitudy dowolne.

Odpowiedź 1:

Przykładowe wartości napięć zasilających anteny (amplitudy i fazy) dla propagacji w kierunku + z mogą być następujące:

φ₁ = – π; φ₂ = – π/2; φ₃ = 0;

U₁₀ = U₁₀ = U₁₀ = 10 V.

Odpowiedź 2:

Przykładowe wartości napięć zasilających anteny (amplitudy i fazy) dla propagacji w kierunku prostopadłym do osi  z mogą być następujące:

φ₁ = φ₂ = φ₃ = 0;

U₁₀ = U₂₀ = U₃₀ = 10 V.

Na osi x umieszczono w równych odległościach od siebie trzy anteny izotropowe, pracujące na częstotliwości 150 MHz. Amplitudy napięć zasilających wynoszą 10 V a fazy wynoszą kolejno (w miarę wzrastania współ­rzędnej x): 0, 90 i 180 stopni. Dobrać odległości pomiędzy antenami, tak aby szyk antenowy posiadał maksimum promieniowania na kierunku x. Czy można tak dobrać odległości pomiędzy antenami, by maksimum promieniowania wystąpiło w kierunku prostopadłym do x?

Dane:

f = 150 MHz,

U₁₀ = U₂₀ = U₃₀ = 10 V,

φ₁ =  0; φ₂ = π/2; φ₃ = π.

Rozwiązanie:

Postępując podobnie jak w zadaniu poprzednim mamy:

.

Ponieważ różnica faz sygnałów zasilających pomiędzy antenami pierwszą i drugą oraz drugą i trzecią jest taka sama, wystarczy rozważyć jeden przypadek, np., odległość pomiędzy anteną pierwszą i drugą. Drugi przypadek będzie identyczny. Zapewnienie sumowania na kierunku + x wymaga, by fala wychodząca z anteny pierwszej z fazą φ₁, po dotarciu do anteny drugiej posiadała jej fazę φ₂. Należy przy tym uwzględnić wieloznaczność funkcji Arg (por. Dodatek, p. 5.2.2) poprzez dodanie wyrażenia 2kπ.

φ₁⁽²⁾ = φ₁ – βd = φ₂ + 2kπ, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

0 – (2π/λ)d = π/2+ 2kπ,

– (2π/2)d = π/2+ 2kπ,

– πd = π/2+ 2kπ,

– d = ½+ 2k

d = (– ½ +2k) [m].

Odpowiedź:

Jako rozwiązanie dla k = 0 otrzymujemy wartość ujemną. Najmniejsza możliwa realizowalna odległość (dla k = 1) wynosi d = (– ½ +2) = 1.5 m. Kolejne rozwiązania wymagają dodawania wielokrotności długości fali, tzn. całkowitej wielokrotności odległości 2 m:

d = 1.5, 3.5, 5.5 7.5 …[m].

Ponieważ mamy trzy anteny w szyku liniowym, jako odległość pomię^dzy sąsiadującymi antenami można podać dowolną liczbę z podanego szeregu rozwiązań, np.: d _1-2 = 1.5 m, d _2-3 = 5.5 m.

Odpowiedź na drugie pytanie jest negatywna. Przy podanych fazach zasilania anten, fale z anteny pierwszej i trzeciej zawsze będą w przeciwfazie na kierunku prostopadłym do x, na którym wystąpi interferencja destruktywna.

Pięć krótkich anten prętowych równoległych do siebie i zasilanych w fazie (rys. 4.19), umieszczono w odległości połowy długości fali jedna od drugiej, tworząc szyk antenowy wzdłuż osi z, aby uzyskać silne promieniowanie prostopadłe do osi szyku. W płaszczyźnie zawierającej oś szyku i prostopadłej do anten (zx) promieniowanie pojedynczej anteny jest dookólne. Sprawdzić, czy szerokość wiązki głównej w tej płaszczyźnie, mierzona na poziomie – 1.5 dB względem maksimum, jest węższa od 20°.

