METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH (MES)
ELEMENT KRATOWY
Funkcja aproksymująca przemieszczenie osiowe:
Z warunków brzegowych:
otrzymamy:
Definiujemy następujące wektory:
gdzie: - funkcje kształtu
- wektor przemieszczeń węzłowych (stopnie swobody)
- wektor sił węzłowych
Funkcjonał Lagrange’a dla ogólnego zadania 3D
sprowadza się dla naszego zadania do postaci (1 wykład):
Stosując twierdzenie o minimum całkowitej energii potencjalnej (wariacja ma się zerować) otrzymamy:
co w zapisie macierzowym zapiszemy:
gdzie przyjęto następujące oznaczenia:
.
Dzieląc powyższe równanie przez otrzymamy:
Dalej definiując:
- macierz sztywności
- wektor obciążeń węzłowych pochodzących od obciążeń rozłożonych otrzymamy: równanie macierzowe MES dla pojedynczego elementu skończonego:
W równaniu tym, obliczając:
otrzymamy:
.
Stąd ostateczna postać równania macierzowego MES dla pojedynczego elementu skończonego:
.
W równaniu tym przyjęto:
Globalne równanie macierzowe MES (dla całej konstrukcji) ma postać:
Gdzie:
.
Przykład
Macierze sztywności dla poszczególnych elementów skończonych:
Globalna macierz sztywności
Obciążenia węzłowe pochodzące od obciążeń rozłożonych
Dla poszczególnych elementów skończonych
Dla całej konstrukcji
Obciążenia węzłowe (skupione)
Równanie MES dla przykładu ma postać:
Uwzględniając warunki brzegowe oraz, że otrzymamy poszukiwane przemieszczenia węzłowe:
Układ globalny
Zależność pomiędzy przemieszczeniami w układzie lokalnym (x,y) i globalny (X,Y) dla pojedynczego węzła:
.
Przyjmując oznaczenia zależność pomiędzy przemieszczeniami w obu układach dla elementu skończonego zapiszemy w postaci macierzowej:
lub w formie zwartej:
[T] – macierz transformacji.
Analogiczną zależność otrzymamy pomiędzy siłami w układzie lokalnym i globalnym:
Dla elementu prętowego oczywiście w układzie lokalnym: i .
W celu zapewnienia zgodności wymiarów macierzy – rozszerzymy równanie macierzowe MES dla elementu prętowego do następującej postaci:
lub w formie zwartej
Podstawiając do tego wzoru odpowiednie równania na transformację przemieszczeń i sił, kolejno otrzymamy:
ponieważ to:
.
Przyjmując oznaczenie na globalną macierz sztywności: otrzymamy równanie macierzowe MES (w globalnym układzie współrzędnych)
Przykład
Macierz sztywności dla elementów skończonych w lokalnym układzie współrzędnych:
forma rozszerzona:
Macierz transformacji jest określona wzorem:
gdzie: dla elementu 1 i stąd:
dla elementu 2 i stąd:
Globalne macierze sztywności dla elementów skończonych obliczymy ze wzorów:
Lokalna macierz sztywności dla pręta 3
Globalną macierz sztywności dla i-tego pręta można obliczać bezpośrednio ze wzoru
Dla pręta 3 :
Równanie macierzowe MES dla całego układu:
Skąd możemy wyznaczyć poszukiwane przemieszczenia
Podstawiając wyznaczone przemieszczenia do równania macierzowego MES możemy wyznaczyć reakcje w węzłach podpór:
Dalej obliczamy siły węzłowe ze wzoru:
Przemieszczenia dla całej konstrukcji w układzie globalnym wynoszą:
Obliczymy przykładowo siły węzłowe w pręcie 3.
