Pole elektryczne

Ad 1. Pole elektrostatyczne: q const, v_q = 0

-Istnieje, kiedy ładunki się nie poruszają, nie ma pola magnetycznego

Ad 2. Pole elektryczne/przepływowe: v_q ≠ 0

-ładunki mogą się poruszać, pojawia się pole magnetyczne

Charakterystyka pola elektrostatycznego: bezwirowe, źródłowe, potencjalne.

Ad 1. Pole elektrostatyczne jest bezwirowe:

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = 0$$

-Pole elektryczne jest Wirowe, wirowość pola:

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = - \frac{d\Psi_{B}}{\text{dt}}$$

Ad 2. Pole elektrostatyczne jest polem źródłowym:

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{D}d\overrightarrow{s} = Q$$

Ad 3. Pole elektrostatyczne jest potencjalne (Praca nie zależy od drogi)

$$P = \oint_{}^{}\overrightarrow{F_{c}}d\overrightarrow{l} = 0$$

Siła Coulombowska

-Prawo coulomba:

$$F_{12} = \frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\ \frac{q_{1}q_{2}}{\left| r_{12} \right|^{3}}\overrightarrow{r_{12}}\text{\ \ }\left\lbrack N \right\rbrack$$

$$\varepsilon_{0} = 8.85 \bullet 10^{- 12}\ \left\lbrack \frac{F}{m} \right\rbrack$$

Natężenie pola elektrycznego

Def. (Stosunek wypadkowej siły coulombowskiej działającej na ładunek q₀ do wartości tego ładunku)

$$\overrightarrow{E} = \ \operatorname{}{\frac{F_{q_{0}}}{q_{0}}\ \left\lbrack \frac{V}{m} \right\rbrack;\ \ \ q_{0} > 0\ \ }$$

Od ładunku punktowego:

$$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \frac{q}{\left| \overrightarrow{r} \right|^{3}}\overrightarrow{r}\ \left\lbrack \frac{V}{m} \right\rbrack\ $$

Potencjał elektryczny

Def. (Praca, jaką siła pola wykonuje przy przesunięciu ładunku q₀ od ∞ do punktu P)

$$\phi_{P} = - \int_{\infty}^{P}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}\ \left\lbrack V \right\rbrack$$

P₀ = ∞;        ϕ_∞ = 0 − wartosc potencjalu w nieskonczonosci

Od ładunku punktowego.

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \frac{q}{R}$$

Obliczanie potencjału z superpozycji.

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \sum_{i = 1}^{N}\frac{q_{i}}{R_{i}}\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \int_{l}^{}\frac{\text{τ\ dl}}{r}\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \int_{s}^{}\frac{\sigma_{q}\text{\ ds}}{r}\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \frac{\rho_{v}\text{\ dv}}{r}\left\lbrack V \right\rbrack$$

Związek pomiędzy potencjałem i natężeniem pola elektrycznego $\overrightarrow{\mathbf{E}}$.

(Potencjał to jest pole skalarne, licząc gradient tego pola otrzymujemy natężenie pola.)

$$\overrightarrow{E} = - grad\ \phi\ $$

Twierdzenie Poissona i Laplace’a

Równanie Poissona:

$$\phi = \frac{- \rho_{v}}{\varepsilon_{0}}\ ;\ \ \ - laplasian\ skalarny$$

Równanie Laplacea, w tych miejscach przestrzeni, gdzie nie ma ładunku, ρ_v = 0

ϕ = 0

Rozwiązanie równania Poissona.

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{v}^{}\frac{\rho_{v}\text{\ dv}}{r}\ ;\ \phi_{\infty} = 0$$

Prawa Maxwella

Ad. 1 Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = - \frac{d\Psi_{B}}{\text{dt}}$$

Ad. 2 Prawo Gaussa

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{D}d\overrightarrow{s} = Q$$

Ad. 3 Równanie ciągłości

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{I}d\overrightarrow{s} = - \frac{\text{dQ}}{\text{dt}}$$

Cechy ładunku elektrycznego

Ad. 1 Skwantowanie

e = 1.6 • 10⁻¹⁹ [C]

Ad. 2 Niezmienność relatywistyczna (Niezależnie od prędkości wartość ładunku jest stała.)

q = q₀(v → c)

Ad. 3 Stałość ładunku. (Nie można zniszczyć tylko jednej formy ładunku.)