Dane:

θ_1.5dB < 20°,

θ_max = 90°, (kierunek wiązki głównej)

N = 5 (ilość anten),

α = 0 (zasilanie wszystkich anten w fazie),

L_λ = (4∙λ/2 +2∙λ/4)/ λ = 2.5, (długość szyku antenowego w długościach fali)

Rozwiązanie:

Szkic pokazujący geometrię usytuowania anten pokazano na rys. 4.19. Poszukujemy rozwiązania jedynie na płaszczyźnie zx. Na tej płaszczyźnie każda z poszczególnych anten ma charakterystykę dookólną. Można więc potraktować te anteny jako izotropowe bez względu na kształt charakterystyki w płaszczyźnie prostopadłej.

Szacunek I: Można skorzystać ze wzoru (4.22) podającego szerokość wiązki szyku liniowego jednorodnego pomiędzy zerowymi kierunkami promieniowania: . Jeśli dla danego rozmiaru szyku uzyskamy kąt mniejszy od 20°, to wymaganie na pewno jest spełnione z dużym nadmiarem. Obliczamy:.

Wymaganie na tym poziomie (zero promieniowania) nie jest spełnione i szacunek nie daje pewności, nie wiemy jak szybko wiązka się zawęża dla kątów bliższych maksimum promieniowania i musimy przeprowadzić dokładniejsze oszacowanie.

Szacunek II: Skorzystamy teraz ze wzoru (4.21): . Obliczymy wartość M(θ ) dla kierunku θ = 80°  odległego o 10° od kierunku maksymalnego promieniowania θ_max = 90°, co odpowiada szerokości wiązki 20° (symetria!). Jeśli uzyskamy wartość M(θ ) < 0.8414 (– 1.5 dB, napięciowo), to wymaganie będzie spełnione. Po podstawieniu otrzymujemy: M(θ ) = 0.7176, a więc wiązka jest węższa od 20° na poziomie – 1.5 dB względem maksimum wiązki głównej. Można skorzystać też z dokładnego wzoru (4.20), co potwierdzi tylko uzyskany wniosek. Otrzymamy: M(θ ) = 0.7266.

Odpowiedź:

Szerokość wiązki głównej w płaszczyźnie zx, mierzona na poziomie – 1.5 dB względem maksimum, jest węższa od 20°.

Dla szyku antenowego z Zadania 4.4, podać przykładowe amplitudy i fazy zasilania kolejnych anten, licząc od najmniejszych wartości z, aby uzyskać maksimum promieniowania na kierunku θ = 60°.

Dane:

θ_max = 60°, (kierunek wiązki głównej)

d = λ/2 (odległość pomiędzy antenami)

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru (4.33) i po podstawieniu danych uzyskujemy wartość przesunięcia fazy pomiędzy antenami:

.

Jeżeli przyjmiemy dla anteny pierwszej (położonej przy najmniejszej współrzędnej z), że φ₁ = 0, to kolejne anteny powinny być zasilane sygnałami o fazie wynikającej z równania (4.10):, czyli , dla i = 1, 2,…,5 gdzie φ₀ = 0 (aby φ₁ było równe 0) i α = – π/2. Przy braku innych wymagań dotyczących charakterystyki promieniowania, można przyjąć równość wszystkich amplitud zasilających anteny.

Odpowiedź:

φ₁ = 0, φ₂ = – π/2, φ₃ = – π, φ₄ = – 3π/2, φ₅ = – 2π.

U₁₀ = U₂₀ = U₃₀ = U₂₀ = U₂₀ = 10 V,

Wyprowadzić wzór na wypadkową charakterystykę promieniowania f_w(θ) krótkiej anteny liniowej o charakterystyce f(θ) = sin θ umieszczonej pionowo na wysokości h nad ziemią idealnie przewodzącą.

Rozwiązanie:

Prąd w obrazie anteny płynie w tym samym kierunku jak w antenie umieszczonej pionowo (rys. 4.3A). Tak więc anteny zasilane są w fazie.

