Równania Maxwella

Prawo Gaussa $\oint_{s}^{}\overrightarrow{D}d\overrightarrow{s} = Q_{s}$ ; $\text{div\ }\overrightarrow{D} = \rho_{v}$ ; $\overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{D} = \rho_{v}$ ; D_N2 − D_N1 = σ_q

Strumień indukcji pola elektrycznego, przez dowolną zamkniętą powierzchnię S jest równy algebraicznej sumie wszelkich ładunków zgromadzonych w objętości ograniczonej powierzchnią S. Pole elektryczne jest polem źródłowym.

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego. $\oint_{s}^{}\overrightarrow{B}d\overrightarrow{s} = 0$ ; $\text{div\ }\overrightarrow{B} = 0$ ; $\overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{B} = 0$ ; B_N2 − B_N1 = 0

Strumień wektora pola magnetycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię S jest równy 0. Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Prawo Faradaya $\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = - \frac{d\Psi_{B}}{\text{dt}}$ ; $\text{rot\ }\overset{}{E} = \ \frac{- d\overrightarrow{B}}{\text{dt}}$ ; $\overset{}{\nabla} \times \overset{}{E} = \ \frac{- d\overrightarrow{B}}{\text{dt}}$ ; E_t2 − E_t1 = 0

Cyrkulacja pola elektrycznego po dowolnej zamkniętej krzywej l jest równa zmianie strumienia indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze l.

Prawo Przepływu (Ampera) $\oint_{l}^{}\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l} = J + \frac{d\Psi_{D}}{\text{dt}}$ ; $\text{rot\ }\overrightarrow{H} = \overset{}{J} + \ \frac{d\overrightarrow{D}}{\text{dt}}$ ; $\overset{}{\nabla} \times \overrightarrow{H} = \overset{}{J} + \ \frac{d\overrightarrow{D}}{\text{dt}}$ ; E_t2 − E_t1 = J_S

Cyrkulacja natężenia pola magnetycznego, po dowolnej zamkniętej krzywej l jest równa algebraicznej sumie prądów objętych konturem l plus zmiana strumienia indukcji pola elektrycznego przenikającego przez powierzchnię rozpięta na konturze l.

Równanie ciągłości prądu elektrycznego $\oint_{s}^{}\overrightarrow{J}d\overrightarrow{s} = - \frac{\text{dQ}}{\text{dt}}$ ; $\text{div\ }\overrightarrow{J} = \ \frac{- d\rho_{v}}{\text{dt}}$ ; $\overset{}{\nabla} \bullet \overrightarrow{J} = \ \frac{- d\rho_{v}}{\text{dt}}$ ; $J_{N2} - J_{N1} = \frac{- d\sigma_{q}}{\text{dt}}$

Strumień gęstości prądu elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię S jest równy zmianie ładunku elektrycznego w objętości ograniczonej powierzchnią S.

Fala płaska

$\left\{ \begin{matrix} \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{E} = 0 \\ \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{H} = 0 \\ \overset{}{\nabla} \times \overset{}{E} = - j\omega\mu\overset{}{H} \\ \overset{}{\nabla} \times \overset{}{H} = j\omega\varepsilon_{\text{sk}}\overset{}{E} \\ \end{matrix} \right.\ $ $\left\{ \begin{matrix} \overset{}{E} - \omega^{2}\varepsilon_{\text{sk}}\mu\overset{}{E} = 0 \\ \overset{}{H} - \omega^{2}\varepsilon_{\text{sk}}\mu\overset{}{E} = 0\ \\ \end{matrix} \right.\ $

Równania falowe Helmholtza $\left\{ \begin{matrix} \overset{}{E} - \gamma^{2}\overset{}{E} = 0 \\ \overset{}{H} - \gamma^{2}\overset{}{H} = 0\ \\ \end{matrix} \right.\ $ γ − wektor propagacji

Rozwiązania równań Helmholtza muszą spełniać te równania oraz wszystkie równania Maxwella, warunki początkowe i brzegowe.

$$\lambda = \ \frac{\omega}{c} = \sqrt{\varepsilon_{w}}\sqrt{\frac{1}{2}\left( \sqrt{1 + a^{2}} - 1 \right)} - wsp.\ stala\ amplitudy\ $$

$$\beta = \ \frac{\omega}{c} = \sqrt{\varepsilon_{w}}\sqrt{\frac{1}{2}\left( \sqrt{1 + a^{2}} + 1 \right)} - \ wsp.\ stala\ fazy$$

$a = \ \frac{\sigma}{\omega\varepsilon_{0}\ \varepsilon_{w}}$ ; $c = \ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}} - predkosc\ swiatla\ w\ prozni$

Fala poprzeczna – wektory E i H drgają prostopadle do kierunku propagacji.

$$\left\{ \begin{matrix} \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{E} = \ \overset{}{\gamma}\overset{}{E} = 0 \rightarrow \ \overset{}{\gamma}\ \bot\ \overset{}{E} \\ \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{H} = \ \overset{}{\gamma}\overset{}{H} = 0 \rightarrow \ \overset{}{\gamma}\ \bot\ \overset{}{H} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$${\overrightarrow{E}}_{(x,\ y,\ z,\ t)} = \ {\overrightarrow{E}}_{\text{mx}}\ e^{- \text{λz}}\cos\left( \omega t - \beta z \right)\overset{}{i}x$$

$${\overrightarrow{H}}_{(x,\ y,\ z,\ t)} = \ \frac{{\overrightarrow{E}}_{\text{mx}}}{\left| Z_{f} \right|}\ e^{- \text{λz}}\cos\left( \omega t - \beta z - \ \varphi_{0} \right)\overset{}{i}y$$

Polaryzacja fali

Polaryzacja liniowa – wektory E i H drgają cały czas w tych samych wzajemnie prostopadłych płaszczyznach. Za płaszczyznę polaryzacji przyjmuje się płaszczyznę, w której drga wektor E.