Rachunek operatorowy

Pole wektorowe – każdemu punktowi w przestrzeni przyporządkowana jest wielkość / funkcja wektorowa

$$\overrightarrow{E} - natezenie\ pola\ elektrycznego$$

$$\overrightarrow{D} - indukcja\ pola\ elektrycznego\ $$

$$\overrightarrow{H} - natezenie\ pola\ magnetycznego\ $$

$$\overrightarrow{B} - \ indukcja\ pola\ magnetycznego$$

$$\overrightarrow{J} - wektor\ gestosci\ pradu\ $$

Ad. 1 Operacje całkowe

$$\int_{l}^{}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}} - calka\ krzywoliniowa\ skierowana$$

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} - \ cyrkulacja,\ calka\ krzywoliniowa\ skierowana\ po\ drodze\ zamknietej$$

$$\int_{s}^{}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}} - calka\ powierzchniowa\ skierowana$$

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s} - calka\ powierzchniowa\ skierowana\ po\ powierzchni\ zamknietej$$

Ad. 2 Operacje różniczkowe

Dywergencja pola wektorowego

Def.

$$\text{\ div\ }\overrightarrow{E} = \ \operatorname{}{\frac{\oint_{\text{Δs}}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}}{\text{ΔV}}\text{\ \ }}$$

W układzie kartezjańskim

$$\text{div\ }\overrightarrow{E} = \frac{\text{dEx}}{\text{dx}} + \ \frac{\text{dEy}}{\text{dy}} + \ \frac{\text{dEz}}{\text{dz}}$$

-, Jeśli otoczymy punkt, w którym jest ładunek, wtedy div ≠ 0

-, Jeśli ładunki są na zewnątrz, wtedy strumień wychodzący z takiej powierzchni zamkniętej Δs będzie równy 0

$$\overrightarrow{E} = \lbrack Ex,\ Ey,Ez\rbrack$$

$$\overrightarrow{\nabla} = \left\lbrack \frac{d}{\text{dx}},\ \frac{d}{\text{dy}},\ \frac{d}{\text{dz}} \right\rbrack - operator\ Nabla$$

$$\overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{E} = \ div\ \overrightarrow{E}$$

- Dywergencja jest operację różniczkową, która danemu polu wektorowemu przyporządkowuje pewne nowe pole skalarne.

- Dywergencja służy do sprawdzania, czy dane pole ma źródła.

Rotacja pola wektorowemu

- przypisuje danemu polu wektorowemu, pewne nowe pole wektorowe

Def.

$$\text{rot\ }\overrightarrow{E} = \ \operatorname{}{\frac{\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}{\text{ΔS}}\text{\ \ }}$$

Cyrkulacja służy do sprawdzania, czy dane pole jest polem wirowym, czy bezwirowym.

$$\text{rot\ }\overrightarrow{E} = \ \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E}\ $$

$$\text{rot\ }\overrightarrow{E} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \text{dx} & \text{dy} & \text{dz} \\ \text{Ex} & \text{Ey} & \text{Ez} \\ \end{matrix} \right| = \left( \frac{\text{dEz}}{\text{dy}} - \ \frac{\text{dEy}}{\text{dz}} \right)\overrightarrow{i} + \left( \frac{\text{dEx}}{\text{dz}} - \ \frac{\text{dEz}}{\text{dx}} \right)\overrightarrow{j} + \ \left( \frac{\text{dEy}}{\text{dx}} - \ \frac{\text{dEx}}{\text{dy}} \right)\overrightarrow{k}\ $$

Gradient pola skalarnego

- przypisuje danemu polu skalarnemu pewne nowe pole wektorowe.

$$grad\ \phi = \ \overrightarrow{\nabla}\ \phi\ ;\ \ \ \ \ \phi - funkcja\ skalarna$$

W układzie kartezjańskim

$$grad\ \phi = \ \frac{\text{dϕ}}{\text{dx}}\overrightarrow{i} + \ \frac{\text{dϕ}}{\text{dy}}\overrightarrow{j} + \ \frac{\text{dϕ}}{\text{dz}}\overrightarrow{k}$$

$$\nabla^{2}\phi = \ \Delta\phi = \ \frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}\ + \ \frac{d^{2}\phi}{dy^{2}}\ + \frac{d^{2}\phi}{dz^{2}}\ \ ;\ \ \ \phi - funkcja\ skalarna\ $$

Laplasjan wektorowy

$$\Delta\overrightarrow{E} = \ \left( \frac{d^{2}\text{Ex}}{dx^{2}}\ + \ \frac{d^{2}\text{Ex}}{dy^{2}}\ + \frac{d^{2}\text{Ex}}{dz^{2}}\ \right)\overrightarrow{i} + \left( \frac{d^{2}\text{Ey}}{dx^{2}}\ + \ \frac{d^{2}\text{Ey}}{dy^{2}}\ + \frac{d^{2}\text{Ey}}{dz^{2}}\ \right)\overrightarrow{j} + \left( \frac{d^{2}\text{Ez}}{dx^{2}}\ + \ \frac{d^{2}\text{Ez}}{dy^{2}}\ + \frac{d^{2}\text{Ez}}{dz^{2}}\ \right)\overrightarrow{k}$$

Twierdzenie Stokesa

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = \ \int_{s}^{}\text{rot\ E\ ds}\ $$

Twierdzenie Gausa – Ostrogradskiego – Greena

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s} = \ \int_{v}^{}{\text{div\ }\overrightarrow{E}\text{\ dv}}$$

Tożsamości rachunku operatorowego

$$\text{div\ rot\ }\overrightarrow{E}\ \equiv 0$$

rot grad ϕ  ≡ 0

$$\text{rot\ rot\ }\overrightarrow{E} = grad\left( \text{\ rot\ }\overrightarrow{E}\ \right) - \ \Delta\overrightarrow{E}\ $$

$$\overrightarrow{A}\ \times \overrightarrow{B} = \ - \ \overrightarrow{B}\ \times \overrightarrow{A}$$

Pojemność Elektryczna – wyraża zdolność układu do gromadzenia ładunku.

