FIZYKA (W1 prof. Lidia Maksymowicz)
Transformacja Galileusza (TG) i Transformacja Lorentza (TL)
Oznaczenia :
F, a, r - wektory (pismo pogrubione)
Ad. 1) Transformacja Galileusza (TG) :
W przyrodzie występują cztery oddziaływania elementarne :
1. Grawitacyjne (natężenie 2 * 10 -39).
2. Elektromagnetyczne (7,3 * 10 -9)
3. Silne (jądrowe) (1).
4. Słabe (10 -5).
Prawa ruchu Newtona :
I) a = 0 ⇒ F = 0
II) F = ma = m * (d2r / dt2) ; F ≠ 0
III) F2-1 = F1-2
W działaniach w skali atomowej zasada akcji i reakcji nie zawsze jest słuszna. Istnieją naturalne granice stosowania III prawa Newtona. W makroświecie jesteśmy przekonani, że wszystkie siły i sygnały rozchodzą się z jednakową prędkością, więc możemy przyjąć, że siły F2-1 i F1-2 są mierzone w tym samym momencie. Jest to jednak sprzeczne z faktem, że cząstka dopiero po skończonym czasie odczuwa działanie siły drugiej cząstki.
Np.
Zderzenie samochodu o długości d = 3 [m], dla c = 3*1010 [m/s] czas trwania zderzenia wynosi t = 10 -8 [s]. W tym czasie samochód o v = 100 [km/h] przejedzie drogę x = 3 * 10 -5 [cm].
Układy współrzędne, w których rozważane są zjawiska dynamiczne, i dla których spełnione są ZDN nazywamy inercjalnymi.
Każde ciało na Ziemi uczestniczy zawsze w dwóch ruchach obrotowych :
1. Ziemi wokół własnej osi (na równiku 3,4 [cm/s2]),
2. Ziemi wokół Słońca (0,6 [cm/s2]).
Założenia mechaniki klasycznej :
1. Przestrzeń jest Euklidesowa.
2. Przestrzeń jest izotropowa (tzn. własności fizyczne jednakowe we wszystkich kierunkach).
["m" w "F = ma" nie zależy od kierunku wektora "a".
3. Prawa dynamiki Newtona są słuszne w układzie inercjalnym, określonym dla obserwatora w spoczynku na Ziemi przy założeniu, że uwzględnione jest tylko przyspieszenie Ziemi w ruchu obrotowym wokół własnej osi i dookoła Słońca.
4. Prawo powszechnego ciążenia (Prawo Grawitacji).
Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi "m1" i "m2", znajdującymi się w odległości "r", jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty, i ma wartość
F = G m1 m2 / r2
gdzie "G" jest stałą uniwersalną, mającą tę samą wartość dla wszystkich par punktów materialnych.
Względność klasyczna TG :
Stan ruchu jakiegoś obserwatora nie może zmienić praw przyrody, czyli wszystkie prawa przyrody muszą być takie same dla wszystkich obserwatorów poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Układ S1 jest w spoczynku, a układ S2 porusza się względem układu S1 : (rys. 1)
r1 = O1O2 + r2 (1)
r1 = ix1 + jy1+ kz1 (2)
r2 = ix2 + jy2+ kz2 (2a)
O1O2 = iVt (2b) (2) (2a) (2b) ⇒ (1)
ix1 + jy1+ kz1 = ix2 + jy2+ kz2 (3)
x2 = x1 - Vt
x1 = x2 + Vt
y1 = y2
z1 = z2 (4)
Grupa TG :
Transformacja opisująca przemieszczenia wzdłuż osi x, y, z, obroty oraz odbicia względem początku układu we wszystkich kierunkach.
