Zestaw VII

Zadanie 1. (5 pkt)

Funkcja f każdej liczbie naturalnej dodatniej n przyporządkowuje liczbę wszystkich liczb naturalnych należących do zbioru rozwiązań nierówności(n-x)(x-2n)>0 z niewiadomą x. Napisz wzór funkcji f i narysuj jej wykres dla n<6

Zadanie 2. (5 pkt)

Liczba 2 jest miejscem zerowym wielomianu W(x). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = x² − 3x + 2 jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-1) otrzymujemy resztę 5.

Zadanie 3. (4 pkt)

Udowodnij, że średnica okręgu, wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.

Zadanie 4. (6 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC(|AC| = |BC|) poprowadzono wysokość CK oraz AM. Wiedząc, że |AB|² = |CK| • |AM| wyznacz cosinus kąta przy podstawie trójkąta.

Zadanie 5. (5 pkt)

Dla jakich wartości parametru m równanie |x−1| = m² − 2m + 1 ma dwa pierwiastki dodatnie?

Zadanie 6. (6 pkt)

W pewnym liceum, wśród uczniów 30-osobowej klasy(każdy uczeń pochodzi z innej rodziny), zebrano dane na temat posiadanego rodzeństwa. Wyniki badań przedstawiono na diagramie.

1. Wychowawczyni wybrała 3 osoby z tej klasy. Oblicz prawdopodobieństwo, że jedna z nich ma dwoje rodzeństwa, a dwie pozostałe nie mają rodzeństwa. Wynik zaokrąglij do części setnych.

2. Oblicz średnią liczbę dzieci w jednej badanej rodzinie, odchylenie standardowe i medianę.

Zadanie 7. (4 pkt)

Wiadomo, że ciąg (a, b, 1) jest ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg (1, a, b) jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz a i b.

Zadanie 8. (4 pkt)

Romb o kącie ostrym 60, obraca się wokół boku. Oblicz pole powierzchni i objętość otrzymanej bryły wiedząc, że długość boku rombu jest równa a.

Zadanie 9. (3 pkt)

Cena biletu na mecz piłki nożnej była równa 60 zł. Gdy cenę obniżono okazało się, że na mecz przychodziło o 20% widzów więcej, a dochód uzyskany ze sprzedaży biletów na jeden mecz wzrósł o 10%. O ile złotych obniżono cenę biletu.

Zadanie 10. (4 pkt)

Przekątna równoległoboku poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego ma długość 18 cm i dzieli ten kąt na kąty o miarach 45 i 75. Oblicz pole równoległoboku. Wynik przedstaw w postaci $a + b\sqrt{c}$ , gdzie a, b, c są liczbami naturalnymi.

Zadanie 11. (4 pkt)

Wykresy funkcji kwadratowych f(x) = x² + bx − c oraz g(x) = x² − ax + b, gdzie a ≠ −bprzecinają się w punkcie leżącym na osi OX. Wiedząc, że osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu x+1 oblicz a, b.