Def.

$$C = \ \frac{Q}{U}\ \lbrack F\rbrack$$

Metody Obliczania:

Ad. 1 Z def.

1. Ładujemy (+Q, - Q)

2. Obliczamy $\overrightarrow{E}$

3. Obliczamy U₁₂

4. $C = \ \frac{Q}{U}$

Ad. 2 Metoda stałych rozłożonych

1. Szeregowo:

$$\frac{1}{C_{w}} = \ \sum_{i = 1}^{N}{C_{i}\ \ ;\ \ \ \ \ }\text{\ \ \ \ \ }\frac{1}{C_{w}} = \ \int_{}^{}\frac{1}{\text{dl}}\ \ (stale\ rozlozone)$$

1. Równolegle:

$$C_{w} = \ \sum_{i = 1}^{N}{C_{i}\ \ ;\ \ \ \ \ }\text{\ \ \ \ \ }C_{w} = \ \int_{}^{}\text{dl}\ \ (stale\ rozlozone)$$

Kondensator płaski

$$C = \ \frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{w}S}{d};\ \ \ \ E = \ \frac{U}{d};\ \ D = \ \sigma_{q};\ \ E = \frac{\sigma_{q}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{w}} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{w}S}\text{\ \ \ \ }$$

Walcowy

$$C_{w} = \ \frac{2\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{w}l}{\ln\frac{R_{2}}{R_{1}}}\text{\ \ }$$

Kołowy

$$C_{k} = \ \frac{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{w}}{\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}}\text{\ \ }$$

Energia zgromadzona w kondensatorze

$$\lbrack?\rbrack_{\text{pot}} = \ \frac{1}{2}CU^{2} = \frac{1}{2}QU = \frac{1}{2}\ \frac{Q^{2}}{C}\ \lbrack J\rbrack$$

$$\lbrack?\rbrack_{\text{pot}} = \ \frac{1}{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{w}E^{2}V_{\text{dielektryka}}\ (osrodek\ liniowy)$$

$$\lbrack?\rbrack_{\text{pot}} = \ \frac{1}{2}\text{ED\ \ }V_{\text{dielektryka}}\ (osr,\ izotropowy)$$

$$\lbrack?\rbrack_{\text{pot}} = \ \frac{1}{2}\overrightarrow{E}\ \overrightarrow{D}\text{\ \ \ }V_{\text{dielektryka}}\ (osr.\ dowolny)$$

Prąd Elektryczny – uporządkowany ruch ładunków elektrycznych, umownie przyjęto, że kierunek prądu odpowiada kierunkowi ruchu ładunków dodatnich. Prąd el. Porusza się wzdłuż linii sił pola elektrycznego.

Prąd liniowy - (zaniedbujemy rozmiary przewodów)

$$I = \frac{\text{dQ}}{\text{dt}}\ \lbrack A\rbrack\ $$

Prąd objętościowy –

J – gęstość prądu; Ne – koncentracja elektronów $\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$; ( 5$\left\lbrack \frac{A}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack \rightarrow V_{sr} = 0,37\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s} \right\rbrack$ )

$$\overrightarrow{J} = \ \rho_{v}{\overrightarrow{V}}_{sr}$$

$$\overrightarrow{J} = \ - e\ N_{e}\ {\overrightarrow{V}}_{sr}$$

Prąd Powierzchniowy –

J_s – gęstość prądu

$${\overrightarrow{J}}_{s} = \ \sigma_{q}{\overrightarrow{V}}_{sr}$$

Natężenie prądu –

Dla liniowego

$$I = \frac{\text{dQ}}{\text{dt}} - dla\ liniowego$$

I = ∫_lJ_sdl  − dla powierzchniowego

$$I = \int_{l}^{}\overrightarrow{J}d\overrightarrow{s}\text{\ \ \ }\left( \Psi_{J} \right)\ \ \lbrack A\rbrack - dla\ objetosciowego$$

$$\overrightarrow{I} = \ \frac{e^{2}\ N_{e}\ \lambda_{sr}}{2m\lambda_{sr}}\overrightarrow{E}$$

$$\overrightarrow{I} = \ \sigma\overrightarrow{E}\ - lokalne\ prawo\ Ohma\ ;\ \sigma - przewodnosc\ wlasciwa\ \left\lbrack \frac{1}{\text{Ω\ m}} \right\rbrack$$

