Transformacja Lorentza

Hendrik Antoon Lorentz

Fizyk pochodzenia holenderskiego. Ur. 18 lipca 1853r. zm. 4 lutego 1928r. Otrzymał tytuł doktorski w wieku 22 lat. Po trzech latach został profesorem katedry Fizyki teoretycznej na uniwersytecie w Lejdzie. Jego najważniejszymi osiągnięciami są oczywiście: transformacja Lorentza, teoria wyjaśniające przewodnictwo elektryczne, teoria wyjaśniająca zjawisko dyspersji, stworzenie wzoru na skrócenie ciała sztywnego będącego w ruchu. W roku 1902 łącznie z Pieterem Zeemanem otrzymał Nobla z dziedziny fizyki.

Definicja

Transformacja Lorentza – przekształcenie matematyczne opisujące transformacje wielkości fizycznych w czasoprzestrzeni czterowymiarowej przy przechodzeniu od jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego.

Transformacje współrzędnych mają najprostszą postać wówczas, gdy:

Ustalenia początkowe:

Rozpatrujemy dwa inercjalne układy odniesienia – XYZ i X’Y’Z’

Oba układy mają równolegle położone osie XYZ

W chwili początkowej środki obu układów pokrywają się – czyli:

x (t = 0) = x’(t’= 0) = 0

y (t = 0) = y’(t’= 0) = 0

z (t = 0) = z’(t’= 0) = 0

Prędkość układu X’Y’Z’ względem układu XYZ wynosi v i jest skierowana wzdłuż osi X-ów zgodnie z jej zwrotem.

Wyprowadzenie transformacji Lorentza:

Załóżmy, że obserwator S przypisuje pewnemu zdarzeniu położenie x, y, z oraz czas t, natomiast obserwator S’ przypisuje temu zdarzeniu współrzędne x’, y’, z’ oraz czas t’.

Środki obu układów w chwili t=t’ pokrywały się a ruch odbywa się tylko względem osi x i x’. Wynika z tego że: y=y’ i z=z’.

Załóżmy teraz, że obserwator S’ mierzy czas pomiędzy dwoma zdarzeniami.

Zdarzenie pierwsze jest to wysłanie przez obserwatora S’ światła do góry w kierunku osi Y’. Następnie światło odbija się od zwierciadła oddalonego o D i wraca do obserwatora S’.

Zdarzenie drugie jest to zdarzenie powrotu światła do obserwatora S’.

Czas pomiędzy tymi zdarzeniami 𝚫𝐭_𝟎 mierzony przez obserwatora S’ wynosi:

∆𝑡_0=2𝐷/𝑐

Gdzie:

c - prędkość światła.

Z punktu widzenia obserwatora S światło musiało przebyć większą drogę .

Ponieważ prędkość światła jest taka sama dla każdego z obserwatorów, odstęp czasu ∆𝐭 dla obserwatora S wynosi:

∆t=2L/c

przy czym zachodzi związek:

𝐿=√((𝑣∆𝑡/2)^2+𝐷^2 )=√((𝑣∆𝑡/2)^2+((𝑐∆𝑡_0)/2)^2 )

Przekształcając dalej otrzymujemy związek pomiędzy ∆𝑡 i ∆𝑡_0:

∆𝒕=(∆𝒕_𝟎)/√(𝟏−(𝒗/𝒄)^𝟐 )

Oznacza to, że według obserwatora S upłynęło więcej czasu pomiędzy wysłaniem i powrotem światła niż zmierzył to obserwator S’. Zjawisko to nosi nazwę dylatacji czasu. Występujący w powyższym wzorze współczynnik:

γ=1/√(1−v^2/c^2 )

Nosi nazwę współczynnika Lorentza.

Poszukujemy teraz liniowej transformacji współrzędnych x i t:

x' = Ax + Bt
t' = Et + Fx

Jeśli umieścimy zegar w początku układu XYZ, odstęp między tyknięciami dla obserwatora S wynosi t. Dla obserwatora S’ natomiast 𝑡^′=𝛾𝑡 ze wzg. na dylatacje czasu.

Otrzymujemy więc:

𝛾𝑡=𝐸𝑡 ⟹ 𝜸=𝑬

Obserwator S’ widzi, że zegar umieszczony w początku układu XYZ porusza się w lewo.

W chwili t’ obserwator S’ przypisze mu położenie 𝑥’=−𝑣𝑡′.

Korzystając z tego związku i pamiętając, że 𝑥=0, otrzymujemy:

𝐵𝑡=−𝑣𝐸𝑡 ⟹𝑩=−𝒗𝜸

Jeśli umieścimy teraz zegar w początku układu XYZ’ to obserwator S w chwili t przypisze zegarowi współrzędną 𝑥=𝑣𝑡.

Otrzymujemy więc:

0=𝐴𝑣𝑡+𝐵𝑡 ⟹𝑨=𝜸

Korzystając z faktu stałości prędkości światła otrzymujemy:

𝑥=𝑐𝑡

𝑥’=𝑐𝑡’

Przekształcając otrzymujemy:

𝑐𝑡’=𝐴𝑐𝑡+𝐵𝑡

𝑡’=𝐸𝑡+𝐹𝑐𝑡

I dalej:

𝑐=(𝛾𝑐−𝑣𝛾)/(𝛾+𝐹𝑐)

Z tego:

𝑭=−𝒗𝜸/𝒄^𝟐

Wzory transformacyjne:

Ostatecznie transformacja Lorentza ma postać:

x^′=γ∗(x−vt)

y^′=y

z^′=z

t^′=γ∗(t−(v∗x)/c^2 )

Gdzie:

γ=1/√(1−v^2/c^2 )

c – prędkość światła w próżni

Wnioski:

Bezpośrednimi wnioskami wypływającymi z transformacji Lorentza są: kontrakcja długości i dylatacja czasu.

Kontrakcja długości (skrócenie Lorentza – Fitzgerlada) – zmiana długości odcinka ze względu na układ odniesienia. Odcinek o długości l w układzie nieporuszającym się, będzie się wydawał krótszy dla obserwatora z układu poruszającego się.

Dylatacja czasu – oznacza wydłużanie czasu w układzie poruszającym się (w układzie tym upływa mniej minut).

Wnioski te zmieniają nasze wyobrażenia o czasie i przestrzeni. Nie istnieje absolutny czas ani absolutna przestrzeń, lecz zegary mierzą własny czas obserwatora, a podziałki różnych obserwatorów mogą przypisać ciałom inną długość zależnie od prędkości tych układów.