Odwzorowania :
Transformacje odpowiadające liniowym przemieszczeniom ze stałym wektorem V = const. :
V = (dr / dt)
(dx1 / dt) = (dx2 / dt) + V
(dy1 / dt) = (dy2 / dt)
(dz1 / dt) = (dz2 / dt)
VX1 = VX2 + V
VY1 = VY2
VZ1 = VZ2
aX1 = aX2
aY1 = aY2
aZ1 = aZ2
Przyspieszenie punktu "M" w układzie S2 równa się przyspieszeniu punktu w układzie S1. Czyli TG przeprowadza układ inercjalny w układ inercjalny.
Ad. 2) Transformacja Lorentza (TL) :
1887 doświadczenie Michelson'a - Morley'a, z którego wynika, że prędkość światła jest NIEZMIENNICZA tzn., że prędkość światła jest taka sama niezależnie od tego, czy jest ona zmierzona przez obserwatora w układzie stacjonarnym, czy też znajdującego się w układzie poruszającym się ze stałą prędkością względem źródła światła. Wnioski te stały się podstawą teorii względności Einsteina.
Ze wspólnego początku obu układów wysłany został błysk światła, czyli rozważamy rozprzestrzenianie się fali świetlnej, dla której czołem fali jest sfera rozprzestrzeniająca się z prędkością "c": (rys. 2)
TL
w S1 x12 + y12 + z12 = c2t12 (1)
w S2 x22 + y22 + z22 = c2t22 ; t1 = t2 (2)
TG ⇒ (2)
(x1 - Vt) 2 + y12 + z12 = c2t12
x12 - 2x1Vt + V2t2 + y12 + z12 = c2t12 (2a)
Widać, że równanie (2a) ≠ (1), tzn., że przy wykorzystaniu TG równanie czoła fali w układzie S2 nie przechodzi w równanie fali w układzie S1.
W. :
TG przestaje być słuszna o ile prawdziwą jest zasada niezmienniczości prędkości światła.
Szukamy więc innej transformacji, która dla małych prędkości (V/ c → 0) przejmie TG, ponadto przeprowadzi (2) → (1) i będzie spełniała założenia :
1. Będzie prosta ze względu na "y" i "z", gdyż w równaniu (1) i (2a) y1 → y2 i z1 → z2, czyli TG nie zaburza y1 = y2 i z1 = z2.
2. Liniowa ze względu na "x" i "t", gdyż zmierzamy do uzyskania kulistej powierzchni falowej, która rozszerza się ze stałą prędkością.
3. Z wyrażenia (2a) wynika, że T typu t = t musi ulec zmianie jeżeli chcemy by (-2xVt + Vt) zniknęło.
Rozważmy więc propozycję :
x2 = x1 -Vt1
y2 = y1
z2 = z1
t2 = t1 + f(x1)
Podstawiamy nową T do równania (2):
x12 - 2Vx1t1 + V2t12 + y12 +z12 = c2[t12 +2t1f(x1) + f2(x12)] (3)
Z warunku liniowości T względem "x1" i "t1" żądamy, ażeby w (3) zerowały się wyrażenia, w których występują iloczyny "x1" i "t1", czyli :
- 2Vx1t1 - 2 c2t1f(x1) = 0
f = - V / c2
Stąd wynika :
x2 = x1 -Vt1
y2 = y1
z2 = z1
t2 = t1 - (V / c2) f(x1) (4)
W następnym etapie należy T (4) wykorzystać w równaniu (2) i w ostateczności uzyskamy :
x12(1 - V2 / c2) + y12 + z12 = c2t12(1 - V2 / c2) (5)
Równanie (5) w dalszym ciągu nie jest równaniem sfery w układzie S1, ale stanie się nim, gdy w (4) wprowadzimy :
x2 = (x1 -Vt1) / √(1 - V2 / c2)
y2 = y1
z2 = z1
t2 = t1 - (V / c2) x1 / √(1 - V2 / c2) (4a)
T (4a) wykorzystana w równaniu (2) przeprowadza to równanie w identyczne (1) jak dla sferycznego czoła fali w układzie S1 (1).