Tworzy się jednorodny synfazowy szyk liniowy. Charakterystyka wypadkowa jest iloczynem f(θ) i mnożnika antenowego. Należy skorzystać z mnożnika antenowego podanego we wzorze (4.20) i podstawić do niego N = 2 oraz d = 2h.

Odpowiedź:

Załóżmy, że pozioma płaszczyzna z = 0 jest idealnym przewodnikiem. Na pewnej wysokości h nad tą płaszczyzną należy umieścić poziomo krótką antenę liniową. O charakterystyce tej anteny wiadomo tylko tyle, że w wolnej przestrzeni dla kierunku pionowego nie występuje zerowy kierunek promieniowania Jaka musi być wysokość zamocowania anteny, by dla kąta θ = 0 wystąpiło przynajmniej lokalne maksimum promieniowania. Wiadomo, że antena pracuje na częstotliwości 240 MHz. Ile jest różnych rozwiązań problemu?

Dane:

θ_max = 0° (kierunek przynajmniej lokalnego maksimum) ,

f₁(θ = 0) ≠ 0, (własność pojedynczej anteny)

f = 240 MHz,

d = 2h (odległość pomiędzy anteną i obrazem) ,

α = ± (2k+1)π (k –l. całkowita), (antena i obraz zasilane w przeciwfazie)

Rozwiązanie:

Pozioma antena nad idealnym przewodnikiem pokazana jest na rys. 4.3B. Jak widać, prąd w obrazie płynie w przeciwnym kierunku niż w antenie nad ziemią. Sytuację można więc potraktować jako szyk dwóch anten zasilanych w przeciwfazie, czyli α = ± (2k+1)π (k – dowolna liczba całkowita). Z informacji, że pojedyncza antena nie ma kierunków zerowego promieniowania dla θ = 0 wynika, że wystarczy określić rozwiązanie dla mnożnika antenowego. Możemy skorzystać teraz z równania (4.33):podstawiając dane:

Odpowiedź:

Najniższa wysokość, na której należy umieścić antenę wynosi 312.5 mm, co jest ¼ długości fali. Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań dla wszystkich nieparzystych wielokrotności ćwiartki fali.

Pewną antenę, pracującą na częstotliwości 120 MHz umieszczono nad idealną ziemią (tzn. σ = ∞). Jest to krótka antena pionowa, którą zamocowano w taki sposób, by po zamocowaniu, dla kierunku θ = 45° wystąpiło maksymalne promieniowanie. Na jakiej wysokości h (licząc od powierzchni ziemi do środka elektrycznego anteny) zamontowano tę antenę. Wpływ elementów mocujących zaniedbać. Można przyjąć, że pojedyncza antena bez ziemi, dla kierunku θ = 45° nie posiada ekstremum i że charakterystyka wokół tego punktu zmienia się powoli.

Dane:

θ_max = 45° (kierunek maksymalnego promieniowania) ,

f₁(θ = 45°) ≠ 0 oraz f₁(θ = 45°) ≠ 1 (własność pojedynczej anteny),

f = 120 MHz,

d = 2h (odległość pomiędzy anteną i obrazem) ,

α = 0 (antena i obraz zasilane w fazie).

Rozwiązanie:

Prąd w obrazie anteny płynie w tym samym kierunku jak w antenie umieszczonej pionowo (rys. 4.3A). Tak więc anteny zasilane są w fazie. Tworzy się synfazowy szyk liniowy. Możemy skorzystać teraz z równania (4.33):podstawiając dane:

Odpowiedź:

Istniej wiele rozwiązań będących wielokrotnościami wysokości h = 1.768 [m]. Najkorzystniejszym rozwiązaniem ze względu na małą liczbę wiązek bocznych jest najniższa wartość h.