$$\rho = \ \frac{1}{\sigma} - opornosc\ wlasciwa\ \left\lbrack \text{Ω\ m} \right\rbrack\ \left( \frac{\text{Ω\ }\text{mm}^{2}}{m} - dla\ przewodow \right)$$

$$\overrightarrow{E} = \ \rho\overrightarrow{I} - lokalne\ prawo\ Ohma$$

$$R = \frac{U}{I} - obwodowe\ prawo\ Ohma$$

$$E = \rho I;\ \frac{U}{l} = \rho\frac{I}{s} \rightarrow \ \frac{U}{I} = \rho\frac{l}{s} = R\ \left\lbrack \Omega \right\rbrack - rezystancja\ opornika\ $$

$$G = \sigma\frac{s}{l} - przewodnosc$$

Równanie ciągłości – strumień wektora $\overrightarrow{J}$ przez dowolną powierzchnię S jest równy zmianie ładunku w przestrzeni ograniczonej powierzchnią s.

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{J}d\overrightarrow{s} = - \frac{\text{dQ}}{\text{dt}} - \ (matematyczne\ sformulowanie\ zasady\ zachowania\ ladunku\ elektrycznego)$$

$$div\ J = - \frac{d\rho_{v}}{\text{dt}}$$

$$J_{N2} - \ J_{N1} = \ - \frac{d\sigma_{q}}{\text{dt}}\ $$

$$dla\ miedzi:\ \rho_{\text{cu}} = 0.0175\ \left\lbrack \frac{\text{Ω\ }\text{mm}^{2}}{m} \right\rbrack$$

Zależność rezystancji od temperatury

$${\rho_{T} = \ \rho}_{T_{0}}\left( 1 + \lambda\left( T - T_{0}\ \right)\ \right);\ \lambda - wspolczynnik\ temperaturowy\ rezystancji\left\lbrack \frac{1}{\deg C} \right\rbrack\ $$

$$\lambda = \ \frac{1}{\text{\ ρ}_{T_{0}}}\ \frac{d\rho_{T}}{\text{dt}}\ $$

$$\lambda_{\text{Cu}} = 4 \bullet 10^{- 3}\left\lbrack \frac{1}{\deg C} \right\rbrack$$

.λ– dla metali jest dodatnia (rezystancja rośnie ze wzrostem temperatury)

Ciepło Joule’a

$${\text{moc\ Joul}e^{'}a - \ P}_{J} = \int_{V}^{}{(\ \overrightarrow{\text{\ J}}}\overrightarrow{E}\ )\ dV \rightarrow \left( dla\ osr.\ jednorodnych \right)\text{\ P}_{J} = U\ J = J^{2}R\ \lbrack W\rbrack$$

$$\text{moc\ straty\ Joul}e^{'}a - {\ \lbrack?\rbrack}_{J} = \ \left( \ \int_{V}^{}{(\ \overrightarrow{\text{\ J}}}\overrightarrow{E}\ )\ dV \right)t \rightarrow \left( dla\ osr.\ jedn. \right){\ \lbrack?\rbrack}_{J} = U\ J\ t = J^{2}R\ t\ \lbrack J\rbrack$$

 

1 kWh = 3, 6 • 10⁶[J]

I, II prawo Kirchhoffa

$$I:\ \oint_{s}^{}\overrightarrow{J}d\overrightarrow{s} = - \frac{\text{dQ}}{\text{dt}} \rightarrow \ \sum_{i = 1}^{N}J_{i} = 0;\ \sum_{i = 1}^{N}q_{i} = 0$$

$$II:\ \oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = 0 \rightarrow \sum_{i = 1}^{N}{\lbrack?\rbrack_{i} + \ }\sum_{j = 1}^{N}{U_{j} = 0\ }\ $$

Nadprzewodnictwo – zjawisko zaniku rezystancji w bardzo niskich temperaturach.

Pole Magnetyczne

Prawo Grassmana

$$d{\overrightarrow{F}}_{12} = \ \frac{\mu_{0}}{4\pi}J_{1}J_{2}\frac{{d\overrightarrow{l}}_{2} \times ({d\overrightarrow{l}}_{1}\ {\times \overrightarrow{r}}_{12})}{\left| {\overrightarrow{r}}_{12} \right|^{3}}\ \left\lbrack N \right\rbrack;\ \left| d{\overrightarrow{F}}_{12} \right| = \left| \text{\ d}{\overrightarrow{F}}_{21} \right|\ $$

Prawo Biota-Savarta

$$d\overrightarrow{B} = \ \frac{\mu_{0}}{4\pi}J\frac{d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{\left| \overrightarrow{r} \right|^{3}};\ \ \ \overrightarrow{B} = \ \int_{l}^{}{\ \frac{\mu_{0}}{4\pi}J\frac{d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{\left| \overrightarrow{r} \right|^{3}}}$$

$$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_{0}\text{\ J}}{2\pi R}\ $$

$$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_{0}\text{\ J}}{2R}$$

Jednostką indukcji jest [T] – Tesla  1 T = 10⁴[Gs] (Gaussow)

$$\text{Def.\ }\overrightarrow{B} \rightarrow d\overrightarrow{B} = \operatorname{}{\frac{\overrightarrow{F}}{\text{Id}\overrightarrow{l}}\ \lbrack T\rbrack}$$