TL dla "V/ c → 0" przechodzi w TG, czyli TL spełnia zasadę korespondencji (odpowiedniości) ustanowioną przez Bohr'a w 1923 r. :
Każda nowa teoria w fizyce musi sprowadzić się do dobrze ugruntowanej odpowiedniej teorii klasycznej, jeśli stosuje się ją w specyficznej sytuacji [Np. (V / c → 0)], gdy wiadomo, że mniej ogólna teoria jest słuszna.
Istnieje pewna standardowa forma zapisu TL :
β = V / c - beta
χ = 1 / √(1 - β2) - gamma
i wówczas T (4a) przybiera postać :
x2 = χ (x1 - βct1)
y2 = y1
z2 = z1
t2 = χ (t1 - βx1 / c) (4b)
Konsekwencje TL :
1. Kontrakcja przestrzeni (skrócenie długości).
2. Dylatacja czasu (wydłużenie czasu).
Ad. 1)
Wynik pomiaru grubości pręta nie zależy od prędkości tego pręta, gdy porusza się on prostopadle (rys 3) do swojej długości (S2 związany z prętem).
Rozważmy długość pręta, który leży równolegle (rys4) i wtedy długość :
L0 = x2(1) - x1(1)
Długość pręta w S2 poruszającego się względem S1 V (V, 0, 0) mierzona w tym samym czasie t2 wynosi :
L = x2(2) - x1(2)
Wykorzystując TL dostajemy :
x2(1) = x2(2) + Vt2 / √(1 - β2)
x1(1) = x1(2) + Vt2 / √(1 - β2)
x2(1) - x1(1) = (x2(2) - x1(2)) / √(1 - β2)
L0 = L / √(1 - β2)
L0 > L
Następuje kontrakcja przestrzeni w układzie poruszającym się (skrócenie długości).
Ad. 2) Dylatacja - wydłużenie odstępów czasu mierzonych przez zegar będący w ruchu, przyjmujemy, że zegar, który jest w spoczynku w S1 daje wynik pomiaru czasu "τ" i ten odstęp czasu nazywamy czasem własnym (dla każdej cząstki elementarnej czas jest określony przez jej czas własny wyznaczony w układzie związanym z tą cząstką, czyli w układzie, w którym ta cząstka jest w spoczynku. Szukając czasu "t" wyznaczonego w S2 korzystamy z TL :
t2 = χ (t1 - βx1/c) ; x1 = 0, t1 = τ
t2 = χτ ⇒ t2 = τ / √(1 - β2) ⇒ t2 > τ
Oznacza to, że w układzie S2 czas "biegnie wolniej".
Lorentzowskie dodawanie prędkości
x2 = (x1 - Vt1) / √ (1 - β2)
y2 = y1
z2 = z1
t2 = [t1 - (V / c2) x1] / (1 - β2)
V = dr / dt
dx2 = (dx1 - dt1V) / (1 - β2) = dt1 (V1X - V) / (1 - β2)
dy2 = dy1
dz2 = dz1
dt2 = [dt1 - dx1(V / c2)] / (1 - β2) = [dt1 (1 - (V / c2) V1X)] / (1 - β2)
V2X = (V1X - V) / [1 - (V / c2) V1X]
V2Y = [V1Y √ (1 - β2)] / [1 - (V / c2) V1X]
V2Z = [V1Z √ (1 - β2)] / [1 - (V / c2) V1X]
V1X = (V2X + V) / [1 + (V / c2) V2X]
V1Y = [V2Y √ (1 - β2)] / [1 + (V / c2) V2X]
V1Z = [V2Z √ (1 - β2)] / [1 + (V / c2) V2X]
Mimo, że ruch układu S2 odbywał się wzdłuż osi "x" to TLP (prędkości) składowe "y" i "z" prędkości w układzie S2 zależą od "x" składowej w układzie S1.
Rozważmy przypadek, gdy V2 = c
TG
V1X = c + V - niezgodne z doświadczeniem MM.
TL
V1X =(c +V) / (1+(V / c)) = c - zgodnie z doświadczeniem MM.