Pewną krótką antenę liniową z prądem I umieszczono w narożniku dwóch prostopadłych płaszczyzn przewodzących o równaniach x = 0 i y = 0, jak na rysunku 4.16. (kąty wzgl. płaszczyzn wynoszą 45°). Objaśnić (obliczyć, wyprowadzić) szczegółowo dla jakich kierunków φ wystąpią zera promieniowania: A) które będą niezależne od wartości d oraz B) zależne od d (badać tylko dla d/λ ≤ ) Wskazówka: Naszkicować (zaznaczyć również kierunek prądu) odbicia lustrzane tej anteny (w tym celu rozłożyć prąd I na składowe I_x i I_y) i zauważyć, że tworzą one dwa szyki antenowe.

Rys. 4.20. Rysunek do tekstu Zadania 4.9

Dane:

φ = 45° (kierunek ustawienia anteny),

d/λ ≤ .

Rozwiązanie:

Na podstawie rozważań z p. 4.1.2. oraz rysunku 4.3 można narysować trzy obrazy anteny, tak jak pokazano to na rys. 4.21. po lewej stronie. Następnie można zauważyć, że przedstawiona sytuacja jest równoważna superpozycji dwóch szyków antenowych po dwie anteny każdy. Środki fazowe anten w każdym z szyków są oddalone o odległość $2d\sqrt{2}$ i są pobudzone w przeciwfazie (α = π). W pierwszej kolejności zbadajmy kierunki zerowego promieniowania dla jednego z szyków. By skorzystać z wyprowadzonych już wzorów wprowadzimy chwilowy pomocniczy układ współrzędnych z osią z skierowaną wzdłuż osi szyku zawierającej środki fazowe anten. Rozpoczniemy od wyprowadzenia wzoru na mnożnik antenowy dla dowolnego szyku dwóch anten zasilanych jednakową amplitudą. Ze wzoru (4.19) mamy:

W naszym przypadku, na podstawie wzoru (4.13) możemy zapisać (α = π):

. Po podstawieniu do wzoru poprzedniego mamy:

. Otrzymanie kierunków zerowego promieniowania wymaga przyrównania mnożnika antenowego do zera:

,

,

,

.

Pierwsze rozwiązanie otrzymamy dla k = 0, wtedy i . A więc pierwszy kierunek zerowego promieniowania, zgodnie z intuicją, będzie skierowany prostopadle do osi szyku i będzie niezależny od odległości d. Dla k = ±1 otrzymujemy kolejne dwa rozwiązania:

.

Prawa strona tego wyrażenia musi być, co najwyżej, równa 1, a badanie, zgodnie z treścią zadania, ma być przeprowadzone dla d/λ ≤ , a więc jedynym możliwy wynik istnieje dla d/λ =  i wynosi:

z którego otrzymujemy: oraz . A więc, gdy spełnione jest wymaganie dotyczące odległości d/λ = , nie ma promieniowania wzdłuż osi szyku. Ta odpowiedź dotyczy mnożnika antenowego, gdyż żadna antena liniowa nie promieniuje w kierunku swojej osi, a więc niezależnie od wartości d, nie będzie promieniowania wzdłuż osi szyku.

Teraz należy, zgodnie z zasadą superpozycji, złożyć otrzymane rozwiązanie dla obu szyków obracając je odpowiednio w przestrzeni i sformułować odpowiedź.

Odpowiedź:

Kierunek zerowego promieniowania wystąpi dla kąta φ = 45° niezależnie od wartości odległości d.

Pewną antenę liniową umieszczono w pobliżu narożnika dwóch dużych prostopadłych płaszczyzn przewodzących o równaniach x = 0 i y = 0 tak, że oś anteny jest równoległa do obu płaszczyzn (tzn., że antena jest równoległa do osi z) a odległości do obu płaszczyzn są równe. Środek anteny leży na powierzchni z = 0. Sporządzić odpowiedni szkic, wprowadzić oznaczenia i obliczyć w jakiej odległości od płaszczyzn należy umieścić tą antenę, aby w kierunku ϕ = 45°, θ = 90° wystąpiło główne maksimum promieniowania, tzn., aby na tym kierunku zsumowały się w fazie sygnały od anteny i jej wszystkich odbić. Czy możliwe jest uzyskanie na tym kierunku zerowego promieniowania. Jeśli tak, wskazać rozwiązanie.