Strumień Indukcji

$$\Psi_{B} = \int_{s}^{}{\ \overrightarrow{B}}\text{\ d}\overrightarrow{s}\ \left\lbrack W_{b} \right\rbrack - weber\ \lbrack V\ s\rbrack$$

Prawo Gaussa dla $\overrightarrow{B}$

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{B}d\overrightarrow{s} = 0$$

div B = 0

B_N2 −  B_N1 =  0 

Siła Lorentza

$${\overrightarrow{F}}_{L} = q\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} - na\ ladunek$$

$${\overrightarrow{F}}_{L} = I\overrightarrow{L} \times \overrightarrow{B} - na\ przewodnik\ z\ pradem\ w\ polu$$

Dipol magnetyczny $\overrightarrow{\mathtt{m}} - moment\ magnetyczny\ \lbrack\ A\ m\ \rbrack$

$$\overrightarrow{\mathtt{m}} = \overrightarrow{I}\ \overrightarrow{s}\ $$

$$\overrightarrow{M} = \ \overrightarrow{\mathtt{m}} \times \overrightarrow{B}$$

$$\lbrack?\rbrack_{\text{pot}} = \ - \overrightarrow{\mathtt{m}} \times \overrightarrow{B}$$

Wektor namagnesowania

$$\overrightarrow{M} = \ \operatorname{}{\frac{\sum_{}^{}{\overrightarrow{\mathtt{m}}}_{i}}{V}\ \left\lbrack \frac{A}{m} \right\rbrack}$$

Siła elektromotoryczna SEM – zjawisko indukcji elektromagnetycznej, polega na pojawianiu się siły elektromagnetycznej w przewodnikach poruszających się w polu magnetycznym.

$$\lbrack?\rbrack = \left( \ \overrightarrow{U} \times \overrightarrow{B} \right)\ \overrightarrow{L}$$

Prawo Faradaya

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = - \frac{d\Psi_{B}}{\text{dt}};rot\ E = \ \frac{- d\overrightarrow{B}}{\text{dt}}$$

SEM Indukcyjności własnej i wzajemnej

$$\lbrack?\rbrack = \ - L\frac{\text{dI}}{\text{dt}}$$

$$\lbrack?\rbrack_{2} = \ - L_{21}\frac{dI_{1}}{\text{dt}}$$

Równania Maxwella

Prawo Gaussa

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{D}d\overrightarrow{s} = Q_{s}$$

$$\text{div\ }\overrightarrow{D} = \rho_{v}$$

$$\overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{D} = \rho_{v}$$

D_N2 − D_N1 = σ_q

Strumień indukcji pola elektrycznego, przez dowolną zamkniętą powierzchnię S jest równy algebraicznej sumie wszelkich ładunków zgromadzonych w objętości ograniczonej powierzchnią S. Pole elektryczne jest polem źródłowym.

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego.

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{B}d\overrightarrow{s} = 0$$

$$\text{div\ }\overrightarrow{B} = 0$$

$$\overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{B} = 0$$

B_N2 − B_N1 = 0

Strumień wektora pola magnetycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię S jest równy 0. Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Prawo Faradaya

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = - \frac{d\Psi_{B}}{\text{dt}}$$

$$\text{rot\ }\overset{}{E} = \ \frac{- d\overrightarrow{B}}{\text{dt}}$$

$$\overset{}{\nabla} \times \overset{}{E} = \ \frac{- d\overrightarrow{B}}{\text{dt}}$$

E_t2 − E_t1 = 0

Cyrkulacja pola elektrycznego po dowolnej zamkniętej krzywej l jest równa zmianie strumienia indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze l.

Prawo Przepływu (Ampera)

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l} = J + \frac{d\Psi_{D}}{\text{dt}}$$

$$\text{rot\ }\overrightarrow{H} = \overset{}{J} + \ \frac{d\overrightarrow{D}}{\text{dt}}$$

$$\overset{}{\nabla} \times \overrightarrow{H} = \overset{}{J} + \ \frac{d\overrightarrow{D}}{\text{dt}}$$

E_t2 − E_t1 = J_S

Cyrkulacja natężenia pola magnetycznego, po dowolnej zamkniętej krzywej l jest równa algebraicznej sumie prądów objętych konturem l plus zmiana strumienia indukcji pola elektrycznego przenikającego przez powierzchnię rozpięta na konturze l.

Równanie ciągłości prądu elektrycznego

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{J}d\overrightarrow{s} = - \frac{\text{dQ}}{\text{dt}}$$

$$\text{div\ }\overrightarrow{J} = \ \frac{- d\rho_{v}}{\text{dt}}$$

$$\overset{}{\nabla} \bullet \overrightarrow{J} = \ \frac{- d\rho_{v}}{\text{dt}}$$

$$J_{N2} - J_{N1} = \frac{- d\sigma_{q}}{\text{dt}}$$

Strumień gęstości prądu elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię S jest równy zmianie ładunku elektrycznego w objętości ograniczonej powierzchnią S.