Polaryzacja kołowa – (lewoskrętna i prawo skrętna), końce wektorów E i H zataczają w przestrzeni okręgi.

Polaryzacja eliptyczna – końce wektorów zataczają w przestrzeni elipsy.

Przesunięcie fazowe ϕ między wektorami E i H w ośrodkach bezstratnych ϕ₀ == 0.

W ośrodkach stratnych impedancja falowa jest liczbą zespoloną. Między wektorami E i H występuje przesunięcie fazowe ϕ₀, gdzie ϕ₀ jest argumentem zespolonej impedancji.

$\lambda = \ \frac{2\pi}{\beta}$ ; $v_{f} = \ \frac{\omega}{\beta}$ ; $\delta = \frac{1}{\lambda}\ $ ; $\overset{}{E}\bot\overset{}{H}$ ; $\overset{}{E}\bot\overset{}{\gamma}$ ; $\overset{}{H}\bot\overset{}{\gamma}$

Propagacja fali płaskiej, w różnych ośrodkach

W ośrodku bezstratnym: 𝜇_w = 1, ε_w, σ = 0, Z_f – l. rzeczywista, ϕ₀ = 0

W ośrodku stratny: 𝜇_w = 1, ε_w, σ ≠0, Z_f – l. zespolona, ϕ₀ ≠ 0

Próżnia	Dielektryk bezstratny	Dielektryk stratny
$$\lambda_{0} = \frac{c}{f}$$	$$\lambda = \frac{\lambda_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{w}}}$$	$$\lambda = \frac{\lambda_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{w_{\text{sk.}}}}}$$
vf = c	$$v_{f} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{w}}}$$	$$v_{f} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{w_{\text{sk.}}}}}$$
$$Z_{f_{0}} = 120\pi = \ \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\ \sim 377\Omega$$	$$Z_{f} = \frac{Z_{f_{0}}}{\sqrt{\varepsilon_{w}}}$$	$$Z_{f} = \frac{Z_{f_{0}}}{\sqrt{\varepsilon_{w_{\text{sk.}}}}};\ Z_{f} = \left| Z_{f} \right|\ e^{i\varphi_{0}}$$
glebokosc wnikania. δ =  ∞	δ =  ∞	$$\delta = \ \frac{1}{\lambda}$$

Propagacja w przewodnikach: $\lambda \cong \ \beta = \ \sqrt{0,5\ \omega\mu\sigma}$

Odbicia i załamania fali płaskiej

ω_P = ω_R =  ω_w ; Θ_P = Θ_R ; Θ_P, Θ_R, Θ_w − w tej samej plaszczyznie ; Θ_P =  Θ_R =  Θ₁;  Θ_w = Θ₂ 

$prawo\ snella:\ \frac{\sin\Theta_{1}}{\sin\Theta_{2}} = \frac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}} = \ \sqrt{\frac{\varepsilon_{w2}\mu_{w2}}{\varepsilon_{w1}\mu_{w1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{w2}}{\varepsilon_{w1}}} = n_{12} - wsp.\ refrakcji,\ \gamma - wsp.\ propagacji\ osrodka$

Jeżeli fala pada z ośrodka „rzadszego (mniejszy ε_w) do gęstszego (większy ε_w)”, to kąt wnikania jest mniejszy od kąta padania. (fala ugina się w kierunku normalnej)

Całkowite wewnętrzne odbicie:

$$\frac{\sin\Theta_{1}}{\sin\Theta_{2}} = \ \frac{\sin\Theta_{1}}{1} = sin\Theta_{1gr.} = n_{12}$$

Zależności energetyczne dla współczynnika odbicia i załamania.

$\rho_{\|} = \frac{R_{\|}}{P_{\|}}$ ; $\rho_{\bot} = \frac{R_{\bot}}{P_{\bot}}$ ; $H_{\|} = \frac{W_{\|}}{P_{\|}}$ ; $H_{\bot} = \frac{W_{\bot}}{P_{\bot}}$

Θ_brewstera – kąt padania, przy którym dla polaryzacji równoległej nie ma fali odbitej, cała fala wnika do ośrodka drugiego.

Współczynniki amplitudowe odbicia i załamania:

$$\rho_{\|} = \frac{tg(\Theta_{1} - \ \Theta_{2})}{tg(\Theta_{1} + \ \Theta_{2})}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H = \frac{2cos\Theta_{1}\sin\Theta_{2}}{\sin\left( \Theta_{1} + \ \Theta_{2} \right) + \ cos(\Theta_{1} - \ \Theta_{2})}$$

$$\rho_{\bot} = \frac{sin(\Theta_{1} - \ \Theta_{2})}{sin(\Theta_{1} + \ \Theta_{2})}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H = \frac{2cos\Theta_{1}\sin\Theta_{2}}{\sin\left( \Theta_{1} + \ \Theta_{2} \right))}$$