POPRAWA SPRAWOZDANIA
Wyznaczanie niepewności pomiarowych
Dla pręta 1
| i | F/H | F/H -$\mathbf{\ }\overset{\overline{}}{\mathbf{F/H}}$ | $${\mathbf{(F/H\ - \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{F/H}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 54500 | -50,37 | 2536,63 |
| 2 | 55267,60 | 717,23 | 514426 |
| 3 | 55009,35 | 458,98 | 210667 |
| 4 | 54124,14 | -426,22 | 181667 |
| 5 | 53901,10 | -649,26 | 421545 |
| 6 | 54500 | -50,37 | 2536,63 |
$$\sum_{i = 1}^{6}{\frac{F}{H} = 357302,19}$$ |
$$\sum_{i = 1}^{6}{\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2} = 1,3*10^{6}}$$ |
$$u\left( \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{6}\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{1,3*10^{6}}{6\left( 6 - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{1,3*10^{6}}{30}} = 1,14*10^{3}$$
$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}}*u\left( \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right) = \left( \frac{{0,482}^{3}}{4*0,012*{0,0118}^{3}}*1,14*10^{3} \right)^{2} = 1,13*10^{19}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{3,927*}\mathbf{10}^{\mathbf{19}}\mathbf{+ 2,366*}\mathbf{10}^{\mathbf{12}}\mathbf{+ 6,553*}\mathbf{10}^{\mathbf{20}}\mathbf{+ 1,13*}\mathbf{10}^{\mathbf{19}}}\mathbf{= 2,66*}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}$$
Dla pręta 2
| i | F/H | F/H -$\mathbf{\ }\overset{\overline{}}{\mathbf{F/H}}$ | $${\mathbf{(F/H\ - \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{F/H}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 31142,86 | 4657,25 | 21289977 |
| 2 | 25647,06 | -838,55 | 703166 |
| 3 | 25703,06 | -782,55 | 612384 |
| 4 | 25480,52 | -1005,09 | 1010205 |
| 5 | 25348,84 | -1136,77 | 1292246 |
| 6 | 25591,30 | -894,31 | 799790 |
$$\sum_{i = 1}^{6}{\frac{F}{H} = 158913,60}$$ |
$$\sum_{i = 1}^{6}{\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2} = 5,1*10^{7}}$$ |
$$u\left( \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{6}\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{5,1*10^{7}}{6\left( 6 - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{5,1*10^{7}}{30}} = 1,30*10^{3}$$
$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}}*u\left( \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right) = \left( \frac{{0,215}^{3}}{4*0,003*{0,0164}^{3}}*1,30*10^{3} \right)^{2} = 1,56*10^{5}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{8,137*}\mathbf{10}^{\mathbf{17}}\mathbf{+ 6,619*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{+ 1,398*}\mathbf{10}^{\mathbf{20}}\mathbf{+ 1,56*}\mathbf{10}^{\mathbf{5}}}\mathbf{= 1,185*}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}$$
Dla pręta 3
| i | F/H | F/H -$\mathbf{\ }\overset{\overline{}}{\mathbf{F/H}}$ | $${\mathbf{(F/H\ - \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{F/H}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 53027,03 | -1857,54 | 3450454 |
| 2 | 56057,14 | 1172,57 | 1374920 |
| 3 | 55528,30 | 643,73 | 414388 |
| 4 | 54881,12 | -3,45 | 11,90 |
| 5 | 54804,47 | -80,1 | 6416,01 |
| 6 | 55009,35 | 124,78 | 15570 |
$$\sum_{i = 1}^{6}{\frac{F}{H} = 329307,41}$$ |
$$\sum_{i = 1}^{6}{\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2} = 5,3*10^{6}}$$ |
$$u\left( \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{6}\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{5,3*10^{6}}{6\left( 6 - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{5,3*10^{6}}{30}} = 4,20*10^{2}$$
$$\frac{\partial E}{\partial\frac{F}{H}}*u\left( \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right) = \left( \frac{{0,312}^{3}}{4*0,0127*{0,0051}^{3}}*5,30*10^{6} \right)^{2} = 2,39*10^{13}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{9,560*}\mathbf{10}^{\mathbf{20}}\mathbf{+ 2,128*}\mathbf{10}^{\mathbf{13}}\mathbf{+ 3,578*}\mathbf{10}^{\mathbf{24}}\mathbf{+ 2,39*}\mathbf{10}^{\mathbf{13}}}\mathbf{= = 1,89*}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}$$
Dla pręta 4
| i | F/H | F/H -$\mathbf{\ }\overset{\overline{}}{\mathbf{F/H}}$ | $${\mathbf{(F/H\ - \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{F/H}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 37018,87 | -237,47 | 59392 |
| 2 | 36672,89 | -583,45 | 340413 |
| 3 | 37490,45 | 234,11 | 54807 |
| 4 | 37194,31 | -62,03 | 3847 |
| 5 | 37730,77 | 474,43 | 225083 |
| 6 | 37730,77 | 474,43 | 225083 |
$$\sum_{i = 1}^{6}{\frac{F}{H} = 158913,64}$$ |
$$\sum_{i = 1}^{6}{\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2} = 9,1*10^{5}}$$ |
$$u\left( \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{6}\left( \frac{F}{H} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{9,1*10^{5}}{6\left( 6 - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{9,1*10^{5}}{30}} = 1,74*10^{2}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{7,538*}\mathbf{10}^{\mathbf{17}}\mathbf{+ 2,619*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{+ 1,929*}\mathbf{10}^{\mathbf{30}}\mathbf{+ 1,74*}\mathbf{10}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 1,388*}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}$$
WARTOŚCI MODUŁU YOUNGA ODCZYTANE Z WYKRESU
Dla pręta 1
$$\sum_{i = 1}^{6}{F_{i} =}206.01$$
$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i} = 0,00378$$
$$\sum_{i = 1}^{6}F_{i}^{2} = 8757,48$$
$$\sum_{i = 1}^{6}{H_{i}F_{i} =}0,161$$
X = 10104, 8
a = 0, 018
$$\mathbf{E}_{\mathbf{\text{graf.}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{3}}}{{\mathbf{4}\mathbf{\text{ah}}}^{\mathbf{3}}\mathbf{a}}\mathbf{=}\mathbf{7809}\mathbf{\times}\mathbf{10}^{\mathbf{7}}$$
$$\sigma = \sqrt{\frac{\left( 0,00378 - 0,018*206,01 \right)^{2}}{6 - 2}} = 1,85$$
$$S_{a} = 1,85*\sqrt{\frac{6}{10104,76}} = 0,004$$
$$u\left( E \right) = \sqrt{\left( \frac{{3l}^{2}}{{4ah}^{3}}*\frac{F}{H}*u(l) \right)^{2} + \left( \frac{{- l}^{3}{4h}^{3}}{\left( {4ah}^{3} \right)^{2}}*u\left( a \right) \right)^{2} + \left( \frac{{- 3l}^{3}{4ah}^{2}}{\left( {4ah}^{3} \right)^{2}}*\frac{F}{H}*u\left( h \right) \right)^{2} + \left( \frac{l^{3}}{{4ah}^{3}}*S_{a} \right)^{2}}$$
$$u(E_{\text{graf.}}) = \sqrt{3,927*10^{19} + 2,366*10^{12} + 6,553*10^{20} + 3,43*10^{6}} = 2,64*10^{10}$$
Dla pręta 2
$$\sum_{i = 1}^{6}{F_{i} =}206.01$$
$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i} = 0,0081$$
$$\sum_{i = 1}^{6}F_{i}^{2} = 8757,48$$
$$\sum_{i = 1}^{6}{H_{i}F_{i} = 0,343}$$
X = 10104, 8
a = 0, 038
Egraf.=4842 ×107
$$\sigma = \sqrt{\frac{\left( 0,0081 - 0,038*206,01 \right)^{2}}{6 - 2}} = 3,91$$
Sa=3,91$\sqrt{\frac{6}{10104,76}} = 0,0095$
$$u(E_{\text{graf.}}) = \sqrt{8,137*10^{17} + 6,619*10^{11} + 1,398*10^{20} + 9,42*10^{11}} = 1,18*10^{10}$$
Dla pręta 3
$$\sum_{i = 1}^{6}{F_{i} =}206.01$$
$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i} = 0,003745$$
$$\sum_{i = 1}^{6}F_{i}^{2} = 8757,485$$
$$\sum_{i = 1}^{6}{H_{i}F_{i} = 0,1592}$$
X = 10104, 8
a = 0, 018
E = 24791 ×107
$$\mathbf{\sigma} = \sqrt{\frac{\left( 0,003745 - 0,018*206,01 \right)^{2}}{6 - 2}} = 1,85$$
$$S_{a} = 1,85*\sqrt{\frac{6}{10104,76}} = 0,004$$
$$u\left( E_{\text{graf.}} \right) = \sqrt{9,560*10^{20} + 2,128*10^{13} + 3,578*10^{24} + 1,80*10^{4}} = 1,89*10^{10}$$
Dla pręta 4
$$\sum_{i = 1}^{6}{F_{i} =}206.01$$
$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i} = 0,0055$$
$$\sum_{i = 1}^{6}F_{i}^{2} = 8757,48$$
$$\sum_{i = 1}^{6}{H_{i}F_{i} = 0,233}$$
X = 10104, 8
a = 0, 026
Egraf.=7722*107
$$\mathbf{\sigma} = \sqrt{\frac{\left( 0,0055 - 0,026*206,01 \right)^{2}}{6 - 2}} = 2,67$$
$$S_{a} = 2,67\sqrt{\frac{6}{10104,76}} = 0,0065$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{7,538*}\mathbf{10}^{\mathbf{17}}\mathbf{+ 2,619*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{+ 1,929*}\mathbf{10}^{\mathbf{30}}\mathbf{+ 1,68*}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}}\mathbf{= 1,38*}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}$$
WNIOSKI:
Zestawienie wartości modułu Younga dla badanych prętów:
W ćwiczeniu tym należało wyznaczyć wartości modułu Younga dla próbek wykonanych z różnego rodzaju materiału. Otrzymane wartości w wyniku obliczeń nieco się różnią od wartości otrzymanych na podstawie wykresu. Różnice, które się pojawiły wynikają z przybliżeń poszczególnych wartości.
| Wartość tablicowa | Wartość obliczona | Wartość odczytana z wykresu | Rodzaj materiału z którego wykonany był badany pręt | |
|---|---|---|---|---|
| Pręt 1 | 7350-10300$\ *10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$ | $$7745*10^{7} \pm 2,560*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
$$7809*10^{7} \pm 2,64*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
Żelazo lane |
| Pręt 2 | 3400-12700$\ *10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$ | $$4972*10^{7} \pm 1,185*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
$$4842*10^{7} \pm 1,18*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
Cynk |
| Pręt 3 | 18140-23000 $*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$ | $$24736*10^{7} \pm 1,891*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
$$24791*10^{7} \pm 1,89*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
Stal |
| Pręt 4 | 7350-10300 $*10^{7}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$ | $$7480*10^{7} \pm 1,388*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
$$7722*10^{7} \pm 1,38*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
Żelazo lane |
Przedstawione wartości otrzymane z obliczeń i odczytane z wykresu nieco się różnią od wartości tablicowych. Różnice te mogą wynikać z niedokładności odczytania wartości mierzonych, z niedokładności punktu 0 na śrubie mikrometrycznej, ze wstrząsów pochodzących z zewnątrz, które spowodowały niewielkie drgania miernika, a także z niedokładnego wycechowania odważników.