Fala płaska

Ad.1 Rozpatrujemy przestrzeń nieograniczoną

Ad.2 Ośrodek jest jednorodny ε μ σ = const_{(x, y, z, t)}

Ad.3 W rozpatrywanej przestrzeni nie ma ładunków ρ_v

Ad.4 Nie ma prądów wywołanych siłami przyłożonymi.

Wektory E i H zapisujemy w postaci zespolonej w zależności od czasu.

$${\overrightarrow{E}}_{\left( t \right)} = \ {\overrightarrow{E}}_{m}\ \bullet e^{\text{jωt}}$$

$${\overrightarrow{H}}_{\left( t \right)} = \ {\overrightarrow{H}}_{m}\ \bullet e^{\text{jωt}}$$

ω − pulsacja = 2πf

$$Ad.\ 1\ \overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{D} = 0 \rightarrow \overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{E} = 0$$

$$Ad.\ 2\ \overset{}{\nabla} \times \overset{}{B} = \ \frac{- d\overrightarrow{B}}{\text{dt}} \rightarrow \overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{H} = 0\ $$

$$Ad.\ 3\ \overset{}{\nabla} \times \overset{}{E} = \ \frac{- d\overrightarrow{B}}{\text{dt}} = \ - j\omega\overrightarrow{B}\ = - j\omega\mu\overrightarrow{H}$$

$$Ad.\ 4\ \overset{}{\nabla} \times \overrightarrow{H} = \overset{}{J} + \ \frac{d\overrightarrow{D}}{\text{dt}} = \ \sigma \bullet \overrightarrow{E} + \varepsilon_{0}\ \varepsilon_{w}\frac{d\overrightarrow{E}}{\text{dt}} = \sigma \bullet \overrightarrow{E} + j\omega\varepsilon_{0}\ \varepsilon_{w}\overrightarrow{E} = \left( \sigma + j\omega\varepsilon_{0}\ \varepsilon_{w} \right)\overrightarrow{E} = \ j\omega\left( \frac{\sigma}{\text{jω}} + \varepsilon_{0}\ \varepsilon_{w} \right)\overrightarrow{E} = \ j\omega\varepsilon_{\text{sk}}\overrightarrow{E}\ $$

$$\varepsilon_{\text{sk}} = \ \frac{\sigma}{\text{jω}} + \ \varepsilon = \ \varepsilon - j\ \frac{\sigma}{\omega}$$

Do ad. 1 Wstawiamy z ad. 3 $H = \ \frac{1}{- j\omega\mu}\overset{}{\nabla} \times \overset{}{E}$

$$\left\{ \begin{matrix} \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{E} = 0 \\ \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{H} = 0 \\ \overset{}{\nabla} \times \overset{}{E} = - j\omega\mu\overset{}{H} \\ \overset{}{\nabla} \times \overset{}{H} = j\omega\varepsilon_{\text{sk}}\overset{}{E} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\frac{\overset{}{\nabla} \times \overset{}{\nabla} \times \overset{}{E}}{- j\omega\mu} = j\omega\varepsilon_{\text{sk}}\overset{}{E}\ $$

$$\overset{}{\nabla} \times \overset{}{\nabla} \times \overset{}{E} - \omega^{2}\varepsilon_{\text{sk}}\mu\overset{}{E} = 0$$

$$\overset{}{E} - \ \overset{}{\nabla}\left( \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{E} \right) - \omega^{2}\varepsilon_{\text{sk}}\mu\overset{}{E} = 0$$

$$\left\{ \begin{matrix} \overset{}{E} - \omega^{2}\varepsilon_{\text{sk}}\mu\overset{}{E} = 0 \\ \overset{}{H} - \omega^{2}\varepsilon_{\text{sk}}\mu\overset{}{E} = 0\ \\ \end{matrix} \right.\ $$

Równania falowe Helmholtza

$$\left\{ \begin{matrix} \overset{}{E} - \gamma^{2}\overset{}{E} = 0 \\ \overset{}{H} - \gamma^{2}\overset{}{H} = 0\ \\ \end{matrix} \right.\ $$

γ − wektor propagacji

Rozwiązania równań Helmholtza muszą spełniać te równania oraz wszystkie równania Maxwella, warunki początkowe i brzegowe.