Przemieszczenia w układzie globalnym dla tego pręta wynoszą:
Przemieszczenia w układzie lokalnym:
Siły węzłowe:
// Zastosowanie Scilab do obliczenia kratownicy z wykładu
// Programik piszemy w Scilab text editor (lewa pierwsza ikonka)
//uruchamiamy w menu Execute
//Definicja stałych
E=1;
A=1;
L=1;
//Lokalna macierz sztywności dla elementów 1 i 2
// (taka sama dla obydwu elementów)
K1=E*A/L*[1 -1;-1 1]
K2=K1
//Globalne macierze sztywności dla elementów
//Element 1
alfa=%pi/4 //kąty podajemy w radianach
c=cos(alfa)
s=sin(alfa)
K1g=E*A/L*[c^2 c*s -c^2 -c*s; c*s s^2 -c*s -s^2;
-c^2 -c*s c^2 c*s; -c*s -s^2 c*s s^2]
//Element 2
alfa=3*%pi/4
c=cos(alfa)
s=sin(alfa)
K2g=E*A/L*[c^2 c*s -c^2 -c*s; c*s s^2 -c*s -s^2;
-c^2 -c*s c^2 c*s; -c*s -s^2 c*s s^2]
//Element 3
//Lokalna macierz sztywnosci
E=2;
A=2;
L=sqrt(2);
K3=E*A/L*[1 -1;-1 1]
//Globalna macierz sztywności
alfa=%pi/2
c=cos(alfa)
s=sin(alfa)
K3g=E*A/L*[c^2 c*s -c^2 -c*s; c*s s^2 -c*s -s^2;
-c^2 -c*s c^2 c*s; -c*s -s^2 c*s s^2]
//Globalna macierz sztywności dla całego układu
poz1=[1 2 3 4]
poz2=[3 4 5 6]
poz3=[1 2 5 6]
KG=zeros(6,6) //utworzenie pustej macierzy o rozmiarze liczba stopni swobody x liczba stopni swobody
KG(poz1,poz1)=KG(poz1,poz1)+K1g //wprowadzenie macierzy K1g do macierzy KG
KG(poz2,poz2)=KG(poz2,poz2)+K2g //wprowadzenie macierzy K2g do macierzy KG
KG(poz3,poz3)=KG(poz3,poz3)+K3g //wprowadzenie macierzy K3g do macierzy KG
// Utworzenie wektora obciążeń zewnętrznych w globalnym układzie współrzędnych
P1=1;
P2=1;
Q=[0 0 P1 P2 0 0]'
//Uwzględnienie warunków brzegowych
m=[2 3 4]; // wektor zawiera nr wierszy, które pozostają po uwzględnieniu warunków brzegowych
KG_bc=KG(m,m) //macierz sztywności po uwzględnieniu warunków brzegowych
Q_bc=Q(m) //wektor obciążeń zewnętrzynych po uwzględnieniu warunków brzegowych
//Wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia (rozwiązujemy układ równań)
u=inv(KG_bc)*Q_bc
//Obliczenie reakcji
poz_r=[1 5 6]
reakcje=KG(poz_r,m)*u
//Siły węzłowe
//Tworzymy globalny wektor przemieszczeń
ug=zeros(6,1)
ug(m)=u
//Przemieszczenia dla pręta 3 w lokalnym układzie
u3g=ug(poz3)
alfa=%pi/2
c=cos(alfa)
s=sin(alfa)
T=[c s 0 0; 0 0 c s]
u3=T*u3g
Q3=K3*u3
ELEMENT BELKOWY
Funkcja aproksymująca ugięcie:
Z warunków brzegowych
zapisanych w postaci macierzowej:
wyznaczymy poszukiwane parametry ci:
i dalej otrzymamy:
Jeśli wyrażenia w nawiasach klamrowych kolejno oznaczymy przez: (funkcje kształtu) – to wzór powyższe przyjmie postać:
.
Wektory przemieszczeń węzłowych (stopnie swobody) i sił węzłowych:
Jeśli przyjmiemy, że oraz to funkcjonał Lagrange’a przyjmie postać:
Twierdzenie o minimum całkowitej energii potencjalnej:
Przyjmiemy oznaczenia:
Stąd wariacja funkcjonału Lagrange’a przyjmie postać:
którą dalej przekształcimy:
.
Przyjmując oznaczenia:
- macierz sztywności
- wektor obciążeń węzłowych pochodzących od obciążeń rozłożonych
otrzymamy równanie macierzowe MES (dla elementu skończonego)
W równaniu tym obliczymy:
- macierz sztywności:
- wektor obciążeń węzłowych pochodzących od obciążeń rozłożonych dla schematu:
Przykład
Macierze sztywności dla elementów skończonych:
Równanie macierzowe MES
Poszukiwane przemieszczenia:
ELEMENT RAMOWY
Równanie macierzowe MES
gdzie:
Układ globalny
Przykład
Wyznaczyć przemieszczenia i siły węzłowe dla ramy
Element 1:
Element 2 i 3:
Lokalna macierz sztywności:
dla elementu 2: i=3 ; j=1
dla elementu 3: i=4; j=2
Macierz transformacji -
Globalna macierz sztywności:
Obciążenia:
Macierzowe równanie MES dla całego układu:
Poszukiwane przemieszczenia:
Siły w węzłach obliczymy ze wzorów:
gdzie:
Dla naszego przykładu będziemy mieli:
Macierz stopni swobody:
Element 1:
Element 2: