Łukasz Saran

Nr. Albumu: 204849

W9/Energetyka Rok:1

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 100A

Wyznaczanie gęstości ciał stałych

1. Wstęp:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie gęstości walcowatej bryły takiej jak na rysunku. Do obliczenia gęstości potrzebne było zważenie ciała w celu wyznaczenia masy ciała oraz wyznaczenie objętości bryły na podstawie jego geometrycznych wymiarów. Do wyznaczenia długości bryły, jej średnicy zewnętrznej i wewnętrznej użyliśmy suwmiarki o dokładności 0,01mm. Masę ciała zważyliśmy wagą elektroniczną o dokładności 0,1 g.

,

L – długość walca (wysokość)

D_w – średnica wewnętrzna

D_z – średnica zewnętrzna

1. Tabela przedstawiająca wyniki wykonanych pomiarów:

Numer pomiaru:	m [kg]	L [m]	Dz [m]	Dw [m]
1.	5, 1 * 10^−3	22, 45 * 10^−3	16, 00 * 10^−3	11, 95 * 10^−3
2.	5, 3 *  10^−3	22, 45 * 10^−3	16, 00 * 10^−3	11, 90 * 10^−3
3.	5, 4 *  10^−3	22, 45 * 10^−3	16, 00 * 10^−3	11, 90 * 10^−3

1. Obliczenia:

Wartości długości bryły oraz jej średnice obliczyliśmy ze wzoru na średnią arytmetyczną:

$$x_{sr} = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$$

$$x_{sr\ m} = \frac{5,1 \bullet 10^{- 3}kg + 5,3 \bullet 10^{- 3}kg + 5,4{\bullet 10}^{- 3}\text{kg}}{3} = 5,26666\left( 6 \right)*10^{- 3}kg = 5,267*10^{- 3}\text{kg}$$

$$x_{sr\ L} = \frac{22,45 \bullet 10^{- 3}m + 22,45 \bullet 10^{- 3}m + 25,45{\bullet 10}^{- 3}m}{3} = 22,45*10^{- 3}m$$

$$x_{sr\ Dz} = \frac{16,00 \bullet 10^{- 3}16,00 \bullet 10^{- 3}m + 16,00{\bullet 10}^{- 3}m}{3} = 16,00*10^{- 3}m$$

$$x_{sr\ Dw} = \frac{11,95 \bullet 10^{- 3}11,90 \bullet 10^{- 3}m + 11,90{\bullet 10}^{- 3}m}{3} = 11,916666*10^{- 3}m = 11,917*10^{- 3}m$$

Odchylenie standardowe, obliczyliśmy ze wzoru:

$$S_{\overset{\overline{}}{x_{i}}} = \ \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{{(x}_{sr} - x_{i})\ }^{2}}{n(n - 1)}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{m}} = \ \sqrt{\frac{\left( 0,01*10^{- 3}\text{kg} \right)^{2}}{3*(3 - 1)}} = 0,004074*10^{- 3}kg = 0,004*10^{- 3}\text{kg}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{D_{w}}} = \ \sqrt{\frac{\left( 0,01*10^{- 3}m \right)^{2}}{3*(3 - 1)}} = 0,004074*10^{- 3}m = 0,004*10^{- 3}m$$

Odchylenie dla długości bryły L oraz dla jej średnicy zewnętrznej D_z obliczymy ze wzoru na odchylenie dla serii pomiarów której wyniki nie wykazują rozrzutu pomiarów:

$$S_{\overset{\overline{}}{x_{i}}} = \frac{\Delta}{\sqrt{3}}$$

Gdzie Δ jest wartością działki elementarnej przyrządu.

$$S_{\overset{\overline{}}{L}} = \frac{0,1*10^{- 3}m}{\sqrt{3}} = 0,057733*10^{- 3}m = 0,06*10^{- 3}m$$

$$S_{\overset{\overline{}}{D_{z}}} = \frac{0,1*10^{- 3}m}{\sqrt{3}} = 0,057733*10^{- 3}m = 0,06*10^{- 3}m$$

	m [kg]	L [m]	Dz [m]	Dw [m]
xśr	5, 267 * 10^−3	22, 45 * 10^−3	16, 00 * 10^−3	11, 917 * 10^−3
$$S_{\overset{\overline{}}{\overset{\overline{}}{x_{i}}}}$$	0, 004 * 10^−3	0, 06 * 10^−3	0, 06 * 10^−3	0, 004 * 10^−3

Objętość bryły obliczyliśmy ze wzoru:

V_b = $\frac{\mathbf{\pi}\mathbf{L}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}}{\mathbf{4}}\mathbf{(}{\mathbf{D}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}_{\mathbf{sr}}\mathbf{- \ }{\mathbf{D}_{\mathbf{w}}^{\mathbf{2}}}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}$)

V_b = $\frac{3,14*22,45*10^{- 3}m}{4}$*[(16,00*10⁻³m)²−(11,917*10⁻³m)²]=

=17, 623 * 10⁻³m * 113, 985 * 10⁻³m² = 2008, 786 * 10⁻⁹m³≈

≈2009 * 10⁻⁹m³

Przyjęliśmy że: π = 3,14

Według wzoru powyżej: V_b = 2009 *  10⁻⁹ m³.