Rozwiązaniami są funkcje postaci:

$$\overset{}{E} = \ {\overset{}{E}}_{m}e^{- \overset{}{\gamma}\overset{}{r}}e^{- j\text{ωt}}$$

$$\overset{}{H} = \ {\overset{}{H}}_{m}\ e^{- \overset{}{\gamma}\overset{}{r}}e^{- j\text{ωt}}$$

$${\overset{}{E}}_{m},\ {\overset{}{H}}_{m} - amplitudy\ zespolone$$

$$\overset{}{\gamma} = \ \lambda + j\beta$$

λ − wsp. stala amplitudy,  β − wsp. stala fazy

$$\lambda = \ \frac{\omega}{c} = \sqrt{\varepsilon_{w}}\sqrt{\frac{1}{2}\left( \sqrt{1 + a^{2}} - 1 \right)}$$

$$\beta = \ \frac{\omega}{c} = \sqrt{\varepsilon_{w}}\sqrt{\frac{1}{2}\left( \sqrt{1 + a^{2}} + 1 \right)}$$

$$a = \ \frac{\sigma}{\omega\varepsilon_{0}\ \varepsilon_{w}}$$

$$c = \ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}} - predkosc\ swiatla\ w\ prozni$$

Do analizy propagacji fal wykorzystuje się wektory rzeczywiste.

$${\overrightarrow{E}}_{\left( t \right)} = \ {\overrightarrow{E}}_{m}\ e^{- \overset{}{\gamma}\overset{}{r}}\ \cos(\omega t - \beta\ \overset{}{r})$$

$${\overrightarrow{H}}_{\left( t \right)} = \ {\overrightarrow{H}}_{m}\ e^{- \overset{}{\gamma}\overset{}{r}}\cos(\omega t - \beta\ \overset{}{r})$$

$$\overset{}{r} - wektor\ wodzacy$$

$$\overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{E} = 0$$

$$\overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{H} = 0$$

$$fala\ poprzeczna - \left\{ \begin{matrix} \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{E} = \ \overset{}{\gamma}\overset{}{E} = 0 \rightarrow \ \overset{}{\gamma}\ \bot\ \overset{}{E} \\ \overset{}{\nabla} \bullet \overset{}{H} = \ \overset{}{\gamma}\overset{}{H} = 0 \rightarrow \ \overset{}{\gamma}\ \bot\ \overset{}{H} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Fala poprzeczna – wektory E i H drgają prostopadle do kierunku propagacji.

$${\overrightarrow{E}}_{(x,\ y,\ z,\ t)} = \ {\overrightarrow{E}}_{\text{mx}}\ e^{- \text{λz}}\cos\left( \omega t - \beta z \right)\overset{}{i}x$$

$${\overrightarrow{H}}_{(x,\ y,\ z,\ t)} = \ \frac{{\overrightarrow{E}}_{\text{mx}}}{\left| Z_{f} \right|}\ e^{- \text{λz}}\cos\left( \omega t - \beta z - \ \varphi_{0} \right)\overset{}{i}y$$

$$\left\{ \begin{matrix} \Omega = \ \omega t - \ \beta z \\ \ \Omega + 2\pi = \ \omega t - \ \beta(z - \ \lambda) \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\lambda = \frac{2\pi}{\beta}\ $$

Długość fali zależy od parametrów ośrodka, (f const) – ośrodek, źródło nieruchome.

Ω =  ωt −  βz

dΩ =  ωdt −  βdz = 0

$$\frac{\text{dz}}{\text{dt}} = \frac{\omega}{\text{\ β}} = v_{f}$$

Prędkość fazowa zależy od parametrów ośrodka ε_w, σ – przewodność ośrodka

W próżni $v_{f} = c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}\ $

Głębokość wnikania – odległość, po której amplituda fali zaniknie o wartość e razy, gdzie e to podstawa logn, 2,72…

e^−λr = e⁻¹ 

$$r = \ \frac{1}{\lambda} = \ \delta$$

 

3δ – odległość tłumienia

Amp. ~ 0.05% Amplitudy początkowej

Np.: dla miedzi δ przy 1Mhz – 66 μm, przy 100Mhz – 6,6 μm

Polaryzacja fali

Polaryzacja liniowa – wektory E i H drgają cały czas w tych samych wzajemnie prostopadłych płaszczyznach. Za płaszczyznę polaryzacji przyjmuje się płaszczyznę, w której drga wektor E.

Polaryzacja kołowa – (lewoskrętna i prawo skrętna), końce wektorów E i H zataczają w przestrzeni okręgi.

Polaryzacja eliptyczna – końce wektorów zataczają w przestrzeni elipsy.

Przesunięcie fazowe ϕ między wektorami E i H w ośrodkach bezstratnych ϕ₀ == 0.