Dane:

φ = 45°, θ = 90°, (kierunek maksymalnego promieniowania),

Rozwiązanie:

Sytuację geometryczną opisaną w treści zadania pokazano na rys. 4.22. Antena główna jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i znajduje się w odległości a od każdej z płaszczyzn x = 0 i y = 0. Prąd w antenie płynie w kierunku +z, tzn., do czytelnika; pobudzenie tej anteny oznaczono przez + U. Wytworzyły się trzy obrazy anteny. Dwa z pobudzeniem przeciwnym (– U ) i jeden z pobudzeniem zgodnym.

Zadanie można by rozwiązywać podobnie jak zadanie poprzednie zauważywszy, że teraz również można wyróżnić dwie pary szyków antenowych po dwie anteny zasilane w fazie, każda. Jest jednak prostszy sposób.

Aby uzyskać maksimum promieniowania na kierunku φ = 45°, sygnały od anteny i trzech jej obrazów muszą się dodać na tym kierunku. Powierzchnie stałej fazy będą więc prostopadłe do tego kierunku. Zaznaczono je cienkimi liniami ciągłymi. Przesuwają się tak jak pokazują szare strzałki. Widać, że jedna z nich przechodzi przez dwa obrazy pobudzone w przeciwfazie. Aby mogła zajść interferencja konstruktywna fala z tej powierzchni po dojściu do płaszczyzny stałej fazy przechodzącej przez antenę główną musi mieć już fazę przeciwną. Odległość pomiędzy tymi powierzchniami musi więc być nieparzystą wielokrotnością połowy długości fali. Taka sama odległość musi być do obrazu po przeciwnej stronie, pobudzonego w przeciwfazie. W takiej sytuacji wszystkie pola się dodadzą na pożądanym kierunku. Mamy więc następujące rozwiązanie dla najmniejszego a:

, czyli:. Na pytanie drugie odpowiedź jest pozytywna. Jeśli powiększymy odległość a dwukrotnie, nie dojdzie do zmiany fazy na odcinku λ i uzyskamy kierunek zerowego promieniowania dla kierunku φ = 45°.

Odpowiedź:

Aby uzyskać maksimum promieniowania dla kierunku φ = 45° należy antenę umieścić w odległości od płaszczyzn przewodzących. Podwojenie tej odległości spowoduje wystąpienie kierunku zerowego promieniowania. Istnieje wiele rozwiązań będących nieparzystymi wielokrotnościami podanych wielkości.

Dwie anteny liniowe umieszczono równoległe do siebie w odległości d oraz równolegle do dużej poziomej powierzchni przewodzącej na wysokości h nad nią. Anteny są pobudzone w przeciwfazie. Sporządzić odpowiedni szkic, i obliczyć jaka musi być odległość d i wysokość h, aby dla kata elewacji 45° leżącego na płaszczyźnie prostopadłej do powierzchni przewodzącej i zawierającego środki anten wystąpiło główne maksimum promieniowania, tzn., aby na tym kierunku zsumowały się w fazie sygnały od anten i ich wszystkich odbić. Czy możliwe jest uzyskanie na tym kierunku zerowego promieniowania. Jeśli tak, wskazać rozwiązanie.
Odpowiedź:

Rozwiązanie jest niemal identyczne jak w zadaniu poprzednim. Aby uzyskać maksimum promieniowania dla kierunku 45° należy anteny umieścić w odległości od siebie na wysokości nad płaszczyzna przewodzącą. Istnieje wiele rozwiązań będących nieparzystymi wielokrotnościami podanych wielkości. Podwojenie tych odległości spowoduje wystąpienie kierunku zerowego promieniowania.