W celu wyznaczenia gęstości materiału z jakiego wykonana jest bryła korzystamy ze wzoru:

$$\mathbf{\rho = \ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{V}_{\mathbf{b}}}$$

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy wartość gęstości która wynosi:

ρ = 2620 $\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$

1. Ocena Niepewności pomiarowej:

Niepewność standardową u wielkości mierzonej wyznaczamy jako:

u = $\sqrt{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}$

gdzie S to odchylenie standardowe, a d wynika z dokładności przyrządu.

Odpowiednio niepewności standardowe:

-masy m: u_m = =$\ \sqrt{\left( 0,004*10^{- 3}\text{kg} \right)^{2} + \frac{\left( 10^{- 4}\text{kg} \right)^{2}}{3}} = \sqrt{0,000016*10^{- 6}\text{kg}^{2} + 0,0033*10^{- 6}\text{kg}^{2}} =$

=$\sqrt{0,003316{*10}^{- 6}\text{kg}^{2}} = 0,05758*10^{- 3}kg \approx 0,06*10^{- 3}\text{kg}$

u_m ≈0, 06*10⁻³kg

-długości L: u_L = $\sqrt{\left( 0,006*10^{- 3}m \right)^{2} + \frac{\left( {0,005*10}^{- 5}m \right)^{2}}{3}} =$

$$= \sqrt{0,0036*10^{- 6}m^{2} + 0,00083*10^{- 6}m^{2}} = \sqrt{0,00443{*10}^{- 6}m^{2}} =$$

=0, 0665582 * 10⁻³m ≈ 0, 07 * 10⁻³m

u_L =0, 07*10⁻³m

-średnicy zewnętrznej: u_DZ=0, 07 •10⁻³ m

-średnicy wewnętrznej: u_DW=0, 03 •10⁻³ m m

Ocenę niepewności gęstości wyznaczymy za pomocą równania do którego podstawimy wcześniej otrzymane dane:

$$\mathbf{u}_{\mathbf{\rho}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\mathbf{\rho}^{\mathbf{2}}\mathbf{\ \bullet}\left\lbrack \left( \frac{\mathbf{u}_{\mathbf{\text{m\ }}}}{\mathbf{m}_{\mathbf{sr}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{u}_{\mathbf{\text{L\ }}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{sr}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{u}_{\mathbf{D}_{\mathbf{Z}}}}{\mathbf{D}_{\mathbf{Z}_{\mathbf{sr}}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{u}_{\mathbf{D}_{\mathbf{W}}}}{\mathbf{D}_{\mathbf{W}_{\mathbf{sr}}}} \right)^{\mathbf{2}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{\rho}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\left( \mathbf{2620}\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\left\lbrack \left( \frac{\mathbf{0,06*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{5,267}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{\text{kg}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{0,07*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{m}}{\mathbf{22,45*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{m}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{0,07\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{\text{\ m}}}{\mathbf{16,00*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{m}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{0,03\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{\text{\ m}}}{\mathbf{11,917}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}} \right)^{\mathbf{2}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{\rho}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\left( \mathbf{2620}\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{0,0001297 + 0,0000097 + 0,0000191 + 0,0000063} \right)$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{\rho}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ 6864400}\frac{\mathbf{\text{kg}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{6}}}\mathbf{\bullet 0,0001648}$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{\rho}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 1131,2531}\frac{\mathbf{\text{kg}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{6}}}$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{\rho}}\mathbf{= 33,6341}\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\approx 34}\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$$

Po podstawieniu o trzymujemy wynik: $u_{\rho} = 34\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$

Z uwzględnieniem niepewności wynik pomiaru gęstości ciała będzie wyglądał następująco:

$$\mathbf{\rho =}\left( \mathbf{2620\ \pm 34} \right)\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$$

1. Wnioski końcowe:

Zmierzona doświadczalnie gęstość ciała jest obarczona pewnym błędem, na który składa się wiele różnorakich czynników. Z tego właśnie powodu, wyniku naszych badań nie można traktować jako podstawowej i prawdziwej gęstości materiału, a jedynie jako pewien wskaźnik dzięki któremu możemy zdefiniować z jakiego materiału została wykonana bryła poprzez np. poprzez sprawdzenie otrzymanego wyniku w odpowiednich tablicach.