W ośrodkach stratnych impedancja falowa jest liczbą zespoloną. Między wektorami E i H występuje przesunięcie fazowe ϕ₀, gdzie ϕ₀ jest argumentem zespolonej impedancji.

$$\lambda = \ \frac{2\pi}{\beta}$$

$$v_{f} = \ \frac{\omega}{\beta}$$

$$\delta = \frac{1}{\lambda}\ $$

$$\overset{}{E}\bot\overset{}{H}$$

$$\overset{}{E}\bot\overset{}{\gamma}$$

$$\overset{}{H}\bot\overset{}{\gamma}$$

Propagacja fali płaskiej, w różnych ośrodkach

σ – przenikalność ośrodka

𝜇_w, ε_w – względny współczynnik przenikalności mag i elektrycznej.

$$\varepsilon_{\text{sk}} = \varepsilon - j\frac{\sigma}{\omega}$$

σ = 0 - dielektryk bezstratny

σ ≠ 0 - dielektryk stratny

W ośrodku bezstratnym

𝜇_w = 1, ε_w, σ = 0, Z_f – l. rzeczywista, ϕ₀ = 0

W ośrodku stratny

𝜇_w = 1, ε_w, σ ≠0, Z_f – l. zespolona, ϕ₀ ≠ 0

Próżnia	Dielektryk bezstratny	Dielektryk stratny
$$\lambda_{0} = \frac{c}{f}$$	$$\lambda = \frac{\lambda_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{w}}}$$	$$\lambda = \frac{\lambda_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{w_{\text{sk.}}}}}$$
vf = c	$$v_{f} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{w}}}$$	$$v_{f} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{w_{\text{sk.}}}}}$$
$$Z_{f_{0}} = 120\pi = \ \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\ \sim 377\Omega$$	$$Z_{f} = \frac{Z_{f_{0}}}{\sqrt{\varepsilon_{w}}}$$	$$Z_{f} = \frac{Z_{f_{0}}}{\sqrt{\varepsilon_{w_{\text{sk.}}}}};\ Z_{f} = \left| Z_{f} \right|\ e^{i\varphi_{0}}$$
glebokosc wnikania. δ =  ∞	δ =  ∞	$$\delta = \ \frac{1}{\lambda}$$

Propagacja w przewodnikach:

$$\lambda \cong \ \beta = \ \sqrt{0,5\ \omega\mu\sigma}$$

Odbicia i załamania fali płaskiej

Ad.1 Przy wyprowadzaniu zależności na odbicia i załamania wykorzystujemy warunki brzegowe.

E_t2 = E_t1

D_n2 = D_n1 →  ε_w2E_N2 = ε_w1E_N1

Przy wyprowadzeniach:

Granica rozdziału ośrodków jest nieruchoma.

Ośrodek pierwszy jest ośrodkiem bezstratnym.

Fala padająca jest jednorodną falą płaską.

Ad. 1 ω_P = ω_R =  ω_w

Ad. 2 Θ_P = Θ_R

Ad. 3 Θ_P, Θ_R, Θ_w − w tej samej plaszczyznie

Ad. 4 Θ_P =  Θ_R =  Θ₁;  Θ_w = Θ₂ 

$$\frac{\sin\Theta_{1}}{\sin\Theta_{2}} = \frac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}} = \ \sqrt{\frac{\varepsilon_{w2}\mu_{w2}}{\varepsilon_{w1}\mu_{w1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{w2}}{\varepsilon_{w1}}} = n_{12} - wsp.\ refrakcji,\ \gamma - wsp.\ propagacji\ osrodka$$

$$prawo\ snella:\ \frac{\sin\Theta_{1}}{\sin\Theta_{2}} = n_{12}$$

Współczynnik refrakcji dla danego materiału zależy od częstotliwości fali.

Jeżeli fala pada z ośrodka „rzadszego (mniejszy ε_w) do gęstszego (większy ε_w)”, to kąt wnikania jest mniejszy od kąta padania. (fala ugina się w kierunku normalnej)

Całkowite wewnętrzne odbicie:

$$\frac{\sin\Theta_{1}}{\sin\Theta_{2}} = \ \frac{\sin\Theta_{1}}{1} = sin\Theta_{1gr.} = n_{12}$$

Zależności energetyczne dla współczynnika odbicia i załamania.

$$\rho_{\|} = \frac{R_{\|}}{P_{\|}}$$

$$\rho_{\bot} = \frac{R_{\bot}}{P_{\bot}}$$

$$H_{\|} = \frac{W_{\|}}{P_{\|}}$$

$$H_{\bot} = \frac{W_{\bot}}{P_{\bot}}$$

Θ_brewstera – kąt padania, przy którym dla polaryzacji równoległej nie ma fali odbitej, cała fala wnika do ośrodka drugiego.

Współczynniki amplitudowe odbicia i załamania:

$$\rho_{\|} = \frac{tg(\Theta_{1} - \ \Theta_{2})}{tg(\Theta_{1} + \ \Theta_{2})}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }H = \frac{2cos\Theta_{1}\sin\Theta_{2}}{\sin\left( \Theta_{1} + \ \Theta_{2} \right) + \ cos(\Theta_{1} - \ \Theta_{2})}$$

$$\rho_{\bot} = \frac{\sin(\Theta_{1} - \ \Theta_{2})}{\sin(\Theta_{1} + \ \Theta_{2})}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }H = \frac{2cos\Theta_{1}\sin\Theta_{2}}{\sin\left( \Theta_{1} + \ \Theta_{2} \right))}$$

R =  |ρ|² − wsp. energetyczny odbicia

T  = 1 − |ρ|²